变量之间的关系知识讲解

1 变量之间的关系 【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值 范围）； 2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系. 4. 能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测. 【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个 变化过程而言的.例如， ，速度 60 千米/时是常量，时间 和里程 为变量. 是自变 量， 是因变量. 要点二、用表格表示变量间关系 借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 要点诠释：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值 带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如 ），我们可以根 据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 要点诠释：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能 列出关系式. 要点四、用图象表示变量间关系 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变 量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数 轴（称为纵轴）上的点表示因变量. 要点诠释：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表 达的变量，图象可以充当重要角色. 【典型例题】 类型一、常量、自变量与因变量 1、对于圆的周长公式 C=2πR，下列说法正确的是（　　） A．π、R 是变量，2 是常量 B．R 是变量，π是常量 C．C 是变量，π、R 是常量 D．C、R 是变量，2、π是常量 【思路点拨】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的 量． 【答案】D； 【解析】 解：C、R 是变量，2、π 是常量． 【总结升华】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容． 60s t= t s t s 3y x=2 举一反三： 【变式】从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的 增大而逐渐增大，这个问题中自变量是（　　） A．物体 B．速度 C．时间 D．空气 【答案】C. 类型二、用表格表示变量间关系 2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径 与铝用量有如下关系： 底面半径 （cm） 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 （cm3） 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当易拉罐底面半径为 2.4cm 时，易拉罐需要的用铝量是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由． （4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响． 【思路点拨】 （1）用铝量是随底面半径的变化而变化的，因而底面半径为自变量，用铝量为因变量； （2）根据表格可以直接得到； （3）选择用铝量最小的一个即可； （4）根据表格，说明随底面半径的增大，用铝量的变化即可． 【答案与解析】 解：（1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量. （2）当底面半径为 2.4cm 时，易拉罐的用铝量为 5.6cm3. （3）易拉罐底面半径为 2.8cm 时比较合适，因为此时用铝较少，成本低. （4）当易拉罐底面半径在 1.6～2.8cm 变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐 底面半径在 2.8～4.0cm 间变化时，用铝量随半径的增大而增大． 【总结升华】根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键． 类型三、用关系式表示变量间关系 3、（2015 春•淄博校级期中）已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8， 点 P 在 BC 上运动，点 P 不与点 B，C 重合，设 PC=x，若用 y 表示△APB 的面积，求 y 与 x 的 函数关系式，并求自变量 x 的取值范围． 【答案与解析】 解：解：∵BC=8，CP=x， ∴PB=8﹣x， x y3 ∴S△APB= PB•AC = ×（8﹣x）×6 =24﹣3x ∵点 P 不与点 B，C 重合， ∴自变量的取值范围是：0＜x＜8． 【总结升华】利用三角形面积公式找到变量之间的关系式，要把握点 P 是一动点这个规律， 结合图形观察到点 P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围． 举一反三： 【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为 80 的等腰三角形．请你写出底边长 ( )与腰长 ( )的关系式，并求自变量 的取值范围． 