无理数与实数 导学案

1 无理数与实数 导学案 【学习目标】 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环， 不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数， 如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽， 如 . 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集 通常用字母 R 表示. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与 0 的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之 对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于 0，负实数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、 乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行 实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. π 5                   正有理数 有理数 零 有限小数或无限循环小数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 0         正有理数正数 正无理数 负有理数负数 负无理数2 【典型例题】 类型一、实数概念 1、把下列各数分别填入相应的集合内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，0，0.3737737773…… （相邻两个 3 之间 7 的个数逐次增加 1） 【答案与解析】 解：有理数有： ， ， ， ，0， 无理数有： ， ， ， ， ， ， 0.3737737773…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773…… ③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 ， ， ， ， . 举一反三： 【变式】（2015 春•聊城校级月考）已知下列结论： ①任何一个无理数都能用数轴上的点表示； ②每个实数都对应数轴上一个点； ③在数轴上的点只能表示无理数； ④有理数有无限个，无理数有有限个； ⑤无理数都是无限小数，不带根号的数不是无理数； ⑥﹣3 是（﹣3）2 的算术平方根． 其中正确的结论是（　　） 　 A．①② B． ①②⑥ C． ③④⑥ D． ②④⑤ 【答案】A． 解：①∵任何一个无理数都能用数轴上的点表示，∴①正确； ②∵实数和数轴上的点一一对应，∴每个实数都对应数轴上一个点，∴②正确； ③∵在数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，∴在数轴上的点只能表示无理数 这种说法不正确，∴③不正确； ④根据有理数、无理数的含义，可得有理数有无限个，无理数有无限个，∴④不正确； 3 2 1 4 7 π 5 2 − 2 20 3 5− 3 8− 4 9 1 4 5 2 − 3 8− 4 9 3 2 7 π 2 20 3 5− π 3 2 7 2 20 3 5− … 有理数集合 … 无理数集合3 ⑤无理数都是无限小数，但是不带根号的数可能是无理数，例如：3.1415926535…不带 根号，但是它是无理数，∴⑤不正确； ⑥∵3 是（﹣3）2 的算术平方根，∴⑥不正确． 综上，可得①②． 故选：A． 类型二、实数大小的比较 2、比较 与 的大小． 【思路点拨】根据 ， ，则 来比较两个实数的大小． 【答案与解析】 解：因为 ， ． 所以 ＜ 【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、 倒数法等. 举一反三： 【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例 2】 【变式】解：已知实数 、 、 在数轴上的对应点如图所示，试化简： ． 【答案】由图知 ， ， ． ∴ ， ， ， ． ∴ ． 类型三、实数的运算 3、（2016•安徽模拟）在如图所示的数轴上，点 C 与点 B 关于点 A 对称，C、A 两点 对应的实数分别是 和 1，则点 B 对应的实数为　 　． 【思路点拨】根据中点的性质得到 AC=AB，可得答案． 【答案与解析】 解：AC= ﹣1， AB=1﹣（ ﹣1）=2﹣ ， 点 B 对应的数是 2﹣ ． 2010 1− 1949 1+ a b< b c< a c< 2010 1 2025 1 45 1 44− < − = − = 1949 1 1849 1 43 1 44+ > + = + = 2010 1− 1949 1+ x y z | || | | | | | x zx y y z x z x z −− − + + + + − 0x y< < 0z > 0x z− < 0x y− < 0y z+ > 0x z+ > 0x z− < | || | | | | | x zx y y z x z x z −− − + + + + − ( )( ) ( ) ( ) 1x zx y y z x z x z − −= − − − + + + + = −−4 【总结升华】本题考查了实数与数轴，利用 AB=AC 得出 AB=1﹣（ ﹣1）是解题关键． 举一反三： 【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例 3】 【变式】若 的两个平方根是方程 的一组解． （1）求 的值； （2）求 的算术平方根． 【答案】 解：（1）∵ 的平方根是 的一组解，则设 的平方根为 ， ， 则根据题意得： 解得 ∴ 为 ． （2）∵ ． ∴ 的算术平方根为 4． 类型四、实数的综合运用 【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例 4】 4、已知 ，且 ，求 的值． 【答案与解析】 解：∵ ，且 ， ． ∴ ，即 ， ． 解得 ＝3， ＝5， 得 ＝64． ∴ ． 【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由 ， 可 求 、 ，又 ，所以 ＝64，则 可求． 举一反三： 【变式】已知 ，求 的值． 