《分式》全章复习与巩固

1 《分式》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．掌握分式的四则运算． 4．结合实际情况，分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握方 程的解法，体会解方程中的化归思想． 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂 405794 分式全章复习与巩固 知识要点】 要点一、分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式.其中 A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即 当 B≠0 时，分式 才有意义. 2.分式的基本性质 　　 （M 为不等于 0 的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约 分化简. 要点二、分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这 样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的 分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 A B A B2 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中 是整式， . 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中 是整式， . 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后， 方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值 为 0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将 所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程 的解. 要点四、分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住 “找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量” 等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【典型例题】 类型一、分式及其基本性质 1、（2016•营口模拟）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ ） 　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【思路点拨】根据分式有意义的条件来判断. 【答案】D； a c ac b d bd ⋅ = a b c d、 、 、 0bd ≠ a c a d ad b d b c bc ÷ = ⋅ = a b c d、 、 、 0bcd ≠ a b a b c c c ±± = 1 2 1x + 1 2 1x − 2 1 3x x − 2 5 3 2 1 x x + +3 【解析】一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于 0.即若 是一个分式，则 有意义 B≠0.而选项 D，分母 2x2+1≥1，所以无论 x 取何值 一定有意义. 【总结升华】分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零. 【高清课堂 分式全章复习与巩固 例 2】 2、不改变分式的值，把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案与解析】 解：（1） ． （2） ； （3）原式 ； 【总结升华】在确定分子和分母中所有分母的最小公倍数时，要把小数先化成最简分数；相 乘时分子、分母要加括号，注意不要漏乘． 类型二、分式运算 3、计算： ． 【思路点拨】本题如果直接通分计算太繁琐，观察比较发现，前两个分式分母之积为平方差 公式，通分后与第三个分式的分母又符合平方差公式，以此类推可解此题． 【答案与解析】 解：原式 ． 【总结升华】此类题在进行计算时采用“分步通分”的方法，逐步进行计算，达到化繁为简 的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑． 举一反三： 【变式】计算 … ． 【答案】 2 5 3 2 1 x x + + 1 4 2 3 1 1 3 4 a b a b + − 0.3 0.2 0.05 x y x y + − 2 2 2 2 30.4 10 1 0.64 x y x y + − 1 41 4 12 6 162 32 3 1 1 1 1 4 3123 4 3 4 a ba b a b a ba b a b  + ×+   + = = − − − ×   0.3 0.2 0.05 x y x y + − (0.3 0.2 ) 100 30 20 (0.05 ) 100 5 100 x y x y x y x y + × += =− × − 5(6 4 ) 6 4 5( 20 ) 20 x y x y x y x y + += =− − 2 2 2 2 2 2 2 2 (0.4 0.3 ) 100 40 30 (0.25 0.6 ) 100 25 60 x y x y x y x y + × += =− × − 2 2 2 2 2 2 2 2 5(8 6 ) 8 6 5(5 12 ) 5 12 x y x y x y x y + += =− − 2 4 1 1 2 4 1 1 1 1x x x x + + +− + + + 2 2 4 4 4 8 2 2 4 4 4 8 1 1 1 1 1 1x x x x x x = + + = + =− + + − + − 1 1 1 ( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3)a a a a a a + + ++ + + + + 1 ( 2005)( 2006)a a + + +4 解：原式 … … ． 