一元一次方程的解法（提高）知识讲解

1 一元一次方程的解法（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据； 2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想； 3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】 要点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍 数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加 上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括 号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边， 其他项都移到方程的另一边(记住移项 要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类 项 把方程化成 ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得 到方程的解 ． 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有 些步骤可以合并简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再 去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混 淆． 要点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是 绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方程化为 的形式，再分类讨论： (1)当 时，无解；（2）当 时，原方程化为： ；（3）当 时，原方 程可化为： 或 . 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为最简形式 ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1）当 a≠0 时， ；（2）当 a＝0，b＝0 时，x 为任意有理数；（3）当 a＝0，b≠0 时，方程无解． 【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程 bx a = ax b c+ = 0c < 0c = 0ax b+ = 0c > ax b c+ = ax b c+ = − bx a =2 1．（2014 秋•新洲区期末）关于 x 的方程 2x﹣4=3m 和 x+2=m 有相同的解，则 m 的值是 （　　） A.10 B.-8 C.-10 D.8 【答案】B． 【解析】 解：由 2x﹣4=3m 得：x= ；由 x+2=m 得：x=m﹣2 由题意知 =m﹣2 解之得：m=﹣8． 【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数． 举一反三： 【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正? 3x+2＝7x+5 解：移项得 3x+7x＝2+5，合并得 10x＝7．， 系数化为 1 得 ． 【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边 的 7x 移到方程左边应变为-7x，方程左边的 2 移到方程右边应变为-2． 正确解法： 解：移项得 3x-7x＝5-2， 合并得-4x＝3，系数化为 1 得 ． 类型二、去括号解一元一次方程 2. 解方程： ． 【答案与解析】 解法 1：先去小括号得： ． 再去中括号得： ． 移项，合并得： ． 系数化为 1，得： ． 解法 2：两边均乘以 2，去中括号得： ． 去小括号，并移项合并得： ，解得： ． 解法 3：原方程可化为： ． 去中括号，得 ． 7 10x = 3 4x = − 1 1 2[ ( 1)] ( 1)2 2 3x x x− − = − 1 1 1 2 2[ ]2 2 2 3 3x x x− + = − 1 1 1 2 2 2 4 4 3 3x x x− + = − 5 11 12 12x− = − 11 5x = 1 4( 1) ( 1)2 3x x x− − = − 5 11 6 6x− = − 11 5x = 1 1 2[( 1) 1 ( 1)] ( 1)2 2 3x x x− + − − = − 1 1 1 2( 1) ( 1) ( 1)2 2 4 3x x x− + − − = −3 移项、合并，得 ． 解得 ． 【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号， 但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法 3：方程 左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项 x 变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整 体运算． 3．解方程： ． 【答案与解析】 解法 1：(层层去括号) 去小括号 ． 去中括号 ． 去大括号 ． 移项、合并同类项，得 ，系数化为 1，得 x＝30． 解法 2：(层层去分母) 移项，得 ． 两边都乘 2，得 ． 移项，得 ． 两边都乘 2，得 ． 移项，得 ，两边都乘 2，得 ． 移项，得 ，系数化为 1，得 x＝30． 【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做． 