第二章 实数回顾与思考（教学设计）.doc

1 第六章 实数 回顾与思考 一、学生起点分析 本章学习至此，学生已经认识了无理数，学习了实数概念及相关运算，从而 将原有有理数扩充到了实数范围，使得对数的认识更进一步深入，让学生感受到 了数系扩充的必要性与作用．在前面的探究活动中，学生已经掌握了相关数学知 识，并具备了一定的数学能力，掌握了类比、数形结合等数学思想方法，也具备 了一定的合作学习经验，为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础． 二、教学任务分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张， 使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，在教学过程中 不必多过地追求概念，只要学生能够结合具体情境，从意义上理解主要概念即 可． 作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚， 对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识 点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思 想与方法． 因此，本节课的教学目标是： ①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念， 会用根号表示，并会求数的平方根、立方根并进行相关运算； ②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中，让学生体会类比的思想； ③通过复习提高学生归纳整理的能力，并在师生互动、生生互动的过程中让 学生学会倾听学会交流； 本章概念较多，学生容易混淆，因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算 术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念． 本章的难点体现在以下几处：①算术平方根的双重非负性有着重要的作用， 常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用；②实数的混合运算也一 向是学生计算的难点，学生往往在运算顺序、运算法则上出错；③本章对学生数2 形结合的能力有较高要求，如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握 的难点． 本章的知识结构框图 三、教学过程设计 本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：典例精析； 第三环节：运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业． 第一环节 知识回顾 知识点填空: （1） 无限不循环小数 叫做无理数． 2 2 2 3 3 3 ( 0) x a x a x a x a x a x a a x x a x a x a x a x a a a          =  = = ±  =  = = = ≥ 整数有理数 分数 实数分类 正无理数无理数 负无理数 定义：如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 叫做 的平方根 平方根 表示：若 ，则 算术平方根：若 ，则 的算术平方根为 定义：如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 叫做 的立方根立方根 表示：若 ，则 实数 定义：式子 叫做二次根式二次根式 最简二次 2 2 33 3 3 ( ) ( 0) ( ) ( 0, 0) ( 0, 0) a a a a a a a a a a b ab a b a a a bbb                      = ≥   =  =   =    ⋅ = ≥ ≥    = ≥ ≥   根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式 重要性质 实数的性质应用3 （2） 有理数和无理数 统称为实数． （3） 实数 和数轴上的点是一一对应的． （4） ； ； ； ； ； （5）把 分母 中的根号化去，叫做分母有理化． （6）最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数 或因式 （7）同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 后，如果被开方数相 同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；化简时，有同类二次根式要合并，可 以约分的分式要约分． 设计说明：以上 7 个填空题老师可带着学生共同完成，通过填空让学生清晰 本章的几个重要概念，特别是（4）中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清 楚．这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫. 第二环节 典例精析 （一）实数的相关概念 例 1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ ， ，3.14159265， ， ， ， ，3.1010010001…（相邻两个 1 之间 0 的各数逐次加 1） 设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方 法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主 要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含 的数；③是无限小数且不循环．在判        整数有理数 分数 实数分类 正无理数无理数 负无理数 =2a a )0()( 2 ≥= aaa aa =33 )( aa =3 3 )0,0( ≥≥=⋅ baabba )0,0( ≥≥= bab a b a 23 3 5 9 π− 3 1− 2( 5)− π4 断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的 ， 虽然都含有根号，但它们都是有理数.所以此题中的有理数有：3.14159265， ， ；无理数有： ， ， ， ，3.1010010001…（相邻两个 1 之间 0 的各数逐次加 1） （二）实数的相关性质及运算 例 2 实数 、 在数轴上的位置如图所示，化简 . 设计说明：此题考查算术平方根的意义，也培养学生的读图能力，体现数学 中的数形结合思想方法．由数轴上 、 的位置可知 ， ，从而根 据算术平方根与绝对值的意义有： 例 3 计算：(1) 　 (2) 设计说明：意在复习实数的运算法则及二次根式的化简. 例 4 （1）已知 、 满足 ，求 的值 （2）已知 ，求 的值. 设计说明：运用算术平方根的双重非负性解决此题，这也是本章的难点之一. 解：（1） 又 9 2( 5)− 9 2( 5)− 23 3 5 π− 3 1− a b 2( )a b b a+ + − a b 0a b+ < 0b a− > 2( ) ( ) 2a b b a a b b a a b b a a+ + − = − + + − = − − + − = − 1 4010 − 482 1 3 19125 +− 1 1 10 19 1040 4 10 2 1010 10 1010 − = − = − = − 1 1 1 1 35 12 9 48 5 4 3 9 16 3 10 3 9 2 3 10 3 3 3 2 3 9 33 2 2 33 − + = − + = − ⋅ + = − + = a b 2 3 0a b− + + = 2013( )a b+ 2 4 2 4 2 3y x x= − − − + yx 2 0, 3 0a b− ≥ + ≥ 2 3 0a b− + + = 2 0, 3 0a b∴ − = + = 2, 3a b∴ = = −5 （2） （三）实数中的数形结合 例 5、已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高 AD=8，则边 BC 的长为多少？ 设计说明：此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题．其 易错点是△ABC 的形状有两种情况，学生容易忽略钝角三角形的情况．通过此题 意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力. 分析：（1）当 △ABC 为锐角三角形时，易求 BD=15，DC=6，从而求得 BC=15+6=21. （2）当△ABC 为钝角三角形时，易求 BD=15，DC=6，从而求得 BC=15－ 6=9. 第三环节 运用巩固 1．下列说法错误的是（ ） A．4 的算术平方根是 2 B． 是 2 的平方根 C．－1 的立方根是－1 D．－3 是 的平方根 2．当 时，求代数式 的值． 3．若 有意义，求 的取值范围. 2013 2013 2013( ) (2 3) ( 1) 1a b∴ + = − = − = − 2 4 0,4 2 0x x− ≥ − ≥ 2 4 4 2 0x x∴ − = − = 2x∴ = 0 0 3 3y∴ = − + = 32 8yx∴ = = 2 2( 3)− 32 8 17ABCC∆ = 51ABCS∆ = 47 49P −7 学活动最主要的意图就是让学生主动起来，应多给予学生交流的时间与机会． 3．注意收集学生生成性的学习资源 在师生的问答活动中、在学生的独立思考中、在生生之间的互动交流中都会 迸发出许多我们难以预料的惊喜或困惑，也许是一些精彩的发言、也许是一个精 妙的方法、也许是一个典型的错误、也许一个重要的经历、也许是一串宝贵的收 获…这些在课堂中新生成的资源是学生学习过程中的宝贵财富，因此我们应鼓励 学生多收集这些闪光点用以形成自己可以学习借鉴的学习资源．