《相交线与平行线》全章复习与巩固(提高)知识讲解

1 《相交线与平行线》全章复习与巩固（提高）知识讲解 【学习目标】 1． 熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两 平行线间的距离的概念； 2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用； 3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. 要点诠释： （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对 顶角. ②如果两个角的和是 180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一 个角的补角．类似地，如果两个角的和是 90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中 一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示， 如下图．2 （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 要点二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法 1：同位角相等，两直线平行． 判定方法 2：内错角相等，两直线平行． 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质 1：两直线平行，同位角相等； 性质 2：两直线平行，内错角相等； 性质 3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线 AB∥CD，EF⊥AB 于 E，EF⊥CD 于 F，则称线段 EF 的长度为两平行线 AB 与 CD 间的距离. 要点诠释： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三 种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长 度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上 的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度， 是一个量，它们之间不能等同. 要点三、用尺规作线段和角3 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 【典型例题】 类型一、两条直线的位置关系 1. (1)如图（1）已知直线 AB，CD 相交于点 0． (2)如图（2）已知直线 AE，BD 相交于点 C． 分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角? 【答案与解析】 解： (1)邻补角是∠DOA 与∠AOC，∠AOE 与∠EOB，∠BOC 与∠COA，∠COE 与∠DOE，∠DOA 与∠DOB，∠DOB 与∠BOC；对顶角是∠AOD 与∠COB，∠AOC 与∠DOB. (2)邻补角是∠ACB 与∠ACD，∠ECD 与∠DCA，∠DCE 与∠ECB，∠ECB 与∠ACB；对顶角 是∠ACB 与∠DCE，∠BCE 与∠ACD． 【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全. 2.（2015 春•桃园县校级期末）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，过点 O 作两条射线 OM、ON，且∠AOM=∠CON=90° ①若 OC 平分∠AOM，求∠AOD 的度数． ②若∠1= ∠BOC，求∠AOC 和∠MOD．4 【答案与解析】 解：①∠AOM=∠CON=90°，OC 平分∠AOM， ∴∠1=∠AOC=45°， ∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°； ②∵∠AOM=90°， ∴∠BOM=180°﹣90°=90°， ∵∠1= ∠BOC， ∴∠1= ∠BOM=30°， ∴∠AOC=90°﹣30°=60°，∠MOD=180°﹣30°=150°． 【总计升华】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，解此题的关键是能根据角平 分线定义和已知求出各个角的度数． 举一反三： 【变式】（2015 秋•辛集市期末）如图，已知直线 AB 和 CD 相交于 O 点，∠COE=90°，OF 平 分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD 的度数． 【答案】 解：由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣COF=90°﹣28°=62°． 由角平分线的性质，得∠AOF=∠EOF=62°． 由角的和差，得∠AOC=∠AOF﹣∠COF=62°﹣28°=34°． 由对顶角相等，得 ∠BOD=∠AOC=34°． 类型二、平行线的性质与判定 3.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明 BE⊥DE．5 【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线 为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系． 【答案与解析】 解：过 E 点作 EF∥AB， 因为 AB∥CD(已知)， 所以 EF∥CD． 所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)． 又因为∠D＝∠2(已知)， 所以∠4＝∠2(等量代换)． 同理，由 EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1． 因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)， 所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°， 即∠BED＝90°．故 BE⊥DE． 【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通 过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的． 举一反三： 【变式 1】已知直线 AB∥CD，当点 E 在直线 AB 与 CD 之间时，有∠BED＝ ∠ABE+∠CDE 成立；而当点 E 在直线 AB 与 CD 之外时，下列关系式成立的是( ). A．∠BED＝∠ABE+∠CDE 或∠BED＝∠ABE-∠CDE B．∠BED＝∠ABE-∠CDE C．∠BED＝∠CDE-∠ABE 或∠BED＝∠ABE-∠CDE D．