人教A版选修1-1教案：1.4.1生活中的优化问题举例（1）（含答案）.doc

§1．4．1 生活中的优化问题举例(1) 【学情分析】： 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、 效率最值问题。 【教学目标】： 1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。 2.提高将实际问题转化为数学问题的能力. 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能 力 3．体会导数在解决实际问题中的作用. 【教学重点】： 利用导数解决生活中的一些优化问题． 【教学难点】： 将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。 【教学突破点】： 利用导数解决优化问题的基本思路： 【教法、学法设计】： 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计 意图 (1)复习引入：提问用导 数法求函数最值的基本 步骤 学生回答：导数法求函数最值的基本步骤 为课 题作 铺垫. (2)典型例题讲解 例 1、 把边长为 cm 的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正 方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积 最大？ 解 设剪去的小方形的边长为 ，则盒子的为 ， 求导数，得 ， 选择 一个 学生 感觉 不是 很难 的题 目作 为例 题， 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题优化问题 用导数解决数学问题优化问题的答案 a x 2( 2 )V x a x= − (0 )2 ax< < 2( 2 ) 4 ( 2 ) (2 )(6 )V a x x a x x a x a′ = − − − = − −令 得 或 ，其中 不合题意，故在区间 内只有一个根： ， 显然， 因此，当四角剪去边长为 cm 的小正方形时，做成的纸盒的容积 最大． 让学 生自 己体 验一 下应 用题 中最 优化 化问 题的 解法。 (3) 利用导数解决优化问 题的基本思路： 1、 生活中的优化问题转化为数学问题 2、 立数学模型（勿忘确定函数定义域） 3、 利用导数法讨论函数最值问题 使学 生对 该问 题的 解题 思路 清析 化。 (4)加强巩固 1 例 2、铁路 AB 段长 100 千米，工厂 C 到铁路的距离 AC 为 20 千 米，现要在 AB 上找一点 D 修一条公路 CD，已知铁路与公路每吨 千米的运费之比为 3:5，问 D 选在何处原料从 B 运到 C 的运费最 省? 解： 设 AD 的长度为 x 千米，建立运费 y 与 AD 的长度 x 之间的 函数关系式，则 CD＝ ，BD＝100-x，公路运费 5k 元／Tkm，铁路运费 3k 元／Tkm y＝ ， 求出 f' (x)＝ ， 令 f’(x)＝0，得 3600＋9x2＝25x2 解得 x1＝15，x2＝-15(舍去)， ∵y(15)＝330k y(0)＝400k，y(100)≈510k ∴原料中转站 D 距 A 点 15 千米时总运费最省。 使学 生能 熟练 步骤. 0V′ = 6 ax = 2 ax = 2 ax = (0, )2 a 6 ax = 0 ( ) 0 ( ) 06 6 2 a a ax x x x< < > < < 2r > ( ) 0f r′ > ( )f r 2r < ( ) 0f r′ < ( )f r 2 ( )2 0f < 6 3r = ( )3 0f = 3r > ( )0 , 2r ∈ ( ) 0f r′ < ( )f r 2(7)作业布置:教科书 P104 A 组 1,2,3。 (8 备用题目： 1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 ，要使其体积最大，则其高为 （ A ） A B C D 2、设正四棱柱体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为 （A ） A B C D 3、设 8 分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为 4 。 4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是 4 。 5、某厂生产产品固定成本为 500 元，每生产一单位产品增加成本 10 元。已知需求函数为： ，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：先求出利润函数的表达式： 再求导函数： 求得极值点：q ＝ 80。只有一个极值点，就是最值点。 故得：q ＝ 80 时，利润最大。最大利润是： 注意：还可以计算出此时的价格：p ＝ 30 元。 6、用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方 形.然后把四边翻转 90 度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？ 最大容积是多少？ 解：设容器高为 xcm，容器的体积为 V(x)，则 20cm 20 3 3 cm 100cm 20cm 20 3 cm 3 V 3 2V 3 4V 32 V 200 4q p= − ( ) ( ) ( ) (500 10 )L q R q C q pq q= − = − + 2200 1500 10 40 5004 4 q q q q q −= − − = − + − 1( ) 402L q q′ = − + 21(80) 80 40 80 500 11004L = − × + × − = 48 48 2x− 90 2x− 48 2x− x x ( ) (90 2 )(48 2 )V x x x x= − − 3 24 276 4320x x x= − + 48 2 0,90 2 0, 0x x x− > − > > 0 24x∴ < < 2( ) ( ) 12 552 4320V x V x x x′ = − +求 导数得 12( 10)( 36)x x= − −令 令 1 2( ) 0 10, 36( )V x x x′ = = =解得 舍 (0,10) , '( ) 0, ( )x V x V x∈ >当 时 那么 为增函数 (10,24) , '( ) 0, ( )x V x V x∈