【答案】 a 3 2 2x y+ = a 2a a 3 2 2x y+ = a 1a 2a 1 2 1 2 3 2 2, 0, a a a a + =  + = 1 2 2, 2. a a =  = − a 2( 2) 4± = 2 24 16a = = 2a 2( 2 1) 3 0a b b− + + − = 3 4c = 3 3 3a b c+ + 2( 2 1) 3 0a b b− + + − = 2( 2 1) 0a b− + ≥ 3 0b − ≥ 2( 2 1) 0, 3 0a b b− + = − =且 2 1 0a b− + = 3 0b − = b a 3 4c = c 3 33 3 3 3 35 3 64 216 6a b c+ + = + + = = 2 1 0a b− + = 3 0b − = a b 3 4c = c 3 3 3a b c+ + 2 2 3 | 9 | 0( 3) x y x x − + − =+ x y5 解：知条件得 ， 由②得 ， ，∵ ，∴ ，则 ． 把 代入①得 ， ＝1． ∴ ． 2 3 0 9 0 3 0 x y x x − =  − =  + ≠ ① ② ③ 2 9x = 3x = ± 3 0x + ≠ 3x ≠ − 3x = 3x = 3 3 0y− = y 3 31 x y = =6 【巩固练习】 一.选择题 1．代数式 ， ，| |， ， 中，一定是正数的有（ ）． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 2. （2016•定州市一模）如图，在数轴上表示数 ×（﹣5）的点可能是（　　） A．点 E B．点 F C．点 P D．点 Q 3. 要使 ， 的取值范围是（ ）． A． ≤3 B． ≥3 C．0≤ ≤3 D．一切实数 4. （2015 春•渑池县期中）有下列四个论断：①﹣ 是有理数；② 是分数；③2.131131113… 是无理数；④π 是无理数，其中正确的是（　　） 　 A． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个 5. 若 ， 、 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ） A. B. 与 C. 与 D. 与 6. 实数 、 、 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ） A． ＞0 B． ＜0 C． D． 二.填空题 7． ，3.33……， ， ， ， ， ， ，中， 无理数的个数是 个. 8. ＜0 时，化简 ＝________. 9. 计算： ＝__________． 10. 已 知 互 为 相 反 数 , 互 为 倒 数 , , 则 的 值 . 11.（2015 春•济源期末）比较大小：﹣ 　 　 （填“＞”、“＜”或“=”）． 12. （2016•句容市一模）设 a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c= ，则 a、b、c 中最大实数 与最小实数的差是　　． 2 1a + x y 2( 1)a − 3 z 33 (3 ) 3k k− = − k k k k 0a ≠ a b a b与 2a 2b 3 a 3 b 3a ( )3 3b− x y z x y z+ + x y z+ + xy yz< xy xz< 22 7 2 π 2 2− 8± 554544554445.0 3 27 1 90.0− m 32 3| |m m m m+ + + | 6 2 | | 2 1| | 3 6 |− + − − − ,a b ,c d 2 1, 2x y= = 21999)( ycdx ba −−++7 三.解答题 13．（2014 秋•温州校级期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接： ﹣ ， ，0， ． 14.已知实数 、 、 满足 ，求 的值； 15. 已知 是 的算术平方根， 是 的立方 根，求 B－A 的平方根． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】仅 ＞0，其余可以为 0， 还可为负数． 2. 【答案】B； 【解析】解：∵ ×（﹣5）=﹣ ，﹣3＜﹣ ＜﹣2， ∴由数轴可知点 F 所表示的数大于﹣3 而小于﹣2． 故选：B． 3. 【答案】D； 【解析】本题主要考查立方根的性质，即 ．因为 ，所以 可 取一切实数． 4. 【答案】B； 【解析】解：①﹣ 是有理数，正确； ② 是无理数，故错误； ③2.131131113…是无理数，正确； ④π 是无理数，正确； 正确的有 3 个． 故选：B． 5. 【答案】C； 【解析】 ＋ ＝0， ＝－ ，所以 ，所以 ＋ ＝0. 6. 【答案】B； 【解析】从数轴上可以看出－3＜ ＜－2，－2＜ ＜－1，0＜ ＜1，所以很明显 x y z 21 1| 4 4 1| 2 ( ) 03 2x y y z z− + + + + − = 2( )y z x+  nm mnA − +−= 3 3n m− + 32 2nmB nm += +− 2m n+ 2 1a + 3 z 3 3a a= 33 (3 ) 3k k− = − k a b a b 3 3 3a b b= − = − 3 a 3 b x y z8 ＜0. 二.填空题 7. 【答案】4； 【解析】 ， ， ， 为无理数. 8. 【答案】0； 【解析】∵ ，∴ ． 9. 【答案】 ； 【解析】 ． 10.【答案】－4； 【解析】原式＝ . 11.【答案】＞； 【解析】解：∵﹣ ﹣ = ， ∴﹣ ﹣ ＞0， ∴﹣ ＞ ． 故答案为：＞． 12.【答案】4； 【解析】解：∵a=﹣|﹣2|=﹣2，b=﹣（﹣1）=1，c= =﹣3， ∴则 a、b、c 中最大实数是 b，最小实数是 c， ∴a、b、c 中最大实数与最小实数的差是 b﹣c=1﹣（﹣3）=4. 三.解答题 13.【解析】 解：∵ =2， ∴﹣ ＜0＜ ＜ ． 14.【解析】 解：∵ ， ， ． 由题意，得方程组 x y z+ + 2 π 2 2− 8± 554544554445.0 0m < 32 3| | 0m m m m m m m m+ + + = − − + + = 4 2 6− + | 6 2 | | 2 1| | 3 6 | 6 2 2 1 3 6 4 2 6− + − − − = − + − − + = − + ( ) ( ) ( )0 1999 21 1 2 4± + − − ± = − | 4 4 1| 0x y− + ≥ 2 0y z+ ≥ 21 02z − ≥  9 ， 解得 ． ∴ ＝ . 15.【解析】 解：∵ 是 的算术平方根， 是 的立方根， ∴ ， 解得 ∴A＝1，B＝2，B－A＝1 ∴B－A 的平方根＝±1． 4 4 1 0 2 0 1 02 x y y z z   − + =  + =   − = 1 2 1 4 1 2 x y z  = −  = −   = 2( )y z x+  21 1 1 1 1 1 4 2 2 4 4 16    − + ⋅ = × =       nm mnA − +−= 3 3n m− + 32 2nmB nm += +− 2m n+ 2m n− = 2 3 3m n− + = 4, 2m n= =