轴对称 知识讲解

1 轴对称 【学习目标】 1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣. 2.了解轴对称以及轴对称图形的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形． 2．探索轴对称的基本性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形． 【要点梳理】 【高清课堂 389298 轴对称 知识要点】 要点一、轴对称图形 轴对称图形的定义 一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形， 该直线就是它的对称轴. 要点诠释： 　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形 的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 要点二、轴对称 1.轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是 对应点，也叫做对称点. 　　要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴 对称的两个图形一定全等. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形； 轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体 就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图 形关于这条直线（原对称轴）对称. 要点三、轴对称与轴对称图形的性质 轴对称、轴对称图形的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线 段相等，对应角相等. 　　要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段 的垂直平分线； （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【典型例题】 类型一、判断轴对称图形 【高清课堂 389298 轴对称 例 1】 1、在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有 （ ）2 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合 则是轴对称图形，否则就不是. 【答案】D； 【解析】每个图形都能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合 【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏. 举一反三： 【变式 1】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 ( ) 【答案】A； 提示：A 一条对称轴，B 四条对称轴，C 五条对称轴，D 三条对称轴. 【变式 2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是　 　，它有　 条对称轴；最少的是　 　，它有　 条对称轴 【答案】直线、无数、角、1． 【高清课堂 389298 轴对称 例 2】 2、观察图形 …并判断照此规律从左到右第四个图形是（　　） A . B. C . D. 【思路点拨】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项． 【答案】D； 【总结升华】本题考查学生根据图形，归纳、发现并运用规律的能力．注意结合图形解题的 思想． 举一反三： 【变式】（2014 春•太谷县校级期末）将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”， 再把它铺平，你可见到（　　） 　A． B． C． D． 【答案】C. 类型二、轴对称或轴对称图形的应用 【高清课堂 389298 轴对称 例 3】3 3、如图，将矩形纸片 ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点 A 的直线为折痕折 叠纸片，使点 B 恰好落在 AD 边上，折痕与 BC 边交于点 E （如图②）；（2）以过点 E 的直线为折痕折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上，折痕 EF 交 AD 边于点 F （如图 ③）； （3）将纸片收展平，那么∠AEF 的度数为（ ） A．60° B．67.5° C．72° D．75° 【答案】B； 【解析】∠AEF＝（180°－45°）÷2＝67.5°. 【总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形，对应角相等. 举一反三： 【变式 1】如图，△ABC 中，AB＝BC，△ABC 沿 DE 折叠后，点 A 落在 BC 边上的 处，若点 D 为 AB 边的中点，∠A＝70°，求∠BD 的度数． 【答案】100°； ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C＝70°，∠B＝40° 又∵ΔABC 沿 DE 折叠后，点 A 落在 BC 边上的 处，点 D 为 AB 边的中点， ∴BD＝D ，∠B＝∠D B＝40°， ∴∠BD ＝180°－40°－40°＝100°. 【变式 2】将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示图形. 若 ＝56°,则∠AED 的大小 是_______. 【答案】62°； A′ A′ A′ A′ A′ A′ 'CED∠4 4、（2015 春•启东市校级月考）如图，点 P 在∠AOB 内，M、N 分别是点 P 关于 AO、 BO 的对称点，MN 分别交 AO，BO 于点 E、F，若△PEF 的周长等于 20cm，求 MN 的长． 【思路点拨】根据轴对称的性质可得 ME=PE，NF=PF，然后求出 MN=△PEF 的周长． 【答案与解析】 解：∵M、N 分别是点 P 关于 AO、BO 的对称点， ∴ME=PE，NF=PF， ∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF 的周长， ∵△PEF 的周长等于 20cm， ∴MN=20cm． 【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应 点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应 的 角 、 线 段 都 相 等 ．