全等三角形判定二（提高）知识讲解

1 全等三角形判定二（SAS）（提高） 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法 4——“边角边”； 2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 3. 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 【要点梳理】 【高清课堂：379109 全等三角形判定一，基本概念梳理回顾】 要点一、全等三角形判定 4——“边角边” 1. 全等三角形判定 4——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果 AB ＝ ，∠A＝∠ ，AC ＝ ，则△ABC≌△ . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC 与△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 与△ABD 不完全重合， 故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 要点二、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 　　　 已知条件 　　可选择的判定方法 　　一边一角对应相等 　　SAS AAS ASA 　　两角对应相等 　　ASA AAS 　　两边对应相等 　　SAS SSS 要点三、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等 的三角形中，可以证这两个三角形全等； 2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； ' 'A B 'A ' 'A C ' ' 'A B C2 3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 要点四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、 相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等 三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何 问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发 现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据 图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之 出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定 4——“边角边” 1、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB＋AC＞2AD． 【思路点拨】延长 AD 到点 E，使 AD＝DE，连接 CE．通过证全等将 AB 转化到△CEA 中，同时 也构造出了 2AD．利用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案与解析】 证明：如图，延长 AD 到点 E，使 AD＝DE，连接 CE．3 在△ABD 和△ECD 中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD． ∴△ABD≌△ECD（SAS）． ∴AB＝CE． ∵AC＋CE＞AE， ∴AC＋AB＞AE＝2AD．即 AC＋AB＞2AD． 【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的 两边之和大于第三边．要证明 AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显 然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ ABD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△CED，也就把 AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了 2AD．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法． 2、已知，如图：在△ABC 中，∠B＝2∠C，AD⊥BC， 求证：AB＝CD－BD． 【思路点拨】在 DC 上取一点 E，使 BD＝DE，则△ABD≌△AED，所以 AB＝AE，只要再证出 EC ＝AE 即可． 【答案与解析】 证明：在 DC 上取一点 E，使 BD＝DE ∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE 在△ABD 和△AED 中， BD＝DE，AD＝AD． ∴△ABD≌△AED（SAS）． ∴AB＝AE，∠B＝∠AED． 又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC． ∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC． ∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD． 【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等 三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明 AB＝CD－BD， 把 CD－BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿 AD 翻折，使线段 BD 运动到 DC 上， 从而构造出 CD－BD，并且也把∠B 转化为∠AEB，从而拉近了与∠C 的关系. 举一反三： 【变式】（2014 秋•利通区校级期末）如图，AC 和 BD 相交于 O 点，若 OA=OD，用“SAS”证 明△AOB≌△DOC 还需（　　） A ED CB4 A．AB=DC B． OB=OC C． ∠C=∠D D． ∠AOB=∠DOC 【答案】B． 解：A、AB=DC，不能根据 SAS 证两三角形全等，故本选项错误； B、∵在△AOB 和△DOC 中 ， ∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确； C、两三角形相等的条件只有 OA=OD 和∠AOB=∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误； D、根据∠AOB=∠DOC 和 OA=OD，不能证两三角形全等，故本选项错误. 