高中数学 （2.2.3 向量数乘运算及其几何意义）教案 新人教A版必修4.doc

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 整体设计 教学分析 向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运 算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的 乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共 线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理 的前提条件:向量 a 是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性 质,且与后续的知识有着紧密的联系. 三维目标 1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向 量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律. 2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行. 3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极 进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用. 重点难点 教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及 其运用. 教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上 研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实 数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算. 思路 2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为 a,那么在同一方向上 3 秒钟 的位移对应的向量怎样表示？是 3a 吗？怎样用图形表示？由此展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知非零向量 a,试一试作出 a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a). ②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗? ③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平 行？与两直线平行有什么异同？ 活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行. 通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特 别注意 0·a=0,而不是 0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存 在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数 与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如 λ+a,λ-a 都无法进行.向量数乘运算的运 算 律 与 实 数 乘 法 的 运 算 律 很 相 似 , 只 是 数 乘 运 算 的 分 配 律 有 两 种 不 同 的 形 式:(λ+μ)a=λa+μa 和 λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向 相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共 线和两直线平行等问题的有效手段. 对问题①,学生通过作图 1 可发现, = + + =a+a+a.类似数的乘法,可把 a+a+a 记作 3a,即 =3a.显然 3a 的方向与 a 的方向相同,3a 的长度是 a 的长度的 3 倍,即 |3a|=3|a|.同样,由图 1 可知, 图 1 = =(-a)+(-a)+(-a), 即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然 3(-a)的方向与 a 的方向相反,3(-a)的长度是 a 的长度 的 3 倍,这样,3(-a)=-3a. 对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积. 我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 λa,它的长 度与方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向相同;当 λ|2a+b| B.|2a||a+2b| D.|2b|0 时,λa 与 a 方向相同,当 λ