举一反三： 5 1( 1)12 2x− − = − 11 5x = 1 1 1 1 1 1 1 1 02 2 2 2 x    − − − − =       1 1 1 1 1 1 1 02 2 4 2x   − − − − =     1 1 1 1 1 1 02 8 4 2x − − − − =   1 1 1 1 1 016 8 4 2x − − − − = 1 15 16 8x = 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 x    − − − =       1 1 1 1 1 1 22 2 2 x   − − − =     1 1 1 1 1 32 2 2 x   − − =     1 1 1 1 62 2 x − − =   1 1 1 72 2 x − =   1 1 142 x − = 1 152 x =4 【变式】解方程 ． 【答案】 解：方程两边同乘 2，得 ． 移项、合并同类项，得 ． 两边同乘以 3，得 ． 移项、合并同类项，得 ． 两边同乘以 4，得 ． 移项，得 ，系数化为 1，得 x＝5． 类型三、解含分母的一元一次方程 4．（2016 春•淅川县期中）解方程 ﹣ = ． 【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把 x 系数化为 1，即可求出 解． 【答案与解析】 解：原方程可化为 6x﹣ = ， 两边同乘以 6，得 36x﹣21x=5x﹣7， 移项合并，得 10x=-7 解得：x=﹣0.7． 【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知 数系数化为 1，求出解． 举一反三： 【变式】解方程 ． 【答案】 解：原方程可化为 ． 去分母，得 3(4y+9)-5(3+2y)＝15． 去括号，得 12y+27-15-10y＝15． 移项、合并同类项，得 2y＝3． 1 1 1 1 1 6 4 12 3 4 5 x    − − + =       1 1 1 1 6 4 23 4 5 x   − − + =     1 1 1 1 6 23 4 5 x   − − = −     1 1 1 6 64 5 x − − = −   1 1 1 04 5 x − =   1 1 05 x − = 1 15 x = 0.4 0.9 0.3 0.2 10.5 0.3 y y+ +− = 4 9 3 2 15 3 y y+ +− =5 系数化为 1，得 ． 类型四、解含绝对值的方程 5．解方程：3|2x|-2＝0 ． 【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求 x 的值． 【答案与解析】 解：原方程可化为： ． 当 x≥0 时，得 ，解得： ， 当 x＜0 时，得 ，解得： ， 所以原方程的解是 x＝ 或 x＝ ． 【总结升华】此类问题一般先把方程化为 的形式，再根据（ ）的正负分 类讨论，注意不要漏解． 举一反三： 【变式】（2014 秋•故城县期末）已知关于 x 的方程 mx+2=2（m﹣x）的解满足方程|x﹣ |=0， 则 m 的值为（　　） A. B. 2 C. D.3 【答案】B 解：∵|x﹣ |=0，∴x= ，把 x 代入方程 mx+2=2（m﹣x）得： m+2=2（m﹣ ）， 解之得：m=2. 类型五、解含字母系数的方程 6. 解关于 的方程： 【答案与解析】 解：原方程可化为： 当 ，即 时，方程有唯一解为： ； 当 ，即 时，方程无解． 【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式 ，再根据 系数 是否为零进 行分类讨论． 【高清课堂：一元一次方程的解法 388407 解含字母系数的方程】 举一反三： 【变式】若关于 x 的方程(k-4)x=6 有正整数解，求自然数 k 的值. 3 2y = 22 3x = 22 3x = 1 3x = 22 3x− = 1 3x = − 1 3 1 3 − ax b c+ = ax b+ x 1mx nx− = ( ) 1m n x− = 0m n− ≠ m n≠ 1x m n = − 0m n− = m n= ax b= x a6 【答案】 解：∵原方程有解，∴ 原方程的解为： 为正整数，∴ 应为 6 的正约数，即 可为：1，2，3，6 ∴ 为：5，6，7，10 答 ： 自 然 数 k 的 值 为 ： 5 ， 6 ， 7 ， 10. 4 0k − ≠ 6 4x k = − 4k − 4k − k7 【巩固练习】 一、选择题 1．（2015 秋•榆阳区校级期末）关于 x 的方程 3x+5=0 与 3x+3k=1 的解相同，则 k=（　　） A.-2 B. C.2 D. 2．下列说法正确的是( ) ． A．由 7x＝4x-3 移项得 7x-4x＝-3 B．由 去分母得 2(2x-1)＝1+3(x-3) C．由 2(2x-1)-3(x-3)＝1 去括号得 4x-2-3x-9＝4 D．由 2(x-1)＝x+7 移项合并同类项得 x＝5 3．将方程 去分母得到方程 6x-3-2x-2＝6，其错误的原因是( ) ． A．分母的最小公倍数找错 B．去分母时，漏乘了分母为 1 的项 C．去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误 D．去分母时，分子未乘相应的数 4．解方程 ，较简便的是( )． A．先去分母 B．先去括号 C．先两边都除以 D．先两边都乘以 5．小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ■，怎么办呢?小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是 ， 于是小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业．同学们，你们能补出这个常数吗?它应 是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 6.（2016 春•龙海市期中）已知 a≠1，则关于 x 的方程（a﹣1）x=1﹣a 的解是（　　） A．x=0 B．x=1 C．x=﹣1 D．无解 7. “ △ ” 表 示 一 种 运 算 符 号 ， 其 意 义 是 ， 若 ， 则 等 于 （ ）． A．1　　B． 　　　C． 　　 D．2　　 8.关于 的方程 无解，则 是（ ）． A．正数　　B．非正数　　　C．负数　　D．非负数　　 二、填空题 9.已知方程 ，那么方程的解是 . 　 