《两角和与差的余弦，正弦函数》教学设计

《两角和与差的余弦、正弦函数》教学设计 孟州五中 谢和安 教材分析 两角和与差的三角函数公式，一般采用单位圆与解析法来证明，这种证法突出了公式的几何背景，便于学 生理解和掌握，教材采用向量数量积的方法来推理证明两角差的余弦公式，这样使得公式的证明过程更简 洁，又因为用向量方法推导公式在第三章中，使第二章平面向量过度到三角恒等变换更自然，可以使学生 感受到知识之间的联系，向量的数学价值，同时也能从向量的角度，体会公式的几何背景，在证明过程中， 教材只是先证明α、β为锐角时的两角差的余弦公式，α、β任意角时，教材没有给出证明，只是在边框 中作为一个问题提出，供学有余力，对数学感兴趣的学生思考，探索。在理解了两角差的余弦公式的基础 上,推导两角和的余弦公式,利用诱导公式推导两角和与差的正弦公式就水到渠成了. 学情分析: 通过对必修 4 第 1 章和第 2 章的学习,掌握了三角函数和向量的基础知识,为学生学习提 供了知识保障,大大降低了思维难度，学生容易接受，只是注意辨析各公式的结构特征和内在 联系。 教学目标： 1.知识与技能: (1) 掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程; (2) 掌握两角和与差的正弦、余弦公式; (3) 初步学会用两角和与差的正弦、余弦公式解决简单的三角函数式求值，化简问题. 2．过程与方法： 探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基 础知识是否已经具备的问题，运用已知知识和方法的能力问题 3．情感、态度、价值观目标： 通过公式的推导引导学生发现数学规律，培养学生的创新意识，合作意识和学习数学 的兴趣。 教学重点、难点： 重点：两角和与差的余弦、正弦公式 难点：两角差的余弦公式的推导及公式的灵活运用 教学准备: 多媒体教室以及多媒体课件。 教学方法 自主合作探究式、启发诱导式 教学过程 教学流程 教师行为 学生行为 设计意图 复习旧识 1、正弦函数，余弦函数的定义 2、诱导公式 3、向量的数量积与坐标运算 回答问题 检验学生 基础知识 掌握情况， 为本节课 要学习的 知识做准 备引入新知 我 们 在 初 中 时 就 知 道 cos45°= ,cos30°= , 由 此 我 们 得 到 cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于 cos45°-cos30°呢？教师可让 学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么 关系呢？cos(α-β)等于什么呢？ 学生思考， 验证是否 正确 通过引人， 让学生发 现错误， 激发学生 探究新知 的积极性， 提高学习 兴趣。 讲授新知 教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如 图,在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α、 β(α>β),我们首先研究 α、β 均为锐角时的情况，设它们的终边与单 位圆 O 的交点分别为 ,则 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ), =α-β. 由向量数量积的定义有 · =| || |·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有 · =(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, 于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数 量积的概念中,角 α-β 必须符合条件 0≤α-β≤π,以上结论才正确,而实 际上，利用诱导公式可以证明，当 α、β 为任意角时，此公式仍然 成立。有兴趣的同学可以在课后对此情况加以证明。 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. C(α-β) 认真听讲， 做好笔记 让学生理 解，掌握 用向量方 法证明两 角差的余 弦公式， 体会向量 方法的便 捷，公式 的几何背 景。 小组活动 探究新知 （教师提问，学生分组推导，教师提示，学生分组思考，小组得 到相关公式，多媒体进行展示。） 1、问题 1：由公式 C(α-β) 你能推出 α+β 的余弦公式吗？ 2、然后分组进行讨论，推导，在推导的过程中，教师巡视并参与 到小组活动中，了解学生的进展情况，对有的组在探索过程中遇 到的困难根据实际情况进行引导：鼓励学生大胆猜想，引导学生 比较 cos(α-β)与 cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现 α-β 中 的角 β 可以变为角-β，所以 α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关 系直接把和角 α+β 化成差角 α-(-β)的形式〕 3、教师多媒体展示小组推导结果，课件展示两角和的余弦公式推 小组讨论， 思考，交流， 把 小 组 推 导 的 结 论 写下来，教 师 进 行 投 影 仪 展 示 小 组 讨 论 结果，比较 突出学生 的主体地 位，使学 生通过 推导公式 提高思维 水平及分 析问题、 解决问题 的能力， 2 2 2 3 1 2,p p 1op 2op 1 2p op∠ 1op 2op 1op 2op 1op 2op导过程 cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作 C(α+β). 教师引导学生细心观察公式 C(α-β)，C(α+β)的结构特征,可记忆为“余余 正正号相反”。 4、问题 2：你能由两角和与差的余弦公式，得到两角和与差的正 弦公式吗？ 