§3.2.3 利用向量解决平行与垂直问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平
行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中
应重点抓住转换思想来进行.
【教学目标】：
（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方
法解决立体几何中的平行与垂直问题.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
向量法与坐标法.
【教学难点】：
立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、复习引
入
1． 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.
2． 平行与垂直关系的向量表示。
为学习新知识做准
备.
二、探究新
知
一、用向量处理平行问题
分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量 用
向量 线性表示出来。
例 1 是一道线面平
行问题，需要利用
共面向量定理来证
明。同时介绍解决
问题的向量法。
A D
C
B
E
F
N
M
MN
BCBE,
1:
,
,
. //
ABCD
ABEF
MN BF
FM AN MN EBC=
例 如图已知四边形 、
为两个正方形
分别在其对角线 上
且 求证： 平面评注：
向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x,y
使
p=xa+yb.
利用共面向量定理可以证明线面平行问题。
本题用的就是向量法。
（图略）
分析：面面平行 线面平行 线线平行。
评注：
由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用
向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空
间直角坐标系，方能减少运算量。
本题选用了坐标法。
思考：
一般应如何建立空间直角坐标系？
二、用向量处理垂直问题
联系共线向量来理
解。
例 2 是关于面面平
行的问题，联系几
何定理与向量平行。
同时介绍解决问题
的坐标法。
例 3 是线面垂直问
题，图形和例 2 一
, , .FB AN ACλ λ λ∴ = = 存在实数 使FM
( ) ( )
( ) ( 1) .
MN MF FA AN BF EB AC
BE BA AB AD EB BE AD EB
BE BC BE BE BC
λ λ
λ λ
λ λ λ
∴ = + + = + +
= + + + + = + +
= + − = − +
:
, , ,BE AB FM AN FB AC= = =
证明 在正方形ABCD与ABEF中,
⇒ ⇒
1 1 1 1 1:
, ,
D A D C D D
x y z
证明 如图分别以 、 、
三边所在的直线为 轴建立空间
直角坐标系. 设正方体的棱长为1,
1 1
1
(1,0,0), (1,1,0),
(0,0,1), (0,0,1)
( 1,0,1), ( 1,0,1)
A B
C D
D B C= − = −
1
则
则A
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
// . //
// . // .
// .
A D B C A D B C
A D CB D A B CB D
A BD CB D
∴
∴
即直线 ，
则 平面 同理右证： 平面
平面 平面
.
, //
MN BE BC
M EBC MN EBC
∴
∉ ∴
、 、 共面
平面 平面
1 1 1 1
1 1 1
2. - ,
: //
ABCD A B C D
A BD CB D
例 在正方形 中
求证 平面 平面
:
' ' ' '
',
' .
ABCD A B C D
CC BD
A F BDE
−
⊥
例3
在正方体 中.
E, F分别是 的中点.
求证： 平面α A
B
C
D
O
（图略）
分析：线面垂直 线线垂直。
评注：
本题若用一般法证明，容易证 A’F 垂直于 BD，而证 A’F 垂直于 DE，
或证 A’F 垂直于 EF 则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。
例 4，证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影
垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）
已知：如图,OB 是平面 的斜线，O 为斜足， ，A 为垂足，
求证：
证明：
样是正方体，可进
一步训练坐标法。
让学生体会坐标法
的优势。
用向量法证明三垂
线定理。
三、练习巩
固
分别用向量法和坐标法解决以下问题： 巩固知识，培养技
能.
⇒
α α⊥AB
OACDCD ⊥⊂ ,α
OBCD ⊥
0=⋅⇒⊥ OACDOACD
⇒⊥αAB
0=⋅⇒⊥ ABCDABCD
ABOAOB +=
0)( =⋅+⋅=+⋅=⋅ ABCDOACDABOACDOBCD
ABCD ⊥∴
, , '
'
DA DC DD x y z
A
证明: 如图
取 分别为 轴, 轴, 轴
建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A( 2, 0, 0) , B( 2, 2, 0) , ( 2, 0, 2) , E( 0, 2, 1) , F( 1, 1, 0)
' ( 1,1, 2),
(2,2,0), (0,2,1)
' ( 1,1, 2) (2,2,0) 0,
' ( 1,1, 2) (0,2,1) 0
' , ' , . '
A F
DB DE
A F DB
A F DE
A F DB A F DE DB DE D A F BDE
= − −
= =
• = − − • =
• = − − • =
∴ ⊥ ⊥ = ∴ ⊥
又 平面向量法：
所以，结论成立。
坐标法：
证明：（图略）
四、小结 利用向量解决平行与垂直问题
1． 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。
2． 坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来使用。
反思归纳
.2/1,0,0
,,'
,1
=•=•=•
===
cbcaba
ACcABbAAa设
证明：设底面边长为
bacCCACBABC
abBBABAB
acACAACA
−+=++=
+=+=
−=+=
''
''
''
2 2 2 2
( 2 ) ( ) (2 ) ( )
2 2 1 1 0
c a a b b a a b b a
a a b b a b
= − + − • + = − • +
= + • − = − = − =
).,1,0('),,1,0('),,0,3('
).0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(
.
