《因式分解》全章复习与巩固

1 《因式分解》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算； 2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多 项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形， 而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式是 ，即 ，而 正好是 除以 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即 ， . 形如 ， 的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右 边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减） m m ( )( )2 2a b a b a b− = + − ( )22 22a ab b a b+ + = + ( )22 22a ab b a b− + = − 2 22a ab b+ + 2 22a ab b− +2 这两数之积的 2 倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母 和 的广泛意义， 、 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式 ，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑 分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式 分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法 等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、提公因式法分解因式 1、 分解因式： (1) ； (2) ． 【答案与解析】 解：(1) ． (2) ． 【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别 是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确 与否． a b a b 2x bx c+ + pq c p q b =  + = ( )( )2x bx c x p x q+ + = + + 2 2 22 8 4a bc ac abc+ − 3 2( ) ( ) ( )( )m m n m m n m m n m n+ + + − + − 2 2 22 8 4 2 ( 4 2 )a bc ac acb ac abc c b+ − = + − 3 2( ) ( ) ( )( )m m n m m n m m n m n+ + + − + − 2( )[( ) ( ) ( )]m m n m n m n m n= + + + + − − 2 2( )( 2 2 )m m n m mn n n= + + + +3 2、利用分解因式证明： 能被 120 整除． 【思路点拨】25＝ ，进而把 整理成底数为 5 的幂的形式，然后提取公因式并整理为 含有 120 的因数即可． 【答案与解析】 证明： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ∴ 能被 120 整除． 【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有 120 的因数相乘的形 式． 类型二、公式法分解因式 3、放学时，王老师布置了一道分解因式题： ，小 明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了， 你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的． 【思路点拨】把 分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答． 【答案与解析】 解：把 看作完全平方式里的 ； 原式＝ ＝ ＝ ． 【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把 看作完全 平方式里的 是解题的关键． 举一反三： 7 1225 5− 25 725 7 1225 5− ( )72 125 5− 14 125 5− ( )12 25 5 1− 125 24× 115 5 24× × 115 120× 7 1225 5− ( ) ( ) ( )2 2 2 24 4x y x y x y+ + − − − ( ) ( )x y x y+ −、 ( ) ( )x y x y+ −、 ,a b ( ) ( ) ( )( )22 2 2 2x y x y x y x y+ + − − × + −   ( ) ( ) 22x y x y+ − −   ( )23y x− ( ) ( )x y x y+ −、 ,a b4 【变式】下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程． 解：设 原式＝ （第一步） ＝ （第二步） ＝ （第三步） ＝ （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）． A、提取公因式 B．平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解． 【答案】 解：（1）运用了 C，两数和的完全平方公式； （2） 还可以分解，分解不彻底；结果为 . （3）设 ． ＝ ， ＝ ， ＝ 2， ＝ ， ＝ ． 4、（2014 春•高密市期末）把下列各式进行因式分解 （1）4（x﹣2）2﹣1； （2）（x+y）2+4（x+y+1）. 