§2．2．1 双曲线的及其标准方程
【学情分析】：
学生已经学过椭圆，了解椭圆的定义，经历了根据椭圆的特征，建立适当的坐标系，能较熟练求椭圆
的方程，也了解椭圆的简单的几何性质并能解决与椭圆的几何性质有关的问题。
本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。
【教学目标】：
知识与技能
1、 使学生掌握双曲线的定义、标准方程
2、掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系，会求双曲线的标准方程；
过程与方法
1、 理解双曲线标准方程的推导过程；
2、 认识双曲线的变化规律及与其系数之间的关系；
情感态度与价值观
通过运用双曲线标准方程解决一些实际问题，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生
活中的数学问题。
【教学重点】：
双曲线的定义、标准方程
【教学难点】：
双曲线标准方程的推导过程
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一．复习、
引入
1、椭圆的定义是什么？
2、到两个定义距离之差是一个定长的点的轨迹是什么
呢？
通过复习引入，有利于学生在已
有知识基础上开展学习；提出新
问题，引发学习兴趣。
二．实验
1、如图 2.2.1,取一条拉链进行实验，让学生观察点 M
的轨迹。
2、问题：点 M 所满足的几何条件是什么？
通过实验引导学生探究，整理实
验，归纳抽象成数学问题。
三．双曲线
的 定 义 的
讲解
1、投影：双曲线的定义：
平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等
于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定
点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用
2c 表示）
常数一般用 2 表示。
（讲解定义时要注意条件： ）
2、探索思考：若没有该条件所表示的图形会是怎样的？
3、讨论：椭圆定义与双曲线定义有什么异同？
1、明确双曲线的定义。抓住几
个不变：两个定点；一个常数。
2、通过对限制条件
的探究，加深学生概念的理解。
3、在与椭圆的对比中建立有关
双曲线的知识结构。
四．双曲线
标 准 方 程
的推导
1．提问：我们是如何建立坐标系求椭圆的标准方程的？
探索：仿照求椭圆标准方程的方法，求双曲线的标准方
程。
2.引导学生推导双曲线的标准方程
1.充分利用学生学习椭圆的学
习经验提高学生学习双曲线的
学习效率
2．通过反复与椭圆进行类比，
a
2 2 0c a> >
2 2 0c a> >3.教师让学生板演双曲线的标准方程的推导过程，得到：
4.类比椭圆的标准方程，令 得双曲线的标
准方程：
（ ）
说明：此方程表示的双曲线焦点在 x 轴上，焦点
是 F1（－c，0）、F2（c，0），其中 c2=a2＋b2.
5.问题：椭圆的标准方程有两种，双曲线是否也有两种
呢？进一步得到：当焦点在 y 轴时，
（ ）
说明：此方程表示的双曲线焦点在 y 轴上，焦点是
F1（0，－c），F2（0，c），其中 c2=a2＋b2.
既加强与已有知识联系，又找出
与旧知识的不同之处，做到“同
化”与“顺应”。
五．例题
1 ． 例 1 ： 已 经 双 曲 线 两 个 焦 点 分 别 为 、
，双曲线上一点 P 到 、 距离差的绝对值
等于 6,求双曲线的标准方程。
分析：本题为根据双曲线的定义求标准方程
解 ： 设 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ：
（ ），
因为 ，故 ，
所以 ，
因此，双曲线的标准方程为：
由学生板演
练习：教科书练习
2．例 2 一炮弹在某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间
比在 B 处晚 2 s.
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知 A、B 两地相距 800 m，并且此时声速为
340 m/s，求曲线的方程.
解（1）由声速及 A、B 两处听到爆炸声的时间差，
双曲线标准方程的简单应用
2 2
2 2 2 1x y
a c a
− =−
2 2 2b c a= −
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0, 0a b> >
2 2
2 2 1y x
a b
− = 0, 0a b> >
1( 5,0)F −
2 (5,0)F 1F 2F
2 2
2 2 1x y
a b
− =
0, 0a b> >
2 6,2 10a c= = 3, 5a c= =
2 2 25 3 16b = − =
2 2
19 16
x y− =可知 A、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位
于以 A、B 为焦点的双曲线上.
因为爆炸点离 A 处比离 B 处更远，所以爆炸点应在
靠近 B 处的一支上.
（2）如图 8—14，建立直角坐标系 xOy，使 A、B
两点在 x 轴上，并且点 O 与线段 AB 的中点重合.
设爆炸点 P 的坐标为（x,y），则
即 2a=680,a=340.
又 ∴
2c=800,c=400, b2=c2 －
a2=44400.
∵
∴x>0.
所求双曲线的方程为：
(x>0).
思考 1：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮
弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方
程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安
全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如
何解决这个问题呢？
如果再增设一个观测点 C，利用 B、C（或 A、C）
两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的
方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的
准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
思考 2：如果 A、B 两点同时听到爆炸声，说明爆炸点
到 A、B 的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？
AB 的中垂线。
3．补充例题：已知动圆 P 与定圆 C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：
(x－5)2＋y2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程
分析：外切有|PC1|＝7＋r, |PC2|＝1＋r，
∴|PC1|－|PC2|＝6，
内切有|PC1|＝r－7, |PC2|＝r －1，∴|PC2|－|PC1|＝6
故点 P 的轨迹是双曲线 x2/9－y2/16＝1
四、小结
1、 提问：我们已经学习了双曲线，双曲线是怎样的点
的轨迹？
2、 双曲线的标准方程是怎样的？
3、 双曲线标准方程中 a、b、c 之间的关系是什么？你
能通过它们求出双曲线的标准方程吗？
五、作业 教科书习题 2.2 1、2、
,6802340 =×=− PBPA
,800=AB
,0680 >=− PBPA
144400115600
22
=− yx练习与测试：
1．一动圆 P 过定点 M（－4，0），且与已知圆 N：(x－4)2＋y2＝16 相切，求动圆圆心 P 的轨迹。
分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接
求出其轨迹方程来
内切时，定圆 N 在动圆 P 的内部，有|PC|＝|PM|－4，
外切时，有|PC|＝|PM|＋4，
故点 P 的轨迹是双曲线 x2/4－y2/12＝1。
2．已知动圆 P 与定圆 C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－5)2＋y2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程
分析：外切有|PC1|＝7＋r, |PC2|＝1＋r，
∴|PC1|－|PC2|＝6，
内切有|PC1|＝r－7, |PC2|＝r －1，∴|PC2|－|PC1|＝6
故点 P 的轨迹是双曲线 x2/9－y2/16＝1
3．若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
解析：应用直接推理和特值否定法．当 k>3 时，有 k-3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当
方程 表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在 k>3 里．故应该选 A．
4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ，则双曲线的标准方程
是____________________.
解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,则焦点在 x 轴上，且 a=3，焦距与虚轴长之比为 ，
即 ，解得 ，则双曲线的标准方程是
5．若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是__________.
6 ． 已 知 双 曲 线 的 两 个 焦 点 为 ， ， P 是 此 双 曲 线 上 的 一 点 ， 且 ，
，则该双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
R∈k 3>k 133
22
=+−− k
y
k
x
(3,0) 5: 4
(3,0) 5: 4
: 5: 4c b = 5, 4c b= =
2 2
19 16
x y− =
xy 3±= ( )0,10
19
2
2 =− yx
)0,5(1 −F )0,5(2F 21 PFPF ⊥
2|||| 21 =• PFPF
132
22
=− yx 123
22
=− yx 14
2
2
=− yx 14
2
2 =− yx答案：C
7．“ab
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