【答案】 解：由题意得， ＝80, 所以 ， 由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于 0， 所以 ，解得 所以 . 类型四、用图象表示变量间关系 4、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离 （ ）与散步所用的时间 （ ）之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出 发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志， 然后回家了．依据图象回答下列问题 （1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟； （2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟； （3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟； （4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟． 【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100. 【解析】由图象可知，0 到 4 分钟，小红从家走到离家 300 米的报栏，4 到 10 分钟，在公共 cm y cm x cm x 2x y+ 80 2y x= − 0 80 2 0 2 80 2 x y x x x >  = − >  > − 20 40x< < 80 2 , 20 40y x x= − < < s m t min4 报栏看新闻，10 到 13 分钟从报栏走到 200 米外的邮亭，13 到 18 分钟，从离家 500 米的邮亭返回家里. 【总结升华】这个图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条 线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间. 举一反三： 【变式】（2015 秋•南京期末）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏看了一会报后， 继续散步了一段时间，然后回家．如图描述了小明在散步过程中离家的距离 s（米）与离家 后所用时间 t（分）之间的函数关系．则下列说法中错误的是（　　） A．小明看报用时 8 分钟 B．小明离家最远的距离为 400 米 C．小明从家到公共阅报栏步行的速度为 50 米/分 D．小明从出发到回家共用时 16 分钟 【答案】A； 【解析】A、小明看报用时 8﹣4=4 分钟，错误； B、小明离家最远的距离为 400 米，正确； C、小明从家到公共阅报栏步行的速度为 50 米/分，正确； D、小明从出发到回家共用时 16 分钟，正确； 故选 A．5 【巩固练习】 一.选择题 1． 若 与 的关系式为 ，当 ＝ 时， 的值为（ ） A．5 B．10 C．4 D．－4 2. 下列关于圆的面积 S 与半径 R 之间的关系式 S 中，有关常量和变量的说法正确的 是（ ） A．S， 是变量， 是常量 B．S， ，R 是变量，2 是常量 C．S，R 是变量， 是常量 D．S，R 是变量， 和 2 是常量 3. 在关系式 中，自变量 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．矩形的周长为 18 ，则它的面积 S（ ）与它的一边长 （ ）之间的关系式是 （ ） A． B． C． D． 5．（2015 春•南昌期末）如图，描述了安佶同学某日造成的一段生活过程：他早上从家里跑 步去书店，在书店买了一本书后：马上就去早餐店吃早餐，吃完早餐后，立即散步走回 家．图象中的平面直角坐标系中的 x 表示时间，y 表示安佶离家的距离．请你认真研读这个 图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是（　　） A．安佶从家到新华书店的平均速度是 10 千米/分钟 B．安佶买书花了 15 分钟 C．安佶吃早餐花了 20 分钟 D．从早餐店到安佶家的 1.5 千米 6．如图，某游客为爬上 3 千米的山顶看日出，先用 1 小时爬了 2 千米，休息 0.5 小时后， 再用 1 小时爬上山顶，游客爬山所用时间 （小时）与山高 （千米）间的关系用图象 表示是（ ） 1 3 2Rπ= π π π π 1 3 1y x = − x 1 3x < 1 3x ≠ − 1 3x ≠ 1 3x > (9 )(0 9)S x x x= − < < (9 )(0 9)S x x x= + < ≤ (18 )(0 9)S x x x= − < ≤ (18 )(0 9)S x x x= + < < y x 30 6y x= − x y 2R cm 2cm x cm t h6 二.填空题 7. 若球体体积为 ，半径为 ，则 ．其中变量是_______、_______，常量是 ________． 8．如图中，每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点） 上都有 （ ≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为 S，按图的排列规律推断 S 与 之间 的关系可以用式子___________来表示． 9. 油箱中有油 30 ，油从管道中匀速流出，1 小时流完，求油箱中剩余油量 Q（ ）与 流出时间 （分钟）间的关系式为_______________，自变量的范围是____________．当 Q＝10 时， ＝__________（分钟）． 10．（2014 春•招远市期末）星期日，小明同学从家中出发，步行去菜地里浇水，浇完后又 去玉米地里除草，然后回到家里．