类型三、分式条件求值的常用技巧 【高清课堂 405794 分式全章复习与巩固 例 5】 4、已知 ，求 的值． 【思路点拨】直接求值很困难，根据其特点和已知条件，能够求出其倒数的值，这样便可求 出 的值． 【答案与解析】 解：方法一：∵ ，而 ， ∴ ，∴ ． 方 法 二 ： 原 式 ． 【总结升华】（1）本题运用转化思想将所求分式通过分式的基本性质转化为已知分式的代 数式来求值．（2）根据完全平方公式，熟练掌握 、 、 之间的关系， 利用它们之间的关系进行互相转化． 举一反三： 【变式】（2015 春•惠州校级月考）若 0＜x＜1，且 的值． 【答案】 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3a a a a a a      = − + − + − +     + + + + +      1 1 2005 2006a a  + − + +  1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3a a a a a a = − + − + − ++ + + + + 1 1 2005 2006a a + −+ + 2 1 1 2006 2006 2006 ( 2006) ( 2006) 2006 a a a a a a a a a a += − = − =+ + + + 1 4x x + = 2 4 2 1 x x x+ + 2 4 2 1 x x x+ + 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 11x x x x x xx x x x + + + + ÷= = + +÷ 2 2 2 1 11 1x xx x    = + + = + −       1 4x x + = 4 2 2 1 15x x x + + = 2 4 2 1 1 15 x x x =+ + 2 2 4 2 2 2 2 1 1( 1) 1 x x x x x x x ÷= =+ + ÷ + + 2 2 1 1 1x x =  + +   2 1 1 151 1x x = =  + −   1x x + 2 2 1x x + 4 2 2 1x x x + +5 解：∵x+ =6， ∴（x﹣ ）2=（x+ ）2﹣4=36﹣4=32， ∴x﹣ =±4 ， 又∵0＜x＜1， ∴x﹣ =﹣4 ． 5、设 ，且 ， ，求 的值． 【答案与解析】 解：解关于 、 的方程组 得 ． 把 代入原式中， ∴ 原式 ． 【总结升华】当所求分式的分子、公母无法约分，也无法通过解方程组后代入求值时，若将 两个三元一次方程中的一个未知数当作已知数时，即可通过解方程组代入求值． 举一反三： 【变式】已知 ，且 ，求 的值． 【答案】 解：因为 ， 所以 ， 所以 或 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ． 0abc ≠ 3 2 7 0a b c+ − = 7 4 15 0a b c+ − = 2 2 2 2 2 2 4 5 6 2 3 a b c a b c − − + + a b 3 2 7 0 7 4 15 0 a b c a b c + − =  + − = 2 a c b c =  = 2 a c b c =  = 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5(2 ) 6 22 11 2(2 ) 3 12 6 c c c c c c c c − − −= = = −+ + 2 22 3 0x xy y− − = x y≠ − 2 x xy x y − − 2 22 3 0x xy y− − = ( )(2 3 ) 0x y x y+ − = 0x y+ = 2 3 0x y− = x y≠ − 0x y+ ≠ 2 3 0x y− = 2 3y x= 2 22 23 3 x x x xy xx y x x = − −− − 3 2 7 733 3 x x x x x = = = − − −6 类型四、分式方程的解法 6、解方程 ． 【答案与解析】 解：原方程整理得： 方程两边同乘以 得： 去括号，移项合并同类项得： ，∴ ． 检验：把 代入 ∴ 是原方程的根． 【总结升华】解分式方程的基本思想是：设法将分式方程“转化”为整式方程，去分母是解 分式方程的一般方法，在方程两边同乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方 程．但要注意可能会产生增根，所以必须验根． 举一反三： 【变式】（2015 春•靖江市校级月考）若关于 x 的方程 ﹣ = 有增根，求增根 和 k 的值． 【答案】解：最简公分母为 3x（x﹣1）， 去分母得：3x+3k﹣x+1=﹣2x， 由分式方程有增根，得到 x=0 或 x=1， 把 x=0 代入整式方程得：k=﹣ ； 把 x=1 代入整式方程得：k=﹣ ． 类型五、分式方程的应用 7、（2015•扬州）扬州建城 2500 年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树 1200 棵， 由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多 20%，结果提前 2 天完成，求原计划 每天栽树多少棵？ 