【思路点拨】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）经过变形，利用完全平方公式 分解因式即可. ( )( )2 24 2 4 6 4x x x x− + − + + 2 4x x y− = ( )( )2 6 4y y+ + + 2 8 16y y+ + ( )24y + 2 2( 4 4)x x− + ( )( )2 22 2 2 1x x x x− − + + 2 4 4x x− + ( )42x − 2 2x x y− = ( )( )2 22 2 2 1x x x x− − + + ( )2 1y y + + 2 2 1y y+ + ( )21y + 2 2( 2 1)x x− + ( )41x −5 【答案与解析】 解：（1）4（x﹣2）2﹣1 =[2（x﹣2）+1][2（x﹣2）﹣1] =（2x﹣3）（2x﹣5）； （2）（x+y）2+4（x+y+1） =（x+y）2+4（x+y）+4 =（x+y+2）2. 【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键． 举一反三： 【变式】设 ， ，…， （ 为大于 0 的自然 数）．（1）探究 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数 的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出 ， ，…， ，… 这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 满足什么条件时， 为完全平 方数（不必说明理由）． 【答案】 解：（1）∵ ， 又 为非零的自然数， ∴ 是 8 的倍数． 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数 （2）这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数为 16，64，144，256． 为一个完全平方数的 2 倍时， 为完全平方数 类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式 5、分解因式：（1） （2） （3） 【答案与解析】 解：（1）原式 （2）原式＝ （3）原式＝ 2 2 1 3 1a = − 2 2 2 5 3a = − ( ) ( )2 22 1 2 1na n n= + − − n na 1a 2a na n na ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 4 4 1 4 4 1 8na n n n n n n n= + − − = + + − + − = n na n na ( ) ( )22 22 2 2x x− − − − ( )22 24 4 20x x x x+ − − − 2 24 4 6 3 4a ab b a b− + − + − ( )( ) ( )( )( )( )2 22 2 2 1 2 2 1 1x x x x x x= − − − + = + − + − ( ) ( )( )22 2 2 24 ( 4 ) 20 4 5 4 4x x x x x x x x+ − + − = + − + + ( )( )( )25 1 2x x x= + − + ( ) ( ) ( )( )22 3 2 4 2 4 2 1a b a b a b a b− − − − = − − − +6 【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题. 举一反三： 【变式】（2014 秋•浦东新区校级期末）（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50． 【答案】解：将（x-y）看成一个整体，原式=（x﹣y+10）（x﹣y﹣5）． 6、已知长方形周长为 300 厘米，两邻边分别为 厘米、 厘米， 且 ＝0，求长方形的面积． 【思路点拨】把 ＝0 化简成 ，可得 ， 由题意可得 ，解方程组 即可. 【答案与解析】 解：∵ ＝0 ∴ ＝0 ∵ ＝0 ∴ ， ， （不合题意，舍去） 又由题意可得 解方程组 解之得， ＝100， ＝50 ∴长方形的面积＝100×50＝5000 平方厘米． 【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法 和运用平方差公式法． 举一反三： 【变式】因式分解： ，正确的分组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D； 当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中 正好 符 合 完 全 平 方 公 式 ， 应 考 虑 2 ， 3 ， 4 项 为 一 组 ． x y 3 2 2 34 4x x y xy y+ − − 3 2 2 34 4x x y xy y+ − − ( )( )( )2 2x y x y x y+ + − 2x y= 150x y+ = 2 150 x y x y =  + = 3 2 2 34 4x x y xy y+ − − ( ) ( )2 24x x y y x y+ − + ( )( )( )2 2x y x y x y+ + − 2x y= x y= − 2x y= − 150x y+ = 2 150 x y x y =  + = x y 2 21 4 4 8x y xy− − + 2 2(1 4 ) (8 4 )x xy y− + − 2 2(1 4 4 ) 8x y xy− − + 2 2(1 8 ) (4 4 )xy x y+ − + 2 21 (4 4 8 )x y xy− + − 2 24 4 8x y xy− − +7 【巩固练习】 一.选择题 1. 下列式子变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2. 已知：△ABC 的三边长分别为 ，那么代数式 的值（ ） A.大于零 B.等于零 C.小于零 D 不能确定 3．已知 有一个因式是 ，把它分解因式后应当是（ ） A． B． C． D． 4．若 ，且 ， ，那么 必须满足条件( )． A. 都是正数 B. 异号，且正数的绝对值较大 C. 都是负数 D. 异号，且负数的绝对值较大 5.（2015•贺州）把多项式 4x2y﹣4xy2﹣x3 分解因式的结果是（　　） 　 A．4xy（x﹣y）﹣x3 B．﹣x（x﹣2y）2 　 C．x（4xy﹣4y2﹣x2） D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2） 6．