4 3 4 3 − 2 1 313 2 x x− −= + 2 1 1 12 3 x x− −− = 4 5 30 75 4 x − =   4 5 4 5 1 12 2 2y y− = + 5 3y = 2a b a b∆ = − (1 3) 2x∆ ∆ = x 1 2 3 2 x (3 8 ) 7 0m n x+ + = mn | |x 2=8 10. 当 x= _____ 时，x－ 的值等于 2． 11．已知关于 x 的方程的 解是 4，则 ________． 12．若关于 x 的方程 ax+3=4x+1 的解为正整数，则整数 a 的值是 ． 13．（2014 秋•高新区校级期末）如果 5x+3 与﹣2x+9 是互为相反数，则 x﹣2 的值是　　． 14．a、b、c、d 为有理数，现规定一种新的运算： ，那么当 时，则 x＝______． 三、解答题 15．（2016 春•宜宾校级月考）解方程： （1）5x+3（2﹣x）=8 （2） =1﹣ （3） + = （4） [x﹣ （x﹣1）]= （x﹣1） 16. 解关于 的方程： ；（2） （3） 17.（2015•裕华区模拟）定义一种新运算“⊕”：a⊕b=a﹣2b，比如：2⊕（﹣3）=2﹣2× （﹣3）=2+6=8． （1）求（﹣3）⊕2 的值； （2）若（x﹣3）⊕（x+1）=1，求 x 的值． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C． 【解析】解第一个方程得：x=﹣ ， 解第二个方程得：x= ∴ =﹣ 解得：k=2. 2.【答案】A 【解析】由 7x＝4x-3 移项得 7x-4x＝-3；B． 去分母得 2(2x-1)＝ 6+3(x-3)；C．把 2(2x-1)-3(x-3)＝1 去括号得 4x-2-3x+9＝1；D．2(x-1)＝ x+7，2x-2＝x+7，2x-x＝7+2，x＝9 3．【答案】C 【解析】把方程 去分母，得 3(2x-1)-2(x-1)＝6，6x-3-2x+2＝6 与 3 1 x+ 3 32 2 xa x− = + 2( ) 2a a− − = a b ad bcc d = − 2 4 181 5x =− x ( )1 4 8x b ax+ = − ( 1) ( 1)( 2)m x m m− = − − ( 1)( 2) 1m m x m− − = − 2 1 313 2 x x− −= + 2 1 1 12 3 x x− −− =9 6x-3-2x-2＝6 相比较，很显然是符号上的错误． 4．【答案】B 【解析】 因为 与 互为倒数，所以去括号它们的积为 1. 5．【答案】B 【解析】设被污染的方程的常数为 k，则方程为 ，把 代入方程得 ，移项得 ，合并同类项得-k＝-2，系数化为 1 得 k＝2，故选 B． 6．【答案】C 【解析】解：∵a≠1， ∴在（a﹣1）x=1﹣a 中，x= ， 又∵a﹣1 和 1﹣a 互为相反数， ∴x=﹣1． 故选 C． 7．【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 可 得 ： “ △ ” 表 示 2 倍 的 第 一 个 数 减 去 第 二 个 数 ， 由 此 可 得 ： ，而 ，解得： 8．【答案】B 【解析】原方程可化为： ，将“ ”看作整体，只有 时原方程才无解，由此可得 均为零或一正一负，所以 的值应为非正 数． 二、填空 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】24 【解析】把 x＝4 代入方程，得 ，解得 a＝6，从而(-a)2-2a＝24． 12．【答案】2 或 3 【解析】由题意，求出方程的解为： , , ，因 为解为正整数，所以 ，即 或 ． 13.【答案】-6. 【解析】由题意得：5x+3+（﹣2x+9）=0， 解得：x=﹣4， 4 5 5 4 1 12 2 2y y k− = + 5 3y = 10 1 5 3 2 6 k− = + 5 1 10 6 2 3k− = + − 1 3 2 1 3 1∆ = × − = − (1 3) ( 1) 2 1 2x x x∆ ∆ = ∆ − = + = 1 2x = (3 8 ) 7m n x+ = − 3 8m n+ 3 8 0m n+ = ,m n mn 1 22 2x x= = −， 2 13=x 3 44 32 2a − = + 314 −=− xax 2)4( −=− xa 4 2 −−= ax 214a −−=− 或 2a = 310 ∴x﹣2=﹣6． 14．【答案】3 【解析】由题意，得 2×5-4(1-x)＝18，解得 x＝3． 三、解答题 15. 【解析】 解：（1）去括号得：5x+6﹣3x=8， 移项合并得：2x=2， 解得：x=1； （2）去分母得：3（2x﹣1）=12﹣4（x+2）， 去括号得：6x﹣3=12﹣4x﹣8， 移项合并得：10x=7， 解得：x=0.7； （3）方程整理得： + = ， 去分母得：15x+27+5x﹣25=5+10x， 移项合并得：10x=3， 解得：x=0.3； （4）去括号得： x﹣ （x﹣1）= （x﹣1）， 去分母得：6x﹣3（x﹣1）=8（x﹣1）， 去括号得：6x﹣3x+3=8x﹣8， 移项合并得：5x=11， 解得：x=2.2． 16. 【解析】 解：(1)原方程可化为： 当 时，方程有唯一解： ； 当 ， 时，方程无解； 当 ， 时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解． (2) 当 ，即 时，方程有唯一的解： ． 当 ，即 时，原方程变为 ．原方程的解为任意有理数，即有无穷 多解． (3) 当 时，原方程有唯一解： ； 当 时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解； 当 时，原方程无解． 17.【解析】 解：（1）根据题中的新定义得：原式=﹣3﹣4=﹣7； ( 4) 8a x b− = + 4a ≠ 8 4 bx a += − 4a = 8b ≠ − 4a = 8b = − ( 1) ( 1)( 2)m x m m− = − − 1 0m − ≠ 1m ≠ 2x m= − 1 0m − = 1m = 0 0x⋅ = ( 1)( 2) 1m m x m− − = − 1, 2m m≠ ≠ 1 2x m = − 1m = 2m =11 （2）已知等式变形得：x﹣3﹣2（x+1）=1， 去括号得：x﹣3﹣2x﹣2=1， 移项合并得：﹣x=6， 解得：x=﹣6．