∠BED＝∠CDE-∠ABE 【答案】C （提示：过点 E 作 EF∥AB） 【变式 2】如图，两直线 AB、CD 平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ . 【答案】900° 4.如图，已知 CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF.6 【答案与解析】 证明：如图，过点 C 做 CK∥FG，并延长 GF、CD 交于点 H， ∵ CD∥EF （已知）， ∴ ∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）. 又∵ CK∥FG， ∴ ∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）. ∴ ∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）. ∵ ∠1＋∠2＝∠ABC（已知）， ∴ ∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）. ∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）. ∴ AB∥GF（平行的传递性）. 【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否 平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补. 类型三、用尺规作线段和角 5. 已知：如图，AB//CD，BC//DE，∠B＝70°， （1）求∠D 的度数. （2）用尺规在图上作一个∠ ，使∠ =∠D—∠B（不写作法，保留痕迹）. 【思路点拨】 （1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出； （2）根据平行线的性质即可求解． 【答案与解析】 解：（1）∵AB//CD，BC//DE， α α A B E DC7 ∴ ∠C＝∠B＝70°，∠D＝180°－∠C＝180°－70°＝110°. （2）作法如图： 【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角的差，以及平行线的性质定理，正 确掌握基本作图是关键． 类型四、实际应用 6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边 BC 的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF 的度数吗？ 【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以 AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为 折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两 直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解. 【答案与解析】 解：因为 AD∥BC（已知）， 所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）. 因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等）， 所以∠DEG＝2∠DEF＝60°. 所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）. 【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化， 对应边和对应角相等；（2）平行线的性质． 举一反三： 【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个 正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）． A．60° B．30° C．45° D．90° 【答案】C8 《相交线与平行线》全章复习与巩固（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．(济南)已知，如图所示，AB⊥CD，垂足为 O，EF 为过点 O 的一条直线，则∠1 与∠2 的关系一定成立的是( ). A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯 的角度可能是( ) . A．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30°. B．第一次向右拐 50°，第二次向左拐 130°. C．第一次向左拐 50°，第二次向左拐 130°. D．第一次向左拐 50°，第二次向右拐 130°. 3．（2016•邯山区一模）如图，AB、CD、EF、MN 均为直线，∠2=∠3=70°，∠GPC=80°，GH 平分∠MGB，则∠1=（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是 （ ）. 　　A．同位角 　　　B．同旁内角 　　　C．内错角 　　　D. 同位角或内错角 5. 如图所示，b∥c，a⊥b，∠1＝130°，则∠2＝（ ）． A．30° B. 40° C. 50° D. 60° 6. 如图，已知∠A＝∠C，如果要判断 AB∥CD，则需要补充的条件是（ ）． A．∠ABD＝∠CEF B．∠CED＝∠ADB C．∠CDB＝∠CEF D．∠ABD+∠CED＝180° A B FED C A B C D E9 (第 5 题) (第 6 题) (第 7 题) 7.如图， ，则 AEB＝（ ）． A． B． C． D． 8. 如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF 是折痕，若∠EFB＝32°，则 下列结论不正确的有（ ）． A. B. ∠AEC＝148° C. ∠BGE＝64° D. ∠BFD＝116° 二、填空题 9.（2015•丹东）如图，∠1=∠2=40°，MN 平分∠EMB，则∠3=　 ． 10. (宁波外校一模)如图所示，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A、B 两岛的视角∠ACB 等于________． 11. (吉安)如图所示，AB∥CD，MN 交 AB、CD 于 E、F，EG 和 FG 分别是∠BEN 和∠MFD 的平分线，那么 EG 与 FG 的位置关系是 ． 1 753DE // AB, CAE CAB, CDE ,∠ = ∠ ∠ =  65B∠ =  ∠ 70 65 60 55 32=′∠ EFC A B C′ D′ C D E F G10 12．如图，一块梯形玻璃的下半部分打碎了，若∠A＝125°，∠D＝107°，则打碎部分的 两个角的度数分别为 . 