平行线的性质及尺规作图(提高)知识讲解
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平行线的性质及尺规作图(提高)知识讲解

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资料简介
1 平行线的性质及尺规作图(提高)知识讲解 【学习目标】 1.掌握平行线的性质,并能依据平行线的性质进行简单的推理; 2.了解平行线的判定与性质的区别和联系,理解两条平行线的距离的概念; 3.了解尺规作图的基本知识及步骤; 4. 通过用尺规作图活动,进一步丰富对“平行线及角”的认识. 【要点梳理】 要点一、平行线的性质 性质 1:两直线平行,同位角相等. 性质 2:两直线平行,内错角相等. 性质 3:两直线平行,同旁内角互补. 要点诠释: (1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不 可忽视前提 “两直线平行”. (2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平 行线的性质. 要点二、两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线 的距离. 要点诠释: (1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段 的长度就是两条平行线的距离. (2) 两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变, 即平行线间的距离处处相等. 要点三、尺规作图 1. 定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图. 要点诠释: (1)只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题. (2)直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在 一起,不可以在上面画刻度. (3)圆规可以开至无限宽,但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度. 2.八种基本作图(有些今后学到): (1)作一条线段等于已知线段. (2)作一个角等于已知角. (3)作已知线段的垂直平分线. (4)作已知角的角平分线. (5)过一点作已知直线的垂线.2 (6)已知一角、一边做等腰三角形. (7)已知两角、一边做三角形. (8)已知一角、两边做三角形. 【典型例题】 类型一、平行线的性质 1.(2015 春•荣昌县期末)如图,已知射线 AB 与直线 CD 交于点 O,OF 平分∠BOC, OG⊥OF 于 O,AE∥OF,且∠A=30°. (1)求∠DOF 的度数; (2)试说明 OD 平分∠AOG. 【思路点拨】(1)根据两直线平行,同位角相等可得∠FOB=∠A=30°,再根据角平分线的定 义求出∠COF=∠FOB=30°,然后根据平角等于 180°列式进行计算即可得解; (2)先求出∠DOG=60°,再根据对顶角相等求出∠AOD=60°,然后根据角平分线的定义即 可得解. 【答案与解析】 解:(1)∵AE∥OF, ∴∠FOB=∠A=30°, ∵OF 平分∠BOC, ∴∠COF=∠FOB=30°, ∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°; (2)∵OF⊥OG, ∴∠FOG=90°, ∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°, ∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°, ∴∠AOD=∠DOG, ∴OD 平分∠AOG. 【总结升华】本题考查了平行线的性质,对顶角相等的性质,垂线的定义,(2)根据度数相 等得到相等的角是关键. 举一反三: 【变式】(2015•青海)如图,直线 a∥b,直线 l 与 a 相交于点 P,与直线 b 相交于点 Q,且 PM 垂直于 l,若∠1=58°,则∠2=   .3 【答案】32° 类型二、两平行线间的距离 2.下面两条平行线之间的三个图形,图 的面积最大,图 的面积最小. 【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,每个三角形的面积是拼成的 平行四边形面积的一半;两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,每个梯形的面积是 拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同,所以可以通过比较平行四边形的底的长短,得 出平行四边形面积的大小. 【答案】图 3,图 2 【解析】 解:因为它们的高相等,三角形的底是 8,8÷2=4,梯形的上、下底之和除以 2,(2+7)÷2 =4.5;5>4.5>4; 所以,图 3 平行四边形的面积最大,图 2 三角形的面积最小. 【总结升华】根据平行线的性质,得出梯形、三角形、平行四边形的高相等,求出三角形底 的一半,梯形上、下底之和的一半,与平行四边形的底进行比较,由此得出正确答案. 举一反三: 【变式】下图是一个方形螺线.已知相邻均为 1 厘米,则螺线总长度是 厘米. 【答案】35 类型三、尺规作图 3. 如图所示,已知∠ 和∠ ,利用尺规作∠AOB,使∠AOB=2(∠ -∠ ).α β α β4 【答案与解析】 作法:如图所示.(1)作∠COD=∠ ; (2)以射线 OD 为一边,在∠COD的外部作∠DOA,使∠DOA=∠ ; (3)以射线 OC 为一边,在∠COA 的内部作∠COE,使∠COE=∠ ; (4)以射线 OE 为一边,在∠EOA 内部作∠EOB,使∠EOB=∠ ,则∠AOB 就是所求 作的角. 