类型二、全等三角形动态型问题 【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习 5】 3、（2015•武汉模拟）在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线 经过顶点 C，过 A，B 两点分别作 的垂线 AE，BF，垂足分别为 E，F. （1）如图 1 当直线 不与底边 AB 相交时，求证：EF＝AE＋BF. （2）将直线 绕点 C 顺时针旋转，使 与底边 AB 相交于点 D，请你探究直线 在如下位 置时，EF、AE、BF 之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD. 【答案与解析】 证明：（1）∵AE⊥ ，BF⊥ ，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3。 ∵在△ACE 和△CBF 中， ∴△ACE≌△CBF（AAS） ∴AE＝CF，CE＝BF ∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。 l l l l l l l l 1 3 AEC CFB AC BC ∠ = ∠ ∠ = ∠  =5 （2）①EF＝AE－BF，理由如下： ∵AE⊥ ，BF⊥ ， ∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。 ∵在△ACE 和△CBF 中 ∴△ACE≌△CBF（AAS） ∴AE＝CF，CE＝BF ∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。 ②EF＝AE―BF ③EF＝BF―AE 证明同①. 【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点： (1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用； (2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键； (3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程， 其结论有时变化，有时不发生变化. 举一反三： 【变式】已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为射线 BC 上一动点，连结 AD， 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF． （1）当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图 1，求证：CF＝BD （2）当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，如图 2，第（1）问中的结论是否仍然成 立，并说明理由. 【答案】 证明：（1）∵正方形 ADEF ∴AD＝AF，∠DAF＝90° ∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF 在△ABD 和△ACF 中， l l 1 3 AEC CFB AC BC ∠ = ∠ ∠ = ∠  =6 ∴△ABD≌△ACF（SAS） ∴BD＝CF （2）当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，仍有 BD＝CF 此时∠DAF＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAF 在△ABD 和△ACF 中， ∴△ABD≌△ACF（SAS） ∴BD＝CF 类型三、全等三角形判定的实际应用　 4、（2016 春•深圳校级期中）要测量河岸相对两点 A、B 的距离，已知 AB 垂直于河岸 BF， 先在 BF 上取两点 C、D，使 CD=CB，再过点 D 作 BF 的垂线段 DE，使点 A、C、E 在一条直线 上，如图，测出 BD=10，ED=5，则 AB 的长是（　　） A．2.5 B．10 C．5 D．以上都不对 【思路点拨】由 AB、ED 均垂直于 BD，即可得出∠ABC=∠EDC=90°，结合 CD=CB、∠ACB=∠ECD 即可证出△ABC≌△EDC（ASA），由此即可得出 AB=ED=5，此题得解． 【答案】C． 【解析】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB， ∴∠ABC=∠EDC=90°， 在△ABC 和△EDC 中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB=ED=5． 故选 C． 【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 本 题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理 （ ASA ）．解 决 该 题 型 题 目 时 ， 熟 练 掌 握 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 是 关 键 ． AB AC BAD CAF AD AF = ∠ = ∠  = AB AC BAD CAF AD AF = ∠ = ∠  =7 【巩固练习】 一、选择题 1．（2014 秋•上海期末）已知：如图，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，且 ∠DAB=∠CAE=60°，那么△ADC≌△AEB 的根据是（　　） 　 A．边边边 B． 边角边 C． 角边角 D． 角角边 2．（2016 春•深圳校级期中）如图，AD 是△ABC 的中线，E，F 分别是 AD 和 AD 延长线上的点， 且 DE=DF，连接 BF、CE，且∠FBD=35°，∠BDF=75°，下列说法：①△BDF≌CDE；②ABD和△ ACD 面积相等；③BF∥CE；④∠DEC=70°，其中正确的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3． AD 为△ABC 中 BC 边上的中线, 若 AB＝2, AC＝4, 则 AD 的范围是( ) A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜3 4．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F 是 DB 上两点，且 BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝ 30°，则∠BCF＝（　　）． A.150° 　　 B.40° 　　 C.80° 　 D.90° 5． 根据下列条件能唯一画出△ABC 的是（ ） A.AB＝3，BC＝4，AC＝8 B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C.AB＝5，AC＝6，∠A＝45° D. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° 6．如图，在△ABC 中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 上，并且 BD＝ CE，BE＝CF，则∠DEF 等于（ ） A.50° B.60° C. 65° D. 70°8 二、填空题 7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________. 