《抛物线及其标准方程》教学设计

1 《抛物线及其标准方程》教学设计 修武县第一中学 李宁 第斯多惠有一句名言：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现 真理”。这充分体现了数学学习中的启发性原则。基于数学学科自身抽象和严谨 的特点，教师在数学教学活动中就要引导学生自主发现问题，解决问题，培养学 生的动手、动脑能力。 本堂课以个性化的教学思想为指导，用探究活动为主的教学方法进行设计。 在此堂课的教学中借助几何画板首先演示抛物线轨迹生成，再借助轨迹根据定义 求解标准方程，既能帮助理解，又能启迪思路，形象地揭示研究对象的性质，也 在教学中展示了数学的曲线美。 新课改进一步指出，学习即要来源于生活，也要高于生活。因此，基于此要 求，本堂课首先展示生活中抛物线型图片，进而提出实际生活问题作为铺垫，再 解决相关理论知识，最后又回归实际生活问题，应用知识解决问题，达到前后照 应，使整堂课条理清晰，首尾连贯，形成了比较系统的知识学习体系。 一、教材分析 （1）教材知识编排角度：《抛物线及其标准方程》是圆锥曲线第二部分内容。 关于抛物线图形，初中已经在二次函数部分作了简单说明，但初中所介绍抛物线 只是其中一种，并且没有给出抛物线的统一定义，所以对本节的研究，也是对初 中内容的一个补充。由于本章对抛物线安排篇幅不多，我想主要是基于学生对于 椭圆基本知识和研究方法已熟悉，所以精简介绍. （2）解决问题方法角度：本节对抛物线标准方程的推导，其学习平台是学生已 经掌握曲线方程的求解方法：定义法。因此，应用曲线方程的求解步骤，类比椭 圆标准方程的求解方式探索抛物线的标准方程相对容易。学生是完全可以接受的。 二、教学目标 1、能够全过程参与活动，根据曲线方程的求解步骤，依据抛物线的定义，建立 恰当的坐标系求出抛物线方程，并熟练掌握四种标准方程的异同点，此至在解题 过程中能够根据已知条件恰当地选取（设）方程； 2、通过学生自主探究标准方程，让学生再一次感受求曲线方程的坐标法：定义 法；通过不同的建系，让学生体验数学方法的千变万化； 3、通过展示生活中的抛物线型物体及其平面图形，以及选取与生活相关的实际 例题，让学生感受数学在日常生活中无处不在，应用数学知识能够很好地解决实 际生活问题，激发学生尝试用数学知识解决生活问题的好奇心。2 三、教学重点与难点 1、教学重点：抛物线的标准方程的四种基本形式及其实际应用 2、教学重点解决的方法策略：列出表格，对比记忆抛物线标准方程的四种基本 形式，归纳共同点，辨别并重点记忆不同之处 3、教学难点：四种标准方程的来源及相互之间的变换关系 4、教学难点解决的方法策略：借助曲线方程的求解步骤，引导学生“适当”建 系；借助函数坐标轴变换与函数表达式之间的关系理解四种方程的变换关系。 四、学情分析 针对我班学生的基础不高，数学基础差，抽象、逻辑推理能力差、对数学 图形、符号、文字三种语言的相互转化有一定困难等特点，我在教学中注重运用 图形培养学生灵活运用三种语言的能力，使原本较为陌生的定义变得容易理解和 便于记忆，同时，借助教具、powerpoint 等，从形象、动态的演示入手，使学 生对抛物线有一个从直观感觉到抽象思维的深刻认识过程。 五、教学方法 启发引导:通过回忆椭圆与双曲线定义引入抛物线，通过实验探索、类比、图表 来深入认识、理解抛物线的定义。 实验探索：通过实验、演示，观察得出动点的轨迹是一条抛物线，在用坐标法探 求方程。 类比：由椭圆标准方程，类比出抛物线的定义、标准方程。使得学生对于教材更 容易接受，进而减轻学生负担。 图表：将抛物线定义、图像、标准方程、焦点坐标、准线方程列表，让学生填充 表格，通过表格可以将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。 六、教学过程设计 1．提出问题 问题一：我们知道，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图 象是一条抛物线，而且还研究过它的顶点坐标、对称轴 等问题。那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还 有哪些几何性质？ 问题二：如图所示，把一根直尺固定在图上直线的位 置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再 把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一 点，取绳长等于点到直角顶点的长（即点 A 到直线的距离），并且把绳子的另一端3 固定在图板上的一点，用铅笔尖扣着绳子，使点到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺， 然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.请同学们说 出这条曲线有什么特征？ 究：若一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么 样的呢？ 2.讲授新知 知识点一：抛物线的定义 在平面内,与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹 叫抛物线. 思考：若定点 F 在定直线上(l 经过点 F )，动点的轨迹是什么？ 知识点二：抛物线的标准方程 定点到定直线的距离为 ．建立适当的坐标系，推导抛物线的标准方程： 解法一：以为 y 轴，过点 F 垂直于的直线为 X 轴建立直角坐标系（如下图所 示）,记|FK|＝p,则定点 F(p,0),设动点 M(x,y) 解法二：以定点 F 为原点,过点 F 垂直于的直线为 X 轴建立直角坐标系(如下图所 示),记|FK|=P,则定点 F(0,0),l 的方程为 X= -P 解法三：以过 F 且垂直于的直线为 x 轴,垂足为 K.以 F,K 的中点 O 为坐标原点建 立直角坐标系 xoy. 比较探究结果：得出抛物线的标准方程： 知识点三：抛物线的四种标准形式： 思考：上述标准方程有何特点，如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 初中学习的二次函数与现在研究的抛物线方程有什么样的关系？ 3.例题精讲 题型一：抛物线定义 )0( >pp )0(22 >= ppxy 2 px=−4 例 1 （1）已知抛物线的标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是 F（0，-2），求它的标准方程： （3）已知抛物线的准线方程为 x=1,求抛物线的标准方程： （4）过点 A（3,2）的抛物线的标准方程。 题型二：利用抛物线的定义求点的轨迹方程 思考题：点 M 与点 F（4,0）的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1，求点 M 的轨 迹方程。 题型三：抛物线应用于求最值问题 课后作业：已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A （3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标。 4.课堂小结 1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式, 每一对焦点和准线对应一种形式; 3.p 的几何意义： 4.标准方程中 p 前面的正负号决定抛物线的开口方向。 七、教学反思 本节课由于时间仓促，讨论时间还不够充分，以至于对由学生自主探究所得 的三类方程的筛选没有做充分的说明，而是简单地用“形式的整齐”对其进行剔 除，而在四种标准方程的相互转换关系也没给学生充分的思考时间去理解，如果 时间充裕的情况之下，可交由学生去讨论四者之间的转换关系。基于此对内容的 设计，此堂课没有多少悬念产生并讨论，也就缺少高潮的迭起，整节课感觉很平 缓，缺少一种激情的迸发。 xy 62 =