【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角,本题的做法有两种:一种可以先做倍数角再做 差角,如本题提供的答案;另一种也可以先做差角再做倍数角. 4. (苏州中考模拟)如图所示,在长为 50m,宽为 22m 的长方形地面上修筑宽度都为 2 m 的道路,余下的部分种植花草,求种植花草部分的面积. 【思路点拨】因种植花草部分比较分散,且有的是不规则的图形,所以直接求其面积较困 难.因小路都是宽度相同的长方形,所以可想到把小路平移到一起,这样种植花草部分将汇 集成一个长方形,问题便迎刃而解. 【答案与解析】 解:如图所示②把几条 2 米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘,则种植花草部 分汇集成一个长方形, 显然,这个长方形的长是 50-2=48(m),宽是 22-2=20(m),于是种植花草部分的面积为 48 α α β β5 ×20=960(m2). 【总结升华】若分步计算则较繁琐.但采用“平移”的手段从整体上把握,问题便迅速求 解. 举一反三: 【变式】如图①,在宽为 20m、长为 30m 的矩形地面上修建两条同样宽度的道路,余下部 分作为耕地.根据图中数据,可得耕地的面积为 ( ) A.600m2 B.551m2 C.550m2 D.500m2 【答案】B 类型四、平行的性质与判定综合应用 5. (黄冈调考)如图所示,AB∥CD,分别写出下面四个图形中∠A 与∠P,∠C 的数量 关系,请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明. 【思路点拨】过 P 点作 AB 的平行线,问题便会迅速得到求解. 【答案与解析】 解: (1)∠A+∠C=∠P; (2)∠A+∠P+∠C=360°; (3)∠A=∠P+∠C; (4)∠C=∠P+∠A. 现以(3)的结论加以证明如下: 如上图,过点 P 作 PH∥AB ,因为 AB∥CD,所以 PH∥AB∥CD. 所以∠HPA+∠A=180°,即∠HPA=180°-∠A; ∠HPA+∠P+∠C=180°,即 180°-∠A+∠P+∠C=180°,也即∠A=∠P+∠ C. 【总结升华】随着折点的不同,结论也会不同,但解法却如出一辙.都是过折点作平行线求 解. 举一反三: 【变式 1】如图,AB∥CD,∠ABG=42°,∠CDE=68°,∠DEF=26°. 求证:BG∥EF.6 【答案】如图,分别过点 G、F、E 作 GP∥AB,FQ∥AB,ER∥CD,又因为 AB∥CD, 所以 AB∥GP∥FQ∥CD∥FQ. ∴∠1=42°,∠2=∠3,∠4=∠5,∠5+26°=68°, ∴∠5=68°-26°=42°,且∠4=∠5=42°. ∴∠1+∠2=42°+∠2;∠4+∠3=42°+∠3. ∴∠1+∠2=42°+∠3,即∠BGF=∠GFE. ∴BG∥EF. 【变式 2】如图所示,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐角∠A 是 120 °,第二次拐的角∠B 是 150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前 的道路平行,则∠C 是( ) . A.120° B.130° C.140° D.150° 【答案】D7 平行线的性质及尺规作图(提高)巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1. 若∠1 和∠2 是同旁内角,若∠1=45°,则∠2 的度数是 ( ) A.45° B.135° C.45°或 135° D.不能确定 2.(2016•安徽模拟)如图 AB∥CD,∠E=40°,∠A=110°,则∠C 的度数为(  ) A.60° B.80° C.75° D.70° 3.(湖北襄樊)如图所示,已知直线 AB∥CD,BE 平分∠ABC,交 CD 于 D,∠CDE= 150°,则∠C 的度数为( ) A.150° B.130° C.120° D.100° 4.如图,OP∥QR∥ST,则下列等式中正确的是( ) A.∠1+∠2-∠3=90° B.∠2+∠3-∠1=180° C.∠1-∠2+∠3=180° D.∠1+∠2+∠3=180° 5. 如图,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC 平分∠BAD,且交 EF 于点 O,则与∠AOE 相等的 角有( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 6.(湖北潜江)如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE 等于(   )8 A.23° B.16° C.20° D.26° 7. 如图所示,在一个由 4×4 个小正方形组成的正方形网格中,把线段 EF 向右平移 3 个单 位,向下平移 1 个单位得到线段 GH,则阴影部分面积与正方形 ABCD 的面积比是( ) A.3:4 B.5:8 C.9:16 D.1:2 二、填空题 8.(2016 春•江苏月考)如图,BC∥DE,AD⊥DF,∠l=30°,∠2=50°,则∠A=   . 9.如图所示,AB∥CD,若∠ABE=120°,∠DCE=35°,则有∠BEC=________. 10.(四川攀枝花)如图,直线 l1∥l2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3=  . 11.一个人从点 A 出发向北偏东 60°方向走了 4m 到点 B,再向南偏西 80°方向走了 3m 到 点 C,那么∠ABC 的度数是________. 12.如图所示,过点 P 画直线 a 的平行线 b 的作法的依据是 _. 13.如图,已知 ED∥AC,DF∥AB,有以下命题:9 ①∠A=∠EDF;②∠1+∠2=180°;③∠A+∠B+∠C=180°;④∠1=∠3.其中, 正确的是________.