1.4 公因数、公倍数教案

1.4 公因数、公倍数  教学内容 教材第 12-14 页例认识公因数和求最大公因数，认识公倍数与求最小公倍数，课堂活动 及练习四的相关内容。  教材提示 本节课是在学生学习了找因数和找倍数的基础上，学习找两个数的公因数和公倍数。本 节课共有三个知识点： 知识点一：公因数和公倍数的认识。 知识点二：最大公因数的认识和求最大公因数的方法。 知识点三：最小公倍数的认识和求最小公倍数的方法。 教材首先通过一个问题情境引入找公因数。把一个长方形剪成大小相等的正方形且没有 剩余，实际就是求长和宽的公有的因数。通过找公因数而得到最大公因数。再通过分别找两 个数的倍数中发现两个数公有的倍数。并发现公倍数的个数有无限个，但有最小的公倍数。 并让学生学会用不同的方法来找最小公倍数。 在教学的过程中，要让学生学会用列举法找公因数和公倍数，而对于用短除法来找最在 公因数和最小公倍数，则是这节课的重点，也是难点。在教学中，我们可以借助列举法来探 讨用短除法的方法，并结合 2、3、5 的倍数特征来进行短除法练习。  教学目标 知识与技能： 探索找两个数的公因数和公倍数的方法，会用列举法和短除法来找两个数的最大公因 数和最小公倍数。经历找两个数的公因数的过程，理解最大公因数和最小公倍数的意义。 过程与方法： 经历知识的整理与探究过程，增强归纳、概括等数学能力，进一步发展数感。 情感、态度和价值观： 进一步发展与同伴进行合作交流的意识和能力，获得成功的体验。  重点、难点 重点 找两个数的公因数和公倍数。 难点 用短除法找两个数的最大公因数和最小公倍数。  教学准备 教师准备：课件。 学生准备：草稿本，长 3 厘米，宽 2 厘米的纸片，边长分别为 6 厘米和 8 厘米的正方 形。  教学过程 （一）操作活动导入： 1.课前让学生拿出准备好的长方形纸片和正方形。然后引导学生用长 3 厘米、宽 2 厘米 的长方形纸片分别铺边长 6 厘米、8 厘米的正方形。 思考：能铺满哪个正方形？从中你发现了什么？ 学生独立活动后指名在实物展示台上铺一铺。 2.引导：⑴用长 3 厘米、宽 2 厘米的长方形纸片铺边长 6 厘米的正方形，每条边各铺了 几次？怎样用算式表示？ ⑵铺边长 8 厘米的正方形呢？每条边都能正好铺满吗？ 根据刚才铺正方形的过程，在头脑里想一想，用 3 厘米、宽 2 厘米的长方形纸片还可以 铺边长多少厘米的正方形？在小组里交流。 教师讲解：6、12、18、24……既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，它们是 2 和 3 的公倍数。 3.引入课题：这就是我们这节课要学习的内容：公因数、公倍数。 板书课题：公因数、公倍数 设计意图：通过让学生实际地操作来拼一拼，做一做，学生才能真切地感受到数学的神 奇，增进学习数学的兴趣，同时也在活动中培养了学生的探索精神。 （二）探究新知： 1、找公因数和最大公因数。 （1）课件出示第 12 页例 1：一张长 30 厘米，宽 12 厘米的长方形纸，剪成大小相等的 正方形且没有剩余。 提问：你认为该怎样剪。这个边长与长和宽有怎样的关系？ 讨论交流，得出结论：这个正方形的边长应该能同时整除这个长方形的长和宽。也就是 这个长方形长和宽的共有的因数，也就是公因数。 （2）怎样来找这两个数的公因数呢？ 小组交流后汇报：可以先分别找出这两个数的因数，再从两个数的因数里找到它们公有的因数。 提出练习要求：请同学们在草稿本上分别找出这两个数的因数，再从这两个数的因数里 找到它们的公因数。 学生在草稿本上找公因数。最后汇报交流，集体订正。 学生汇报：12 的因数有：1，2，3，4，6，12. 30 的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30. （3）什么叫公因数呢？ 启发学生看书后回答：就是这两个数共有的因数，如 12 和 30 的公因数有：1，2，3， 6。 引导找最大公因数：一个数的因数的个数是有限的。最大的因数是它本身，最小的因数 是 1.那两个数的公因数中，最大的是几呢？这个正方形最大的边长是几厘米？ 学生回答：从公因数里看，最大的公因数是 6。所以这个正方形最大的边长是 6 厘米。 再次启发学生寻求多种方法来求最大公因数：求两个数的最大公因数是先求到公因数， 再从公因数里找到最大的公因数。除了上面的列举法外，还有别的方法吗？ 学生汇报：还可以这样做。即用画图法。 教师讲解说明：从图中可以看出，1，2，3，6 是 12 和 30 的公有的因数，叫做 12 和 30 的公因数。其中 6 是最大的一个公因数，叫做它们的最大公因数。 设计意图： 让学生在动手活动中感受到公因数的实际应用，并认识公因数，再通过让 学生运用列举的方法，让学生主动获取求最大公因数的方法。 引导讲解第三种求最大公因数的方法：还有一种求最大公因数的方法，叫短除法。这种 方法该怎样做呢？我们一起来学习一下。 教师课件演示： 因为 12 和 30 的个位上是 0 和 2，这两个数都能被 2 整除。所以用它们公有的因数 2 去 除 12 和 30，余 6 和 15。我们发现 6 和 15 都有被 3 整除，所以再用它们的公因数 3 去除。