《函数的极值》教学设计

1 《函数的极值》 教学设计 《函数的极值》教学设计 教材：北师大版高中《数学》选修 1-1 第四章第一节第二课时 授课教师： 焦作市第十一中学 韩甲子 教学内容分析： 一、背景分析 1．教材分析 本章导数的应用，是中学数学的重要内容之一，导数是研究函数变化率的量，因此本 章的主要内容是借助导数研究函数的变化规律。利用导数研究函数的极值是本节课的核心 内容。 2．学情分析 学生的优势：知识上已经学习了导数的基础知识，掌握了导数的几何意义和导数与原 函数的关系。能力上具有一定的形象思维与抽象概括能力；思想方法上已经具有一定的数 形结合能力、归纳、特殊到一般等数学思想。 不足：对于文科学生而言，函数本身就是学习的难点，而利用导数解决原函数的性质 对于学生来说更加抽象，因此容易出现对概念的理解不够深刻，运用概念解决实际问题的 能力相对薄弱的情况。 二、目标分析 教学目标： 1．知识目标：理解函数极值的定义，掌握导数与函数极值的关系，能利用导数求函数 的极值。 2．能力目标：让学生通过利用导数研究函数极值的过程，掌握利用导数研究函数性质2 的方法。总结求函数极值的一般步骤，认识到导数在研究函数性质中的作用。 3．情感目标：通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系。 以及导数的应用价值。 三、教学重难点： 重点：会利用导数求函数的极值。 难点：函数极值点的判断与求解。 教学策略分析 一、教学理念 教师是课堂教学的组织者和引导者，突出学生的主体地位，鼓励学生积极参与教学活 动。在学生学习过程中，以体验为红线，思维为主攻，让学生在自主、合作、探究中学习 知识。 2．策略设计 以“发现——探究”为主导，在“诱思探究教学”模式下，设计了三个认知层次：一、 创设情境，引入新课；二、合作交流，探究新知；三、学以致用，巩固提高。探究过程分 为五个环节：探索发现、大胆猜想、深入探究、形成结论、适度拓展。 认知层次层层深入，探究过程环环相扣。学生在动眼看、动耳听、动手做、动口说、 动脑思中愉悦的学习知识。 二、教学手段： 多媒体辅助教学、实物投影、几何画板演示。 教学过程： 1．创设情境 引入课题 【课件投影】 回忆上一单元所学知识，引入本单元的主要目的是利用导数研究函数的性质。从学生 熟悉的一首诗入手，提出问题：这首诗中蕴含着怎样的数学知识和数学思想呢？ 设计意图：学生通过体会诗中所蕴含的自然规律来理解高低起伏的过程会出现最高点 和最低点，激发学生的学习兴趣，拉近了数学与现实的距离，同时引出了本节课的内容。 2．提出问题 分析探究3 【课件投影】 观察函数图像的特点，并回答四个问题。 学生回答：在区间 内，任意一点的函数值都大于或等于函数值 ，并且 不是定义域内的最大值，在区间 上函数单调递增，对应的导数大于零，在区间 上函数单调递减，对应的导数小于零。 设计意图在通过直观的生活问题升华到数学问题，最后解决数学中这样的概念叫什么？ 3．抽象概括 形成概念 【课件投影】 根据学生回答的问题总结出来函数极值的概念： 极大值：在包含 的一个区间内 ，函数 在任意一点的函数值都小于或等 于 点的函数值，称 点为函数的极大值点，其函数值 为函数的极大值。 极小值：在包含 的一个区间内 ,函数 在任意一点的函数值都大于或等 于 点的函数值，称 点为函数的极小值点，其函数值 为函数的极小值。 极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 设计意图： 学生在整个过程中经历了观察、发现、提炼、总结和认识的过程，对函数的极值的概 念会理解的更加清楚，并会用了自己的判断，这时我就可以循序渐进完成新知，给出函数 极值的判定、 【课件投影】 学生在掌握了函数极值的概念之后，教师给出关于概念的四点解析: (i)极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比 较是最大或者最小。并不意味它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ii)函数的极值不是唯一的。即函数在某区间上或者定义域内极大值或极小值可以不 止一个。 (iii)极大值与极小值之间无确定关系。即极大值未必大于极小值。 (iv)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。 设计意图：概念解析环节有助于学生对函数极值的进一步理解，以及对以后学习函数 最值起到铺垫作用。 ( , )a b 0( )f x 0( )f x 0( , )a x 0( , )x b 0x ( , )a b ( )y f x= 0x 0x 0( )f x 0x ( , )a b ( )y f x= 0x 0x 0( )f x4 4、循序渐进完成新知 【课件投影】 教师提出问题：根据函数极值的概念，我们如何求函数的极值呢？分小组讨论，并选 代表回答问题。学生回答：可以根据函数的单调性的变化求函数的极值。教师进一步提出 问题：函数单调性变化的同时，对应的导数如何变化呢？教师运用几何画板进行演示，学 生发现单调性由增到减的过程中导数值由正到负，达到极大值点时导数为零。由此给出判 断函数极值的方法： 【课件投影】 （1）根据定义，利用函数单调性判别： ① 如果函数 在区间 上是递增的，在区间 上是递减的，则 是极大值点， 是极大值。 ② 如果函数 在区间 上是递减的，在区间 上是递增的，则 是极小值点， 是极小值。 （2） 利用导数和单调性的关系，图表判别 这里的设计意图是利用表格直观形象的体现导数和极值的关系，便于总结求极值 的一般步骤。 5、新知演练形成反馈 【课件投影】 学生在明确了函数极值的判断方法之后教师给出两道例题， ( )y f x= 0( , )a x 0( , )x b 0x 0( )f x ( )y f x= 0( , )a x 0( , )x b 0x 0( )f x '( )f x ( )y f x= x 0( , )a x 0x 0( , )x b '( )f x ( )y f x= 0( , )a x 0x 0( , )x bx5 例 1，求下列函数极值： （1） （2） 请同学上讲台板演，写出过程，进行点评，指出重点，肯定成绩。最后给出利用导数 求函数的极值点的步骤：【课件投影】 1. 确定函数定义域，并求出导数 . 2. 解方程 . 3. 对于方程 的每个解，分析在 左右两侧的符号 （即函数的单调性），确 定极值点： （1）若 在两侧的符号“左正右负”，则为极大值点； （2）若 在两侧的符号“左负右正”，则为极小值点； （3）若 在两侧的符号相同，则不是极值点. 请同学们注意第三点在两侧的符号相同，则不是极值点的情况，并给出例 2 进行说明。 【课件投影】 例 2、判断函数 有无极值 解：由题意得 令 的 列表 由函数极值的定义可知，函数无极值。 本例题的设计意图在于让学生知道可导函数导数为零的点不一定是函数的极值点，而 3 2( ) 3 9 5f x x x x= − − + ln( ) xf x x = '( )f x 0'( )f x = 0'( )f x = 0x 0x 0x 0x 3y x= 23y x′ = 0y′ = 0x = x ( ,0)−∞ (0, )+∞ '( )f x ( )y f x=6 极值点的导数一定为零。极值点一定是某一区间内的点名，而不能使区间端点。函数在其 单调区间内无极值。 6、回顾反思 总结提练 【课件投影】 通过本节课的学习你有哪些收获？ 通过本节课的学习我们掌握了什么是函数的极值和求函数极值的一般步骤： 求函数的极值点的步骤： 1. 确定函数定义域，并求出导数 . 2. 解方程 . 3. 对于方程 的每个解，分析在 左右两侧的符号 （即函数的单调 性），确定极值点： （1）若 在两侧的符号“左正右负”，则为极大值点； （2）若 在两侧的符号“左负右正”，则为极小值点： （3）若 在两侧的符号相同，则不是极值点. （2）对于可导函数，导数为零的点不一定是极值点， 而极值点的 导数一定为零。导数为零是函数有极值的必要不充分条件。 （3）函数极值是函数部分区域的特征，极值点一定是某一区间内 的点，而不能是区间端点。函数在其单调区间内无极值。 【设计意图】通过本节课学习，学生掌握了求函数极值的一般步骤，并且知道极值是 函数的部分特征，对于可导函数来说导数为零是函数有极值的充分不必要条件。 7、分层作业，自主研究 【课件投影】 分为必做和选作两题。 必做题巩固函数极值的求法。 选作题： 若函数 的图像与 轴恰有一个交点，求 的取值范围. 设计意图：分层设置课后作业，让不同程度的学生都能得到提高和发展 '( )f x 0'( )f x = 0'( )f x = 0x 0x 0x 0x xey ax = + ( 0)a > x a7 结束语：（德育教育） 我们通过观察，发现，总结，应用的过程，体会了函数的性质，希望留在大家深处的 不只是知识的本身，更重要的是数学思想和数学方法，以及学习的习惯和学习的热情！