如图是所用的时间与离家的距离的关系的图象，若菜地和 玉米地的距离为 a 千米，在玉米地里除草比在菜地里浇水多用的时间为 b 分钟，则 a=　 　， b=　 　． 11. 如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用 （元）与托运行李的质量 （千克） 的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，就可以免费托运． V R 3 3 4 RV π= n n n kg kg t kg t y x7 12．已知等腰三角形的周长为 60，底边长为 ，腰长为 ，则 与 之间的关系式及自变 量的取值范围为_______. 三.解答题 13.（2014 春•元宝区校级期中）如图，这是反映爷爷每天晚饭后从家中出发去元宝山公园 锻炼的时间与距离之间关系的一幅图． （1）如图反映的自变量、因变量分别是什么？ （2）爷爷每天从公园返回用多长时间？ （3）爷爷散步时最远离家多少米？ （4）爷爷在公园锻炼多长时间？ （5）计算爷爷离家后的 20 分钟内的平均速度． 14. 心理学家发现，学生对概念的接受能力 与提出概念所用的时间 （单位：分）之间有 如下关系：（其中 0≤ ≤30） 提出概念所用时间（ ） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力（ ） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用时间是 10 分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强； （4）从表中可知，当时间 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间 在什么范 围内，学生的接受能力逐步降低？ 15. 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4 ，E、F 分别是 BC、DC 边上一动点，E、F 同时从 点 C 均以 1 的速度分别向点 B、点 D 运动，当点 E 与点 B 重合时，运动停止．设 x y y x y x x x y x x cm /cm s8 运动时间为 ( )，运动过程中△AEF 的面积为 ，请写出用 表示 的关系式，并写 出自变量 的取值范围． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】 . 2. 【答案】C； 【解析】 是圆周率，是一个常量. 3. 【答案】C； 【解析】要使式子有意义，需 3 －1≠0. 4. 【答案】A； 【解析】矩形的另一边长为 ，所以 . 5. 【答案】A； 【解析】A、安佶从家到新华书店的平均速度是 2.5÷15= 千米/分钟，故 A 选项错误； B、由图象可得出安佶买书花了 30﹣15=15（分钟），故 B 选项正确； C、由图象可得出安佶吃早餐花了 65﹣45=20（分钟），故 C 选项正确； D、由函数图象可知，从早餐店到安佶家的 1.5 千米，故 D 选项正确． 故选：A． 6. 【答案】D； 二.填空题 7. 【答案】R 、V； ； 8. 【答案】 ； 9. 【答案】 ； ；40． 【解析】油从油箱里流出的速度为 30÷60=0.5 ，所以关系式为 10.【答案】0.9km；8min. 【解析】由纵坐标看出家到菜地的距离是 1.1 千米，家到玉米地的距离是 2 千米，菜地 和玉米地的距离为：2=1.1=0.9 千米； 由横坐标看出浇水时间为 25﹣15=10（分钟），除草时间为 55﹣38=18 分钟，在玉米地 里除草比在菜地里浇水多用的时间为 18=10=8 分钟， 故答案为；0.9km，8min． 11.【答案】20； π (9 )(0 9)S x x x= − < < tQ 5.030 −= 600 ≤≤ t tQ 5.030 −= x s y x y x 130 6 10 6 43y = × − = − = x 18 2 92 x x − = − 4 3 π 4 4S n= − / minkg9 【解析】由图象可知，在 0＜ ＜20 的范围内， ＝0. 12.【答案】 ； 【解析】2 ＋ ＝60， ，由于 2 ＞ 且 ＞0，所以 . 二.解答题 13.【解析】 解：（1）由图象知，图形反映了距离和时间之间的函数关系；自变量是时间，因变量是路 程． （2）爷爷没天从公园返回用了 15 分钟． （3）爷爷散步时最远离家 900 米． （4）爷爷在公园锻炼 10 分钟． （5）900÷20=45（米/分）． 14.【解析】 解：（1）提出概念所用的时间 和对概念接受能力 两个变量； （2）当 =10 时， =59，所以时间是 10 分钟时，学生的接受能力是 59． （3）当 =13 时， 的值最大是 59.9，所以提出概念 13 分钟时，学生的接受能力最 强． （4）由表中数据可知：当 2＜ ＜13 时， 值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强； 当 13＜ ＜20 时， 值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 15.【解析】 解： ． x y 130 (0 30)2y x x= − < < y x 130 2y x= − y x x 0 30x< < x y x y x y x y x y ABE DAF CEFy S S S S∆ ∆ ∆= − − −正方形ABCD 2 1 1 1 2 2 2BC AB BE AD DF EF FC= − − −   2 1 1 14 4 (4 ) 4 (4 )2 2 2x x x x= − × × − − × × − −  21 4 (0 4)2 x x x= − + ≤ ≤