余 2 和 5。这时 2 和 5 只有公因数 1 了。就不能再除了。这时，我们要以把两次的因数乘起 来，就是这两个数的最大公因数了。所以 12 和 30 的最大公因数是 3×2=6。 （4）课件出示第 12 页试一试：让学生用上面的方法试着找一找 6 和 12 的公因数和最 大公因数？ 学生在草稿本上练习，最后汇报交流。 引导总结：从这两个数的公因数中，我们有什么发现？ 交流后汇报：这两个数，其中的小数是大数的因数，大数是小数的倍数。所以当一个数 是别一个数的因数时，这两个数的最大公因数就是小数。 启发练习：再试着求 7 和 9 的最大公因数？ 学生通过练习和小组交流后汇报：因为 7 和 9 都是质数，所以它俩的公因数就为 1. 7 和 9 的最大公因数为 1。 结论：当两个数是质数时，它们的最大公因数为 1。 设计意图： 在学生会用列举法求最大公因数的基础上，引导学生探究用分解质因数的 方法来求最大公因数，拓展学生的数学思维能力。 2、找公倍数和最小公倍数。 出示第 12 页例 2：让学生尝试找一找，想一想。从 4 的倍数和 6 的倍数表中，你发现 了什么？ 学生先独立观察后，再在小组内交流，最后集体汇报。 学生汇报：这个表中可以看出，12，24，36，…既是 4 的倍数，又是 6 的倍数。 教师讲解：12，24，36，…像这样既是 4 的倍数，又是 6 的倍数的数，也就是 4 和 6 公 有的倍数，叫做 4 和 6 的公倍数。而其中的 12 是公倍数中最小的倍数，叫做它们的最小公 倍数。 启发学生用前面的分解质因数法和短除法来求最小公倍数。 （1）分解质因数法：先把 4 和 6 分解质因数，再找出它们共有的因数 2，最后用它们 公有的因数乘以各自的余数的各就是它们的最小公倍数，即： 4=2×2 6=2×3 4 和 6 的最小公倍数是 2×2×3=12。（2）短除法。 4 和 6 的最小公倍数是 2×2×3=12。 教师引导总结：现在我们来总结一下，求两个数的最小公倍的方法有： （1）列举法。也就是先各自找出两个数的倍数，在从各自的倍数中找出两个数的公倍 数，最后找出两个数的最小公倍数。 （2）分解质因数法。先把这两个数分解质因数，再找到它们公有的质因数，最后用它 们公有质因数乘各自的余数。就得到这两个数的最小公倍数。 （3）短除法。 先找出这两个数的公因数，再用公因数乘各自的余数，就得到两个数的 最小公倍数。 （课件出示第 13 页试一试）让学生找出 6 和 8 的公倍数和最小公倍数吗？3 和 7 的最 小公倍数呢？并让学生从这两道题中找到规律。 学生先独立在草稿本上练习，最后在小组内交流各自的结果。最后集体汇报。 （1）用短除法找 6 和 8 的最小公倍数为： 6 和 8 的最小公倍数为 2×3×4=24。6 和 8 的公倍数为：24，48，72，… 3 和 7 的最小公倍数为 1×3×7=21。3 和 7 的公倍数为：21，42，63，… 从中可以看出，当两个数只有公因数 1 时，这两个数的乘积就是这两个数的最小公倍数。 设计意图：通过让学生从两个数各自的因数中找公因数和最小公倍数，从倍数中公倍数 和最小公倍数。让学生动手操作和发现找最大公因数和最小公倍数的方法，近而引导学生理 解用短除法求最大公因数和最小公倍数的方法。 （三）巩固新知： 1、出示第 13 页课堂活动第 1 题。求最少要用几个篮子，就是求 16 和 20 的什么？ （1）引导学生看题后回答出：就是求 16 和 20 的最大公因数。 （2）在草稿本上练习找出 16 和 20 的最大公因数。 学生在草稿本上练习找最大公因数，再在小组内汇报交流。最后集体汇报： 2、出示第 13 页课堂活动第 2 题。让学生接着填表，最后完成下面的后面的填空题。 学生在书上完成书中的表格并填空。最后汇报交流。 3、出示第 14 页练习四的第 6 题。 （1）数学医院。这四道题中，有哪些题是错的，请帮它改正过来。 学生汇报：第一道是错的。因数用分解质因数的方法，8=2×2×2，12=2×2×3。它们 最大的公因数是 2×2=4。 第二道是对的。5 和 8 只有公因数 1。 第三道是错的。因数两个数的最小公倍数也有可以等于其中较大的数。如 3 和 9 的最 小公倍数就是 9，它等于 9。 第四道也是错的。如果大数是小数的倍数，大数就是它们的最小公倍数。小数则是它 们的最大公因数。 （四）达标反馈 习题;1.用短除法求下列各数的最大公因数： 12 和 9 24 和 16 2.用短除法求下列各数的最小公倍数： 24 和 30 60 和 84 3.有两根木料，长分别是 18 米和 24 米，瑞要把它们截成相等的小段，每根不许有 剩余，每段最长是多少米？ 答案;1.3 8 2.120 420 3.6 米 （五）课堂小结 这节课我们学习了什么？你有什么收获？ 总结：今天学习的是求两个数的公倍数和最小公倍数。 求最小公倍数的三种方法。（1）列举法。（2）分解质因数法。（3）短除法。 设计意图：通过谈收获，对整节课的主要内容有一个整体认知，同时也对求最小公倍数 的方法有一个更加明确的认识。开拓了学生的数学解题思维。 （六）布置作业 1.完成教材第 13 页练习四的第 1 题，先让学生确定求最大公因数的方法后再解题。