,,2
hChBhA
CBA
h
−
−
系如图建立空间直角坐标
高为设底面边长为
2 2
2
0 ' ' 3 1 , 2.
' ' 0 2 0. ' '
AB A C h h
AB BC h BC AB
= • = − − =
• = + − = ∴ ⊥
' ' '
'
' ', ' '
ABC A B C
AA ABC
A C AB BC AB
−
⊥
⊥ ⊥
练习：
在三棱柱 中，
底面是正三角形， 底面 ，
求证：
2
2
0 ' ' ( ) ( )
1
2
A C AB c a b a
c b c a a b a
a c b
= • = − • +
= • + • − • −
= • =
A'
B'
C B
C'
A五、作业
1，直三棱柱 中，角 ACB 是直角，AC＝1，CB＝ ，侧
棱 =1，侧面 的两条对角线交点为 D， 的中点为 M，求
证 CD 平面 BDM。
2，课本 p111 第 1、3 题。
练习与测试：
（基础题）
1，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若 ， 则 （ ）
A． + － B． － + C．－ + + D．－ + －
答：D
2，若向量 、 （ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都可能
答：B
3，一空间四边形 ABCD 的对边 AB 与 CD，AD 与 BC 都互相垂直，用向量证明：AC 与 BD 也互相垂直．
证明： . 又 ，
即 .……① .
又 ， 即 .……②
由①+②得： 即 . .
4，如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA⊥平面 ABCD，E、F 分别是 AB、PC 的中点．
（1）求证：EF∥平面 PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
证：如图，建立空间直角坐标系 A－xyz，设 AB＝2a，
BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，
D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)
∵ E 为 AB 的中点，F 为 PC 的中点
∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c)
(1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0)
∴ ＝(＋) ∴ 与、共面
又∵ E Ï 平面 PAD
∴ EF∥平面 PAD．
(2) ∵＝(-2a, 0, 0 )
111 CBAABC − 2
1AA BBAA 11 11CB ∴ ·＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0
∴ CD⊥EF．
（较难题）
5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。
分析 要证明 EF、BC、AD 平行于同一平面 D F
（E、F 分别为 AB、CD 的中点），只要证明相应 A E C
向量 EF 与 AD、BC 共面即可。 B
证明：如图，利用多边形加法法则可得， = + + ， = + + …①。
又 E、F 分别是 AB、CD 的中点，故有 =- ， =- …②
将②代入①后，两式相加得
2 = + ，∴ =
1
2 +
1
2 即 与 、 共面，∴EF 与 AD、BC 平行于同一平面。
注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。
6，如图，已知 a⊥α,a⊥b,b￠α,求证 b∥α。
证明：在α内作不共线向量 m,n b
∵a、m、n 不共面，∴b=xa+ym+zn。 a
两边同乘 a 得 a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·n m
∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0 n
得 x·a·a=0 而 a≠0,∴x=0,即 b=ym+zn
∴b、m、n 为共面向量，又 b￠α,b∥α。
7，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 A1B 上的点，F 是 AC 上的点，且 A1E=2EB，CF=2AF，
求证：EF∥平面 A1B1CD。 D1 C1
证明： = + + …（1）
= 1+ + + …（2） A1 B1
（1）×2+（2）并注意到 =-2 ， D C
=-2 ， =- ， F E
得 =
1
3 -
1
3 A B
而 EF￠平面 A1B1CD，∴EF∥平面 A1B1CD。
∴ ， 、 为共面向量。
EF EA AD DF EF EB BC CF
EA EB DF CF
EF AD BC EF AD BC EF BC AD
α
EF EB BA AF
EF EA DA1 DC CF
1EA EB
CF AF BA DC
EF DA1 DC
EF DA1 DC
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