(填序号) 三、解答题 14.如图所示,AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C,则∠1 和∠2 什么关系?并说明理由. 15.已知 如图(1),CE∥AB,所以∠1=∠A,∠2=∠B,∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠ B.这是一个有用的事实,请用这个结论,在图(2)的四边形 ABCD 内引一条和边平行的直 线,求∠A+∠B+∠C+∠D 的度数. 16.(2015 春•澧县期末)已知如图,AB∥CD,试解决下列问题: (1)∠1+∠2=   ; (2)∠1+∠2+∠3=    ; (3)∠1+∠2+∠3+∠4=   ; (4)试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=   . 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D; 【解析】本题没有给出两条直线平行的条件,因此同旁内角的数量关系是不确定的. 2. 【答案】D; 【解析】∵AB∥CD, ∴∠A+∠AFD=180°, ∵∠A=110°, ∴∠AFD=70°,10 ∴∠CFE=∠AFD=70°, ∵∠E=40°, ∴∠C=180°﹣∠E﹣∠CFE=180°﹣40°﹣70°=70°,故选 D. 3. 【答案】C; 【解析】解:如图, ∠3=30°,∠1=∠2=30°,∠C=180°-30°-30°=120°. 4. 【答案】B; 【解析】反向延长射线 ST 交 PR 于点 M,则在△MSR 中, 180°-∠2+180°-∠3+∠1=180°,即有∠2+∠3-∠1=180°. 5. 【答案】A 【解析】与∠AOE 相等的角有:∠DCA,∠ACB,∠COF,∠CAB,∠DAC. 6. 【答案】C; 【解析】解:∵AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°, ∴∠BCD=∠ABC=46°,∠FEC+∠ECD=180°, ∴∠ECD=180°—∠FEC=26°, ∴∠BCE=∠BCD—∠ECD=46°—26°=20°. 7. 【答案】B; 【 解 析 】 , , 所 以 . 二.填空题 8. 【答案】70°; 【解析】∵AD⊥DF,∴∠ADF=90°. ∵∠1=30°,∴∠ADE=90°﹣30°=60°. ∵BC∥DE,∴∠ABC=∠ADE=60°, ∵△ABC 中,∠ABC=60°,∠2=50°, ∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°.故答案为:70°. 9.【答案】95°; 【解析】如图,过点 E 作 EF∥AB.所以∠ABE+∠FEB=180°(两直线平行,同旁内 角互补),所以∠FEB=180°-120°=60°.又因为 AB∥CD,EF∥AB,所以 EF∥ CD,所以∠FEC=∠DCE=35°(两直线平行,内错角相等),所以∠BEC=∠FEB+∠ FEC=60°+35°=95°. =2 2+3 1 2=10S × × ×阴 =4 4=16S ×正ABCD ABCDS =10:16 5:8S =正阴:11 10.【答案】60°; 【解析】解:如图所示:∵l1∥l2,∠2=65°,∴∠6=65°,∵∠1=55°,∴∠1=∠4=55°,在△ABC 中,∠6=65°,∠4=55°,∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°. 11.【答案】20°; 【解析】根据题意画出示意图,可得:∠ABC=80°-60°=20°. 12.【答案】内错角相等,两直线平行; 13.【答案】①②③④; 【解析】由已知可证出:∠A=∠1=∠3=∠EDF,又∠EDF 与∠1 和∠3 互补. 三.解答题 14.【解析】 解:∠1=∠2.理由如下: ∵ AD⊥BC,EF⊥BC(已知),∴ ∠ADB=∠EFB=90°. ∴ AD∥EF(同位角相等,两直线平行), ∴ ∠1=∠4(两直线平行,同位角相等). 又∵ ∠3=∠C(已知), ∴ AC∥DG(同位角相等,两直线平行). ∴ ∠2=∠4(两直线平行,内错角相等), ∴ ∠1=∠2. 15.【解析】 解:如图,过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E. ∴ ∠A+∠2=180°,∠B+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补). 又∵ ∠3=∠1+∠C, ∴ ∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=360°, 即∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°.12 16.【解析】 解:(1)∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补); (2)过点 E 作一条直线 EF 平行于 AB, ∵AB∥CD, ∵AB∥EF,CD∥EF, ∴∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°, ∴∠1+∠2+∠3=360°; (3)过点 E、F 作 EG、FH 平行于 AB, ∵AB∥CD, ∵AB∥EG∥FH∥CD, ∴∠1+∠AEG=180°,∠GEF+∠EFH=180°,∠HFC+∠4=180°; ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°; (4)中,根据上述规律,显然作(n﹣2)条辅助线,运用(n﹣1)次两条直线平行,同旁 内角互补.即可得到 n 个角的和是 180°(n﹣1).

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