【思路点拨】设原计划每天种树 x 棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%），根据题意可得， 实际比计划少用 2 天，据此列方程求解． 【答案与解析】 解：设原计划每天种树 x 棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%）， 由题意得， ﹣ =2， 解得：x=100， 2 6 3 5 25 ( 3)( 5) ( 3)( 5)x x x x x = +− + + + − 6 3 5 ( 5)( 5) ( 3)( 5) ( 3)( 5)x x x x x x = ++ − + + + − ( 3)( 5)( 5)x x x+ + − 6( 3) 3( 5) 5( 5)x x x+ = − + + 2 8x = 4x = 4x = ( 3)( 5)( 5)( 5) 0x x x x+ + + − ≠ 4x =7 经检验，x=100 是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种树 100 棵． 【总结升华】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出 合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 举一反三： 【变式】某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期 3 天．现两队合做 2 天后，余下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程限期是多少天？ 【答案】 解：设该工作限期为 天，则甲队的工作效率为 ，乙队的工作效率为 ． 依题意列出方程： ． 整理，得 ． 两边都乘以 ，得 ． 解这个整式方程，得 ． 经检验， 是原方程的根． 答 ： 该 工 程 限 期 是 6 天 ． x 1 x 1 3x + 1 1 12 ( 2) 13 3xx x x  + + − × = + +  2 13 x x x + =+ ( 3)x x + 22( 3) ( 3)x x x x+ + = + 6x = 6x =8 【巩固练习】 一.选择题 1．下列关于 的方程，其中不是分式方程的是（　　） A. B. C. D. 2． 的结果是（ ） A． B． C． D．1 3．分式方程 的解是（ ） A．0 B．2 C．0 或 2 D．无解 4．（2015 春•四川校级期中）关于 x 的分式方程 =2+ 有增根，则实数 k 的值为 （　　） 　 A． 3 B .0 C.±3 D． 无法确定 5．某农场挖一条 480 米的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4 天完成任务， 若设原计划每天挖 米，那么下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 6．化简 的结果是( )． A． B． C． 　　D． 7. （2016•贺州）若关于 x 的分式方程 的解为非负数，则 a 的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1 且 a≠4 D．a＞1 且 a≠4 8. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过 相遇；若同向而行，则经过 甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 二.填空题 9．若分式 的值为 0，则 的值为______． 10．若 ，且 ＞0，则分式 的值为______． x a baax +=+1 x a bx b a +=− 11 b x a ax 1−=+ 1=− +++ − nx mx mx nx ba ba ba ba ba ba − +×− +÷− + 22 )()( ba ba + − ba ba − + 2)( ba ba − + )2( 62 2 3 −+=− xxxx x 480 480 420x x − =+ 480 480 204x x − =+ 480 480 420x x − =− 480 480 204x x − =− 22)11( yx xy yx −⋅− yx + 1 yx +− 1 x y− y x− ah bh a b b + b a b+ a b b a + − b a b a − + 1|| 2 − − x xx x 2 212x y xy− = xy yx yx − + 2 39 11．化简 ______； ＝______． 12．化简﹣ 的结果是__________． 13 ．（ 2016• 咸 宁 ） a ， b 互 为 倒 数 ， 代 数 式 ÷ （ + ） 的 值 为 ____________． 14．（2014 秋•沧浪区校级期中）已知 ，则 =　 　． 15．若分式方程 的解是 ，则 ______． 16． 个人 天可做 个零件(设每人速度一样)，则 个人用同样速度做 个零件所需天数 是________． 三.解答题 17.（1）已知 ，求 ， 的值； （2）已知 ，求 的值． 18.（2014 秋•北京校级期中）已知 x2﹣x﹣6=0，求 的值． 19. 为何值时，关于 的方程 会产生增根？ 20. 某文化用品商店用 2000 元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二 批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的 3 倍，但单价贵了 4 元，结果第二批用了 6300 元． （1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是 120 元，全部售出后，商店共盈利多少 元？ 