5、学生进行分组讨论，思考，推导。 教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？ 我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到 利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦 6、教师多媒体展示小组推导结果，课件展示两角和与差的正弦公 式推导过程 sin(α+β)=cos［ -(α+β)］=cos［( -α)-β］ =cos( -α)cosβ+sin( -α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β 用-β 代之，则 sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为 S(α+β)、S(α-β). 教师引导学生细心观察公式(α-β)，(α+β)的结构特征,可记忆为“正余余 正号相同”。 不同，然后 课 件 展 示 推导过程 通过实践 获取直接 经验，培 养其探索 精神和团 结合作意 识，提高 学生学习 数学的兴 趣 例题探究 例 1 不查表，求 cos75°,cos15°的值. 解：cos75°=cos(45°+30°) =cos45°cos30°-sin45°sin30° = = Cos15°=cos(45°-30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30° = = 教师进行展示，并让学生记住这个结论 学 生 自 己 独 立 在 练 习 本 上 进 行运算，得 出结果，老 师 进 行 展 示，并让学 生 记 住 这 个结论。 初步体验 公式的用 法，增进 对公式的 理解，培 养学生的 自学能力 2 π 2 π 2 π 2 π 2 1 2 2-2 3 2 2 ×× 4 2-6 2 1 2 2 2 3 2 2 ×+× 4 26 +例题探究 例 2 ， 求 cos(α-β),cos(α+β)的值。 解： 教师展示，并对学生的表述是否规范作出必要的点评和要求。 学 生 小 组 尝 试 解 答 例题，认真 审题，相互 讨论，注意 步骤，写出 过程，教师 展 示 小 组 解题过程， 再 进 行 课 件展示 进一步理 解公式， 掌握运用 公式应注 意的问题， 明确思维 的有序性 和表达的 条理性是 三角变换 的基本要 求。 例题探究 例 3 解： 教师讲授， 学生听讲， 认真思考。 此题考查 两角和与 差公式的 逆运算， 考查学生 运用三角 函数的基 本知识解 题的能力， 培养学生 的逆向思 维。为后 面要讲的 辅助角公 式做铺垫。 ),2(,5 4sin ππ∈= aa已知 ），，（， 2 3 13 5-cos ππββ ∈= 得由 ),2(,5 4sin ππ∈= aa 5 3-sina-1-cosa 2 == ），得，（，又由 2 3 13 5-cos ππββ ∈= ， 13 12-cos-1-sin 2 == ββ βαβαβα sinsincoscos-cos +=∴ ）（ ）（）（）（ 13 12-5 4 13 5-5 3- ×+×= 65 33-= βαβαβα sinsin-coscoscos =+∴ ）（ ）（）（）（ 13 12-5 4-13 5-5 3- ××= 65 63= 的最大值和周期）（求 cosx3sinxxf += ）（）（ cosx2 3sinx2 12xf += ）（ cosx3sinsinx3cos2 ππ += ）（ 3x2sin π+= ）时，（故当 Z∈+=+ k22k3x πππ ）时，（即当 Z∈+= k62kx ππ 13xsin ）取最大值（ π+ 2xf max =）（函数 当堂 训练 1.求下列各式的值： （1）cos105° 2.求下列各式的值： （2）sin95°sin35°+cos95°cos35° 3. 求 进 行 限 时 训练，并让 学 生 进 行 演板 检验学生 公式掌握 情况，培 养学生独 立思考， 独立做题 的能力。 课堂 小结 两角和与差的余弦、正弦函数 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ C(α-β) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ C(α+β) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ S(α+β) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ S(α-β 回 忆 知 识 要点 对本节课 知识进行 再回顾， 再梳理， 再记忆 课后 作业 1.课本 123 页第二题的 1，2,3,4 小题 2.课本 123 页第三题 3.练习册自学。 巩固掌握 本节课知 识，激发 学生课下 继续探索 的学习兴 趣 板书 设计 两角和与差的正弦、余弦公式 1、复习 3、四个公式 5、课堂练习 2、两角差的余弦 4、例题讲评 6、归纳总结 公式的推导 教学 反思 对本节课有几点思考：第一本节课始终贯彻在教师的引导下，学 生主动参与公式的发现，推导和应用，在学习中培养创新意识， 合作意识，提高学习数学的兴趣，第二，用向量方法证明公式非 常方便，简洁，但学生很难想到，所以我采用教师讲授，学生听 讲的方法，这样提高了思维的有效性，体现教师主导作用。第三 在理解掌握两角和与差的公式基础上，推导证明其他公式，例题 评讲，课堂练习就可以交给学生，体现学生的主体地位，总之这 节课既有教师引导，讲授，又有学生小组活动，体现教师主导作 用，学生的主体地位的和谐统一。 ππ ω π 21 22 ===T周期 ）（）（ 12 25-cos2 π  15sin-15cos1 22）（ ，已知 ),2(,4 3sin ππαα ∈= ）的值（）（ 3-cos,4sin παπα +