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与矩形相关的折叠问题 在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是 矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述， 因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。下面从几 个不同的层面展示一下。 例 1 将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD 为折 痕，则∠CBD 的度数为( )． (A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕 BC 和折痕 BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A/BC,∠EBD=∠E/BD。 例 2 如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 BD 对折，使 C 点 落在 E 处，BE 与 AD 相交于点 O。 （1）由折叠可得△BCD≌△BED，除此之外，图中还存在其他 的全等三角形，请你找出来 。 （2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。 （3）若 AB=6,BC=8,则 O 点到 BD 的距离是 。 分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例 1 一样提 供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等 三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD。另外，还可以从另一个 角度分析。由折痕 BD 可以找到∠OBD=∠CBD，由于在矩形中，AD∥BC，∠ODB=∠ CBD，经过等量代换∠OBD＝∠ODB，然后等角对等边 OB=OD。这是在矩形中折叠 比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边” 的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发 挥作用的一类题目。因为 AD＝BC，BC＝BE，因此在△ABO 中可以设 AO＝x，则 BO ＝OD＝8－x，因为 AB＝6，即可以列勾股定理的等式：AB2＋AO2＝BO2 进行计算了。 下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。 OA CB E D例 3 已知：如图，矩形 AOBC，以 O 为坐标原 点，OB ，OA 分别在 x 轴、y 轴上，点 A 坐标为 （0,3），∠OAB＝60°,以 AB 为轴对折后，使 C 点落 在 D 点处，求 D 点的坐标. 例 4 一个矩形纸片如图折叠，使顶点 B 和 D 重合，折痕为 EF。 （1）找出图中全等的三角形，并证明。 （2）重合部分是什么图形？证明你的结论。 （3）连接 BE，并判断四边形 BEDF 是什么特殊四边形，BD 与 EF 有什么关系？ 并证明。 分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠 的过程中隐藏着 EF 垂直平分 BD，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要 的作用，这仍然是轴对称的性质。利用这些条件易证明△EOD≌△BOF，则有 ED＝ BF，且 ED∥BF，首先四边形 EBFD 是平行四边形，由于 BD、EF 互相垂直，所以 就可说明四边形 EBFD 是菱形。 例 5 在矩形 ABDC 中，把∠A 沿 CF 折叠，点 A 恰好落在矩形的对称中心 E 处，若 AB＝a，AC＝b， 请你计算 的值。 分析：这个问题中的折叠，体现出来的看似只 是一对角的相等，其实还有矩形中心对称图形的特征。即点 E 是对角线的交点。 由矩形的性质可以说明 AE＝DE，因为折叠可知 AC＝CE，因此可得：△CAE 是等 b a F 1 3 2 CB A E D A′ F 1 3 2 CB A E D A′ O A B C D E F边三角形，即∠ACB＝60°，进而在直角△ACB 中解决两直角边的关系为 ：１。 总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直 角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇 妙的结果，只要大家用心体会，善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！ 3 A B C D E F