2.完成教材第 14 页练习四的第 3、4 题。 3.找出各组数的最大公因数和最小公倍数。 10 和 20 11 和 13 4 和 14 55 和 5 4.小明要把一张长 96 厘米，宽 80 厘米的长方形纸剪成面积相等的正方形而没有剩余， 最少能剪多少个？ 答案：3. 10 和 20 的最大公因数是 10，最小公倍数是 20。 11 和 13 的最大公因数是 1，最小公倍数是 143。 4 和 14 的最大公因数是 2，最小公倍数是 28。 55 和 5 的最大公因数是 5，最小公倍数是 55。 4. 96 和 80 的最大公因数是 16。96÷16=6，80÷16=5，5×6=30(个）  板书设计  教 学 反 思 这节课主要是让学生在操作与交流活动中认识公倍数与最小公倍数，公因数与最大公 因数，并在操作和交流中，培养学生的探究能力，本节课从最多能剪多少个正方形入手。　 这样安排有两点好处：一是学生通过操作活动，能体会公倍数和公因数的实际背景，加深对 抽象概念的理解；二是有利于改善学习方式，便于学生通过操作和交流经历学习过程。在这 节课上，让学生按要求自主操作，通过小组合作，去实际动手剪一剪，做一做，在此基础上， 引导学生思考正方形的边长既要是长方形长的因数，也要是宽的因数。这时揭示公因数和最 大公因数的概念，突出概念的内涵是“既是……又是……”即“公有”。在教学中。要加强 新旧知识的衔接。如倍数和因数是前面所学内容，新内容要在此基础上进行教学。在教学中， 要按照因数——公因数——最大公因数 倍数——公倍数——最大公倍数来组织教学。其次 要围绕“公”，理解公倍数与公因数的概念。所以在教学中，我们必须注重学生对概念间的 关系的理解，从而使知识的认识过程条理化。本节的不足是对于短除法，我们引导和理解的 公因数、公倍数 4=2×2 6=2×3 4 和 6 的最小公倍数是 2×2×3=12。不够深入，对于素质的两的数的最大公因数与最小公倍数的关系理解的不够透彻。 教学资源： 1.找出下面两组数有什么关系？它们的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？我们 可以得出一个什么样的结论？ 5 和 7 4 和 9 2.下面两组数是什么关系？它们的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？我们可以 得出一个什么样的结论？ 9 和 3 28 和 7 3.下面两组数是什么关系？它们的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？我们可以 得出一个什么样的结论？ 9 和 10 11 和 12 答案：1. 5 和 7 只有公因数 1，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是 5×7=35； 4 和 9 只有公因数 1，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是 4×9=36。 结论：如果两个数只有公因数 1，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是这两个数的乘 积。 2. 9 和 3 是倍数关系，它们的最大公因数是 3，最小公倍数是 9； 28 和 7 是倍数关系，它们的最大公因数是 7，最小公倍数是 28。 结论：如果两个数是倍数关系，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小 公倍数。 3. 9 和 10 是连续的自然数，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是 9×10=90； 11 和 12 是连续的自然数，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是 11×12=132。 结论：两个连续的自然数（0 除外）的最大公因数是 1，最小公倍数是它俩的乘积。 资料链接： 质数又称素数 素数指的是一个只能被 1 和它本身整除的数，它是一个在数论中占重要研究地位的数， 是一个数学皇冠上占一个重要位置的数。 素数有多少：高斯猜测，n 以内的素数个数大约与 n/lnn 相当，或者说，当 n 很大时， 两者数量级相同。这就是著名的素数定理。 目前发现的最大的素数：18 世纪发现的最大素数是 231-1，19 世纪发现的最大素数是2127-1，20 世纪末人类已知的最大素数是 2859433-1，用十进制表示，这是一个 258715 位 的数字。 与素数有关的著名猜想有： 歌德巴赫猜想：大于 2 的所有偶数均是两个素数的和，大于 5 的所有奇数均是三个素数 之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为 1+1 问题。我国数 学家陈景润证明了 1+2，即所有大于 2 的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的和。 国际上称为陈氏定理。