高中数学 （2.2.2 向量减法运算及其几何意义）教案 新人教A版必修4.doc

2.2.2 向量减法运算及其几何意义 整体设计 教学分析 向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握 向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反 向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量 减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过 阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间 的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了 数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识. 三维目标 1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌 握相反向量. 2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟 练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量. 重点难点 教学重点:向量的减法运算及其几何意义. 教学难点:对向量减法定义的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方 法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向 量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课. 思路 2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法 的逆运算——减法.引导学生去探究、发现. 推进新课 新知探究 提出问题 ①向量是否有减法？ ②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？ ③如何理解向量的减法？ ④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？ 活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个 数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运 算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应 引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此 a 和-a 互为相反向量. 于是-(-a)=a. 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形法则 图 1 如图 1,设向量 =b, =a,则 =-b,由向量减法的定义,知 =a+(-b)=a-b. 又 b+ =a,所以 =a-b. 由此,我们得到 a-b 的作图方法. 图 2 (2)三角形法则 如图 2,已知 a、b,在平面内任取一点 O,作 =a, =b,则 =a-b,即 a-b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义. 讨论结果:①向量也有减法运算. ②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量. 与数 x 的相反数是-x 类似,我们规定,与 a 长度相等,方向相反的量,叫做 a 的相反向量,记 作-a. ③向量减法的定义.我们定义 a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 规定:零向量的相反向量是零向量. ④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在, 是数形结合思想的重要体现. 提出问题 ①上图中,如果从 a 的终点到 b 的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量 a、b 的方向使 a∥b,怎样作出 a-b 呢? 讨论结果:① =b-a. ②略. 应用示例 如图 3(1),已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b,c-d. AB AC AD AE BC BC OA OB BA AB图 3 活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨 学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量. 作法:如图 3(2),在平面内任取一点 O,作 =a, =b, =c, =d.则 =a-b, =c-d. 变式训练 (2006 上海高考) 在 ABCD 中,下列结论中错误的是( ) A. = B.AD+ = C. -AD=BD D.AD+ =0 分析:A 显然正确,由平行四边形法则可知 B 正确,C 中, - = 错误,D 中, + = + =0 正确. 答案:C 例 2 如图 4, ABCD 中, =a, =b,你能用 a、b 表示向量 、 吗? 图 4 活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础. 要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系. 解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道 =a+b, 同样,由向量的减法,知 = - =a-b. 变式训练 1.(2005 高考模拟) 已知一点 O 到 ABCD 的 3 个顶点 A、B、C 的向量分别是 a、b、c,则向 量 等于( ) A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c 图 5 解析:如图 5,点 O 到平行四边形的三个顶点 A、B、C 的向量分别是 a、b、c, 结合图形有 = + = + = + - =a-b+c. OA OB OC OD BA DC AB DC AB AC AB BC AB AD BD AD BC AD DA AB AD AC DB AC DB AB AD OD OD OA AD OA BC OA OC OB答案:B 2.若 =a+b, =a-b. ①当 a、b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 垂直？ ②当 a、b 满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？ ③当 a、b 满足什么条件时,a+b 平分 a 与 b 所夹的角 ？ ④a+b 与 a-b 可能是相等向量吗？ 图 6 解析:如图 6,用向量构建平行四边形,其中向量 、 恰为平行四边形的对角线. 由平行四边形法则,得 =a+b, = - =a-b. 由此问题就可转换为: ①当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|) ②当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线相等？(a、b 互相垂直) ③当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b 相等) ④a+b 与 a-b 可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同) 点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量 问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题 的威力与魅力,教师引导学生注意领悟. 例 3 判断题: (1)若非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,则 a+b 的方向必与 a、b 之一的方向相同. (2)△ABC 中,必有 + + =0. (3)若 + + =0,则 A、B、C 三点是一个三角形的三顶点. (4)|a+b|≥|a-b|. 活动:根据向量的加、减法及其几何意义. 解:(1)a 与 b 方向相同,则 a+b 的方向与 a 和 b 方向都相同; 若 a 与 b 方向相反,则有可能 a 与 b 互为相反向量, 此时 a+b=0 的方向不确定,说与 a、b 之一方向相同不妥. (2)由向量加法法则 + = , 与 CA 是互为相反向量,所以有上述结论. (3)因为当 A、B、C 三点共线时也有 + + =0,而此时构不成三角形. (4)当 a 与 b 不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的两条对角线 的长,其大小不定. 当 a、b 为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|