《同角三角函数的基本关系》教学设计

同角三角函数的基本关系 孟州一中郝淑琴 一、教材分析 本节课来自北师大版《高中数学--必修 4》第三章三角恒等变形第一节同角三角函数的 基本关系 p113-p115 的内容。是求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式的基本工具， 是整个三角函数的基础，起承上启下的作用，同时，它体现的数学思想方法在整个中学学习 中起重要作用。 二、教学目标的及重难点 1．教学目标 知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推 导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一 个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。 过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培 养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与 练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 2.教学重点和难点 重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。 难点： 同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负 号的选取而导致的角的范围的讨论。 三、学情分析 学生刚开始接触三角函数的内容，学习了任意角的三角函数，对这一方面的内容既感到 新鲜又感到陌生，很有好奇心，跃跃欲试，学习热情高涨。 四、教法分析与学法分析 1．教法分析：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主 动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识， 提高能力。 2．学法分析：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同 探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。五、教学过程设计 (一)创设情境 引入课题 设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换 2.思考： 问题 1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？ 问题 2：你能否用代数式表示这两个规律？ 设计意图：引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，感知同角三角函数的 基本关系。 (二)自主学习 推导公式 1．证明公式：（同角三角函数基本关系） （1）、平方关系: （2）、商的关系: 回忆：任意角三角函数的定义？ 学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P（x，y）则： sin =y；cos =x， 引导学生注意：单位圆中 所以： sin² +cos² = ； = 设计意图：引导学生运用已知知识解决未知知识，体会数学知识的形成过程。 2.辨析讨论—深化公式 辨析 1 思考：上述两个公式成立有什么要求吗？ ( ) ( ) ( ) ________3tan_;__________ 3cos 3sin ________;3cos3sin3 ________4tan_;__________ 4cos 4sin ________;4cos4sin2 ________6tan_;__________ 6cos 6sin _________;6cos6sin1 .1 22 22 22 ===+ ===+ ===+ π π π ππ π π π ππ π π π ππ （ （ （ ，， 猜想它们之间的联系观察它们的关系完成填空 1cossin 22 =+ αα αα α tancos sin = α α x y=αtan 122 =+ yx α α 122 =+ xy α α cos sin αtan= x y设计意图：注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的。如（2）式中 辨析 2 判断下列等式是否成立： 设计意图：注意“同角”，至于角的形式无关重要，突破难点。 辨析 3 思考：你能将两个公式变形么？ （师生活动：对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。） 设计意图：对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）如： ， ， 等 (三)小组合作 及时训练 例 1. 思考 1：条件“α是第四象限的角”有什么作用？ 思考 2：如何建立 cosα与 sinα的联系？如何建立他们与 tanα的联系？ 设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三 角函数值。 思考：本题与例题一的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？ 设计意图: 对比之前例题，强调他们之间的区别，并且说明解决问题的方法：针对α可能所 处的象限分类讨论。 变式 2. 设计意图:类比练习，已知正弦，也可求余弦、正切。 变式 3. 设计意图：通过例题与变式使学生掌握基本关系式的应用：已知一个角的一个三角函数值能 求这个角的其他三角函数值，并在求三角函数值的过程中注意由函数值正、负号的选取而导 致的角的范围的讨论，培养学生分类讨论思想。突破重难点。 2 ππα +≠ k 1)(cos)(sin)3( 22 =+++ βαβα 2cos 1 sinα α= ± − 2 2sin 1 cosα α= − sincos tan αα α= .tansin,13 12cos, 的值与求是第四象限角 αααα = 的值与变式 ααα tansin,13 12.cos1 = _______tan_____,cos,13 12sin, ==−= αααα 则是第四象限角 _______cos_____,sin,12 5tan, === αααα 则是第三象限角 13cos3sin)1( 22 =+ αα 2tan 2cos 2sin )2( α α α = ( )βαβα βα −=− − 2tan)2cos( )2sin()4( 1cossin)5( 22 =+ βα做题技巧 1.本题中体现的思想方法有： （1）本题中运用了方程的思想方法；（2）运用了分类讨论的思想方法. ( )tan 0 , sin cos已知 =m mα α α≠例2 求 和 . 2 2 2 2解 因为si n α+cos α=1, 所以 si n α=1- cos α. 2 2 si nα si n α 1- cos α2又 =t anα，所以 t an α= = 2 2cosα cos α cos α 1 1 2 = - 1, =1+t an α. 2 2 cos α cos α 12所以cos α= . 2 1+t an α 因为 t anα=m≠0. 故α终边不在x轴上，所以 1 , 当α是第一，四象限角； 2 1+mcosα= 1 - , 当α是第二，三象限角.2 1+m m , 当α是第一，二象限角； 2 1+msi nα=cosα× t anα= m - , 当α是第三，四象限角.2 1+m        2.本题的结论可以作为公式来应用：在已知某角的正切值的条件下，求该角的正弦值和 余弦值. 练习： 设计意图: 利用同角三角函数基本关系的灵活使用，解法多样，强化对公式的理解与认识。 (四)总结反思，深化认识 1.让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标，教师再补充．这样做，会检测出学生听 课、分析、思考和掌握知识的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用。 公式推导：具体算式→观察→猜想→论证→基本关系式 公式应用：一般方法：先确定象限角再求值。分类讨论思想 3- si nα0 0例3已知t anα=2, 180