13. 如图所示，已知 AB∥CD，∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，则∠E 的度数 ． 14. 已知，如图∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A ∠F（填“＞”“＝”“＜”）． 15．如图所示，直线 AD、BE、CF 相交于一点 O，∠BOC 的同位角有________，∠OED 的同旁 内角有________，∠ABO 的内错角有________，由∠OED＝∠BOC 得________∥________，由∠ OED＝∠ABO 得________∥________，由 AB∥DE，CF∥DE 可得 AB________CF． 16. 如图，AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为 ． 三、解答题 17．如图所示，直线 AB、MN 分别与直线 PQ 相交于 O、S，射线 OG⊥PQ，且 OG 将∠BOQ 分成 1:5 两部分，∠PSN 比它的同位角的 2 倍小 60°，求∠PSN 的度数． γ A B C D α β H G F B ED CA 1 211 18. 已知，如图 AB∥EF，∠ABC＝∠DEF,试判断 BC 和 DE 的位置关系，并说明理由． 19.（2015 秋•黄岛区期末）如图，已知 CF⊥AB 于 F，ED⊥AB 于 D，∠1=∠2， 求证：FG∥BC． 20.河的两岸成平行线，A,B 是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂 直于河岸，并且使 A，B 间的路程最短.确定桥的位置的方法是：作从 A 到河岸的垂线，分别 交河岸 PQ，MN 于 F，G.在 AG 上取 AE＝FG，连接 EB，EB 交 MN 于 D.在 D 处作到对岸的垂线 DC，垂足为 C，那么 DC 就是造桥的位置．试说出桥造在 CD 位置时路程最短的理由，也就是 （AC+CD+DB）最短的理由． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B； 【解析】因为 AB⊥CD，所以∠1+∠2＝90°，因此∠1 与∠2 的关系是互为余角． 2. 【答案】A； 【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，12 即可得出答案. 3. 【答案】D； 【解析】∵∠2=∠3=70°， ∴AB∥CD， ∴∠BGP=∠GPC， ∵∠GPC=80°， ∴∠BGP=80°， ∴∠BGM=180°﹣∠BGP=100°， ∵GH 平分∠MGB， ∴∠1= ∠BGM=50°，故选 D． 4. 【答案】D； 【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是 同旁内角. 5. 【答案】B； 【解析】反向延长射线 a 交 c 于点 M，则∠2＝90°－（180°－130°）＝40°. 6.【答案】B； 7.【答案】B； 【解析】 ，∠EAB＝75°－25°＝50°. 8.【答案】B. 二、填空题 9. 【答案】110°； 【解析】∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°， ∴∠1=∠MEN， ∴AB∥CD， ∴∠3+∠BMN=180°， ∵MN 平分∠EMB， ∴∠BMN= ， ∴∠3=180°﹣70°=110°． 10.【答案】90°； 【解析】过点 C 作 CD∥AE，由 AE∥BF，知 CD∥AE∥BF，则有∠ACD＝∠EAC＝ 50°，∠BCD＝∠CBF＝40°，从而有∠ACB＝∠ACD 十∠BCD＝50°+40°＝90°． 11.【答案】垂直； 【解析】 解：EG⊥FG，理由如下： 1 1 75 =253 3CAE CAB∠ = ∠ = ×  13 ∵ AB∥CD，∴ ∠BEN+∠MFD＝180°． ∵ EG 和 FG 分别是∠BEN 和∠MFD 的平分线， ∴ ∠GEN+∠GFM＝ (∠BEN+∠MFD)＝ ×180°＝90°． ∴ ∠EGF＝180°-∠GEN-∠GFM＝90°． ∴ EG⊥FG． 12．【答案】55°，73°； 【解析】如图，将原图补全，根据平行线的性质可得答案. . 13.【答案】56°； 【解析】过点 F 作 FG∥EC，交 AC 于 G， ∴ ∠ECF＝∠CFG， ∵ AB∥CD，∴ ∠BAE＝∠AFC． 又∵ ∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°， ∴ ∠BAE＝3×28°＝84°． ∴ ∠CFG＝28°，∠AFC＝84°． ∴ ∠AFG＝∠AFC-∠CFG＝56°． 又 FG∥EC，∴ ∠AFG＝∠E． ∴ ∠E＝56°． 14.【答案】＝； 【解析】平行线的判定与性质及对顶角的性质的应用． 15.【答案】∠AFO、∠OED，∠EOD、∠EOC、∠OBC、∠EDO、∠EDC， ∠COB、∠DEB、∠DOB， OC、DE， DE、AB，∥； 【解析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的识别和平行线的判定和性质． 16.【答案】α+β-γ=180°； 【解析】通过做平行线或构造三角形得解． 三、解答题 17.【解析】 解：因为 OG⊥PQ(已知)， 所以∠GOQ＝90°(垂直定义)， 因为∠BOG:∠GOQ＝1:5(已知)， 所以∠BOG＝18°，所以∠BOQ＝108°． 因为∠POB+∠BOQ＝180°(补角定义)， 1 2 1 214 所以∠POB＝180°-∠BOQ＝180°-108°＝72°． 因为∠PSN＝2∠POB-60°(已知)， 所以∠PSN＝2×72°-60°＝84°． 点拨：此题的关键是找出要求的∠PSN 与题中的各已知量的关系． 18.【解析】 解：如图，连接 BE，因为 AB∥EF，所以∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相 等）． 又因为∠ABC＝∠DEF， 所以∠ABE－∠ABC＝∠BEF－∠DEF，即∠CBE＝∠BED． 所以 BC∥DE（内错角相等，两直线平行）． 19.【解析】 证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB， ∴DE∥FC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠1=∠BCF（两直线平行，同位角相等）； 又∵∠2=∠1（已知）， ∴∠BCF=∠2（等量代换）， ∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行）． 20.【解析】 解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知： . 而 CD 的长度又是平行线 PQ 与 MN 之间的距离，所以 AC+CD+DB 最短. ( )AC CD DB ED DB CD EB CD+ + = + + = +