5 【巩固练习】 一.选择题 1．在图中，是轴对称图形的是 （ ） 2．如图，ΔABC 与Δ 关于直线 对称，则∠B 的度数为 （ ） A．30° B．50° C．90° D．100° 3. 下列说法中错误的是( ) A.两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 B.关于某直线对称的两个图形全等 C.面积相等的两个三角形对称 D.轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合 4.（2015•黄岛区校级模拟）如图，△ABC 的顶点都在正方形网格格点上，点 A 的坐标为 （﹣1，4）．将△ABC 沿 y 轴翻折到第一象限，则点 C 的对应点 C′的坐标是（　　） A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1） 5. 下列说法错误的是（　　） A. 若 A，A′是以 BC 为轴对称的点，则 AA′垂直平分 BC B. 线段的一条对称轴是它本身所在的直线 C. 一条线段的一个端点的对称点是另一个端点 D. 等边三角形是轴对称图形 6．（2015•营口模拟）将如图①的矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠得到图②，折叠后 DE 与 BF 相交 于点 P，如果∠BPE=130°，则∠PEF 的度数为（　　） ' ' 'A B C l6 A．60° B．65° C．70° D．75° 二.填空题 7．轴对称图形：　 　有一条对称轴，　 　有两条对称轴，　 　有四条对称轴，　 　 有无数条对称轴．（各填上一个图形即可） 8．（2014•荆州模拟）在 4×4 的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图）， 若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图 形．那么符合条件的小正方形共有　 　个． 9. 如图，等边△ABC 的边长为 2 ，D，E 分别是 AB，AC 上的点，将△ADE 沿直线 DE 折叠， 点 A 落在点 处，且点 在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 ． 10.如图，CD 与 BE 互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°. 11. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线 MN 分别交 AC，AB 于点 D，E． 若 ∠CBD : ∠DBA ＝3:1，则∠A 的度数为________． 12．利用折纸的方法，将 1 条线段分成 16 段彼此相等的线段，需要折　 　次． cm A′ A′ cm7 三.解答题 13. 如图所示，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗? 实际中这个算式是什么? 14.（2014 秋•滨湖区校级月考）如图，点 P 在∠AOB 的内部，点 M、N 分别是点 P 关于直线 OA、OB 的对称点，线段 MN 交 OA、OB 于点 E、F，若△PEF 的周长是 20cm， （1）求线段 MN 的长， （2）若∠AOB=30°，求 OM 的长． 15．如图，在 4×3 正方形网格中，阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个图形，请你用两 种方法分别在下图方格内添涂 2 个小正方形，使这 7 个小正方形组成的图形是轴对称图 形． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】根据轴对称图形的定义判断. 2. 【答案】D； 【解析】成轴对称的两个图形对应线段、对应角相等. 3. 【答案】C； 【解析】面积相等不一定全等，也不一定对称. 4. 【答案】A； 【解析】解：由 A 点坐标，得 C（﹣3，1）． 由翻折得 C′与 C 关于 y 轴对称，C′（3，1）． 故选：A．8 5. 【答案】A； 【解析】A、应该是 BC 垂直平分 AA′，故本选项错误；B、线段的一条对称轴是它本身 所在的直线，故本选项正确；C、一条线段的一个端点的对称点是另一个端点，故本选 项正确；D、等边三角形是轴对称图形，故本选项正确． 6. 【答案】B； 【解析】解：∵AE∥BF， ∴∠AEP=180°﹣∠BPE=180°﹣130°=50°． 又∵折叠后 DE 与 BF 相交于点 P，设∠PEF=x， 即∠AEP+2∠PEF=180°， 即 50°+2x=180°， x=65°． 故选：B． 二.填空题 7. 【答案】角，矩形，正方形，圆； 【解析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重 合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出． 8. 【答案】3； 【解析】解：如图所示，有 3 个使之成为轴对称图形． 故答案为：3． 9. 【答案】6； 【解析】根据对称性，阴影部分的周长等于△ABC 的周长＝6 . 10．【答案】70； 【 解 析 】 ∵CD 与 BE 互 相 垂 直 平 分 ， ∴DB=DE ， ∵∠BDE=70° ， ∴ ∠ BDC=35 ° ， ∠ABD=55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，根据轴对称性，四边形 ACBD 关于直线 AB 成轴对称，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°． 11.【答案】18°； 【解析】∠A＝∠ABD＝ ，∠CBD＝3 ，5 ＝90°， ＝18°. 12.【答案】4； 【解析】因为 24=16，所以需折 4 次． 三.解答题 13.【解析】 在实际中的算式是：151＋25＋12＝188；结果也是正确的. 14.【解析】 解：（1）根据题意，EP=EM，PF=FN， ∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF 的周长， ∴MN=20cm． （2）连接 OM、OP、ON， ∵M、N 分别是点 P 关于直线 OA、OB 的对称点， ∴∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB， ∵∠AOB=30°， cm x x x x9 ∴∠MON=2∠AOB=60°， ∴△MON 为等边三角形， ∴OM=ON=MN=20cm． 15.【解析】 解：如图所示，答案不唯一，参见下图．