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】分式方程是分母含有未知数的等式. 2. 【答案】B； 【解析】 . 3. 【答案】D； 【解析】去分母得， ，解得 是增根. 2 2 2 2 9 3 6 a b a b ab =− 242 6 aa ab − 12772 3 =−+− x a x x 0x = a = a b c b a 1 3a a + = 2 2 1a a + 4 4 1a a + 2 2 1 7a a + = 1a a − a x 2 2 3 2 4 2 ax x x x + =− − + 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + − + +÷ × = × × =− − − − + − − ( )3 2 2 6x x= − + 2x =10 4. 【答案】A； 【解析】解：分式方程去分母得：x=2x﹣6+k， 由分式方程有增根，得到 x﹣3=0，即 x=3， 把 x=3 代入整式方程得：k=3． 故选 A． 5. 【答案】A； 【解析】原计划所用时间为 ，实际所用时间为 ，选 A． 6. 【答案】B； 【解析】 . 7. 【答案】C； 【解析】去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x= ， 由题意得： ≥0 且 ≠2，解得：a≥1 且 a≠4，故选：C． 8. 【答案】C； 【解析】不妨设甲乙两人开始时相距 s 千米，甲的速度为 ，乙的速度为 ， 则根据题意有 于是 ， 所以 ，即 ．甲的速度是乙的 倍． 二.填空题 9. 【答案】0； 【解析】由题意 且 ，解得 . 10.【答案】1； 【解析】由 得 ，因为 ＞0，所以 ，代入 原式得 . 11.【答案】 ； ； 【解析】 ； . 12.【答案】a+1； 【解析】﹣ = . 480 x 480 20x + 2 2 1 1 1( ) ( )( ) xy y x xy x y x y xy x y x y x y −− ⋅ = ⋅ = −− − + + 1v 2v 1 2 1 2 ( ), ( ). s a v v s b v v = +  = − 1 2 1 2( ) ( )a v v b v v+ = − 2 1( ) ( )a b v b a v+ = − 1 2 v a b v b a += − a b b a + − 2 0x x− = | | 1 0x − ≠ 0x = 2 212x y xy− = ( )( )4 3 0x y x y− + = xy 4x y= 3 12 x y x y + =− 3 2 ab a b− 3 1 2 b a− 2 2 2 2 2 2 9 9 3 3 6 3 ( 2 ) 2 a b a b ab a b ab ab a b a b = =− − − 2 6 6 3 2 4 2 (1 2 ) 1 2 ab ab b a a a a a = =− − −11 13.【答案】1； 【解析】原式= ÷ =（a+b）• =ab， ∵a，b 互为倒数，∴a•b=1，∴原式=1． 14.【答案】 ； 【解析】解：设 =k，则 x=2k，y=3k，z=4k，则 = = = ． 15.【答案】7； 【解析】将 代入原方程，解得 . 16.【答案】 ； 【解析】每人每天做 个零件， 个人用同样速度做 个零件所需天数是 ． 三.解答题 17.【解析】 解：（1）因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ． 所以 ．同理可得 ． （2）因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ． 18.【解析】 解：∵x2﹣x﹣6=0， ∴x2=x+6， ∴把 x2=x+6 代入 ： 原式= 0x = 7a = 2a c c ab b a 21c ab aa b aab b c c ÷ ÷ = × × = 1 3a a + = 0a ≠ 2 21 3a a  + =   2 2 1 2 9a a + + = 2 2 1 7a a + = 4 4 1 47a a + = 2 2 1 7a a + = 2 2 1 2 5a a + − = 21 5a a  − =   1 5a a − = ± 6 ( 6) 6 36 x x x x + + + + +12 = = = = = 所以原式的值是 . 19.【解析】 解：方程两边都乘以 ，得 ． 整理得 ． 当 时，方程无解． 当 时， ． 如果方程有增根，那么 ，即 ，或 ． 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ． 所以当 或 时，原方程会产生增根． 20.【解析】 解：（1）设第一批购进书包的单价为 元，则第二批购进书包的单价为 元，第一批 购进书包 个，第二批购进书包 个． 依题意，得 ， 整理，得 ，解得 ．经检验 是原方程的根. （2） （元）． 答：第一批购进书包的单价为 80 元．商店共盈利 3700 元． 2 6 6 42 x x x x + + + + 6 6 7 42 x x x + + + + 6 8 48 x x + + 6 8( 6) x x + + 1 8 1 8 ( 2)( 2)x x+ − 2( 2) 3( 2)x ax x+ + = − ( 1) 10a x− = − 1a = 1a ≠ 10 1x a = − − ( 2)( 2) 0x x+ − = 2x = 2x = − 2x = 10 21a − =− 4a = − 2x = − 10 21a − = −− 6a = 4a = − 6a = x ( 4)x + 2000 x 6300 4x + 2000 63003 4x x × = + 20( 4) 21x x+ = 80x = 80x = 2000 6300(120 80) (120 84) 1000 2700 370080 84 × − + × − = + =