8．如图，△ABC 中，H 是高 AD、BE 的交点，且 BH＝AC，则∠ABC＝________. 9.（2014 秋•启东市校级期中）如图，已知 AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，若以 “SAS”为依据，补充的条件是　 　． 10.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 互相平分，则图中全等三角形共有_____对. 11． 如图所示，BE⊥AC 于点 D，且 AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝ °.9 12．（2015 秋•平谷区期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小米的作法如下： 请回答：小米的作图依据是　 　． 三、解答题 13．（2016 春•长清区期末）以点 A 为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图 1 所示放置，使得一直角边重合，连接 BD，CE． （1）说明 BD=CE； （2）延长 BD，交 CE 于点 F，求∠BFC 的度数； （3）若如图 2 放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由． 14.（2014 秋•公安县期中）已知△ABC 中，AB=8，AC=6，AD 是中线，求 AD 的取值范围.10 15．已知：如图，BE、CF 是△ABC 的高，且 BP＝AC，CQ＝AB， 求证：AP⊥AQ. 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B. 【解析】∵△ABD 和△ACE 均为等边三角形， ∴DA=BA，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC． ∴△ADC≌△AEB．（SAS） 2．【答案】D； 【解析】解：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD=CD， ∴△ABD 的面积=△ACD 的面积， 在△BDF 和△CDE 中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS），故①②正确 ∴∠F=∠CED，∠DEC=∠F， ∴BF∥CE，故③正确， ∵∠FBD=35°，∠BDF=75°， ∴∠F=180°﹣35°﹣75°=70°， ∴∠DEC=70°，故④正确； 综上所述，正确的是①②③④． 故答案为：D． 3．【答案】D； 【解析】用倍长中线法； 4．【答案】D； 【解析】证△ABE≌△CDF，△ADE≌△BCF； 5．【答案】C； 【解析】A 不能构成三角形，B 没有 SSA 定理，D 没有 AAA 定理. 6．【答案】C；11 【解析】证△DBE≌△ECF，∠DEF＝180°－∠DEB－∠FEC＝180°－∠DEB－∠BDE＝ ∠B ＝ ＝65°. 二.填空题 7．【答案】66°； 【解析】可由 SSS 证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝ ，所以∠DCB＝ ∠ABC＝25°＋41°＝66° 8．【答案】45°； 【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD. 9. 【答案】AC=AE． 【解析】补充的条件是：AC=AE．理由如下： ∵∠BAE=∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠BAC=∠DAE． ∵在△ABC 与△ADE 中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 10.【答案】4； 【解析】△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA. 11.【答案】27； 【解析】可证△ADB≌△CDB≌△CDE. 12.【答案】有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等； 【解析】解：由作图过程可得 CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′， 在△DOC 和△D′O′C′中， ， ∴△ODC≌△O′D′C′（SSS）， ∴∠O=∠O′． 故答案为：有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等． 三.解答题 13．【解析】 解：（1）∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE， ∵在△ADB 和△AEC 中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴BD=CE； （2）∵△ADB≌△AEC， ∴∠ACE=∠ABD， 180 50 2 °− ° 82 412 ° = °12 而在△CDF 中，∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF 又∵∠CDF=∠BDA ∴∠BFC=180°﹣∠DBA﹣∠BDA =∠DAB =90°； （3）BD=CE 成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下： ∵△ABC、△ADE 是等腰直角三角形 ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°， ∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ADB 和△AEC 中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS） ∴BD=CE，∠ACE=∠DBA， ∴∠BFC=∠CAB=90°． 14.【解析】 解：延长 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 EC， ∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC， ∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB， ∵AB=8，AC=6，CE=8， 设 AD=x，则 AE=2x， ∴2＜2x＜14， ∴1＜x＜7， ∴1＜AD＜7． 15．【解析】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB（已知） ∴∠ACF＋∠BAC＝90°，∠ABE＋∠BAC＝90°，（三角形内角和定理） ∠ACF＝∠ABE（等式性质） 在△ACQ 和△PBA 中 ∵ ∴△ACQ≌△PBA（SAS） ∴∠Q＝∠BAP（全等三角形对应角相等）    = ∠=∠ = BPAC ABPACF ABCQ13 ∵CF⊥AB（已知） ∴∠Q＋∠QAF＝90°，（垂直定义） ∴∠BAP＋∠QAF＝90°，（等量代换） ∴AP⊥AQ.（垂直定义）