将下述多项式分解后，有相同因式 的多项式有 (　 ) ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ；　　⑥ A．2 个 　　　B．3 个　　　 C．4 个 　　　D．5 个 7. 已知 可因式分解成 ，其中 均为整数，则 （　　） A．－12 B．－32 C．38 D．72 8. 将 分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ） A. 　　　 B. C. 　　　D. 二.填空题 9.（2015 春•滨江区期末）因式分解：16m4﹣8m2n2+n4=　 　． 10. 分解因式： ＝_____________. ( )2 5 6 5 6x x x x− + = − + ( )( )2 5 6 2 3x x x x− + = − − ( )( ) 22 3 5 6x x x x− − = − + ( )( )2 5 6 2 3x x x x− + = + + a b c、 、 222 2 bcaca −+− 3 12 16x x− + 4x + 2( 4)( 2)x x+ − 2( 4)( 1)x x x+ + + 2( 4)( 2)x x+ + 2( 4)( 1)x x x+ − + ( )( ) 2x a x b x px q+ + = + + 0p > 0q < a b， a b， a b， a b， a b， 1x − ( )( ) ( )( )19 31 13 17 13 17 11 23x x x x− − − − − ( )( )8ax b x c+ + , ,a b c a b c+ + = 3 2 2 3x x y xy y− − + 3 2 2 3( ) ( )x x y xy y− + − + 3 2 2 3( ) ( )x xy x y y− + − + 3 3 2 2( ) ( )x y x y xy+ + − − 3 2 2 3( )x x y xy y− − + ( ) ( )2 29 a b a b+ − −8 11.已知 ，则 ＝ ． 12.分解因式： ＝__________. 13．若 有一个因式为 ，则 的值应当是_________. 14.把多项式 分解因式的结果是__________. 15.已知 ，则 ＝ ． 16.分解因式：（1） ＝________；（2） ＝________. 三.解答题 17.求证： 能被 45 整除． 18.（2015 春•焦作校级期中）已知 x2+x=1，求 x4+x3﹣2x2﹣x+2015 的值． 19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的 长方形，如图 2． ①用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积； ②由此，你可以得出的一个等式为：________. （2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示． ①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图； ②请你用拼图等方法推出 因式分解的结果，画出你的拼图． 20.下面是某同学对多项式 ＋4 进行因式分解的过程： 解：设 原式＝ （第一步） ＝ （第二步） ＝ （第三步） ＝ （第四步） 回答下列问题： 2 22 6 10 0m m n n+ + − + = mn ( )( )2 2 3a a a+ − + 3 22 13x x x k− − + 2 1x + k 2 2ac bc a b− + − 5, 3a b ab+ = = 3 2 2 32a b a b ab− + 4 25 4x x− + 3 3 2 2a m a m am+ − − 7 9 1381 27 9− − 2 22 5 2a ab b+ + ( )( )6424 22 +−+− xxxx yxx =− 42 ( )( )2 6 4y y+ + + 2 8 16y y+ + ( )24+y ( )22 44 +− xx9 （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ） A．提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底) 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B； 【解析】 A. 右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误； B. 是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确； C. 是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误； D. ，故本选项错误． 2. 【答案】C； 【解析】 ，因为 为三 角形三边长，所以 ，所以原式小于零. 3. 【答案】A 【解析】代入答案检验. 4. 【答案】B； 【解析】由题意 ，所以选 B. 5. 【答案】B； 【解析】解：4x2y﹣4xy2﹣x3 =﹣x（x2﹣4xy+4y2） =﹣x（x﹣2y）2， 故选：B． 6. 【答案】C； 【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式 . 7.【答案】Ａ； 　【解析】原式＝ ，∵可以分解成 ，∴ ∴ －12． 8. 【答案】D； 【解析】A、B 各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C 第一组运 用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式 ，所以分组合理，D 第一 ( )( ) 1222 22 ++−− xxxx ( )2 5 6 5 6x x x x− + = − + ( )( )2 5 6 2 3x x x x− + = − − ( )( ) 22 3 5 6x x x x− − = − + ( )( )2 5 6 2 3x x x x− + = − − ( ) ( )( )22 2 2 22a ac c b a c b a c b a c b− + − = − − = − + − − a b c、 、 0, 0a b c a b c+ − > − − < 0 0a b ab+ >