整式的加减（二）—去括号与添括号（提高）知识讲解

1 整式的加减（二）—去括号与添括号（提高）知识讲解 【学习目标】 1．掌握去括号与添括号法则，注意变号法则的应用； 2. 熟练运用整式的加减运算法则，并进行整式的化简与求值． 【要点梳理】 【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号 388394 去括号法则】 要点一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 要点诠释： (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1 与括号内的各 项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1 与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符 号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一 定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 要点二、添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 要点诠释： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是 新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号的关系如下： 如： ， 要点三、整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字 母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 【典型例题】 类型一、去括号 1．（2015•泰安模拟）化简 m﹣n﹣（m+n）的结果是（　　） 　 A． 0 B． 2m C． ﹣2n D． 2m﹣2n 【答案】C 【解析】 解：原式=m﹣n﹣m﹣n=﹣2n．故选 C． 【总结升华】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，及熟练运用合并同类项的法则，其是各地中考的常 考点．注意去括号法则为：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣． 类型二、添括号 ( )a b c a b c+ − + − 添括号 去括号 ( )a b c a b c− + − − 添括号 去括号2 2．按要求把多项式 添上括号： (1)把含 a、b 的项放到前面带有“+”号的括号里，不含 a、b 的项放到前面带有“-”号的括号里； (2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号 里． 【答案与解析】 解：(1) ； (2) ． 【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号． 举一反三： 【变式】添括号： （1） ． （2） ． 【答案】(1) ； (2) ． 类型三、整式的加减 【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号 388394 典型例题 5】 3． ． 【答案与解析】 解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进 行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误． 答：所求多项式为 ． 【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． 举一反三： 【变式】化简： (1)15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3). (2)3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)]. (3)-3[(a2+1)- (2a2+a)+ (a-5)]. (4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}. 【答案】 解： (1) 15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3) 3 2 1a b c− + − 3 2 1 (3 2 ) ( 1)a b c a b c− + − = − − − + 3 2 1 (3 ) (2 1)a b c a c b− + − = + − + 2 2( ) 10 10 25 ( ) 10( ) 25x y x y x y+ − − + = + − + ( )( ) [ (_______)][ (_______)]a b c d a b c d a a− + − + − + = − + x y+ ,b c d b c d− + − + 3 2 4 3 24 5 3 4 8x x x x x x− + − − + −一个多项式加上 得 ，求这个多项式 4 3 2 3 2(3 4 8) (4 5)x x x x x x− − + − − − + 4 3 2 3 2 4 3 3 4 8 4 5 3 8 13. x x x x x x x x x = − − + − − + − = − + − 4 33 8 13x x x− + − 1 6 1 33 ＝15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2)-x3 ＝18-3x-x3.. ……整体合并，巧去括号 (2) 3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)] ＝3x2y-2x2z+(2xy-x2z+4x2y) ……由外向里，巧去括号 ＝3x2y-2x2z+2xyz-x2z+4x2y ＝7x2y-3x2z+2xyz. (3) . (4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]} ＝ab-4a2b+3a2b-2ab+a2b+3ab ……一举多得，括号全脱 ＝2ab. 类型四、化简求值 4.（2016 春•盐城校级月考）先化简，再求值：3x2y﹣[2x2﹣（xy2﹣3x2y）﹣4xy2]，其中|x|=2，y= ，且 xy＜0． 【思路点拨】原式去括号合并得到最简结果，利用绝对值的代数意义求出 x 的值，代入原式计算即可得到 结果． 【答案与解析】 解：原式=3x2y﹣2x2+xy2﹣3x2y+4xy2=5xy2﹣2x2， ∵|x|=2，y= ，且 xy＜0， ∴x=﹣2，y= ， 则原式=﹣ ﹣8=﹣ ． 【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当 x=…时， 原式=…. 举一反三： 【变式】（2015 春•万州区期末）先化简，再求值：﹣2x2﹣ [3y2﹣2（x2﹣y2）+6]，其中 x=﹣1， y=﹣ ． 【答案】 解：原式=﹣2x2﹣ y2+x2﹣y2﹣3=﹣x2﹣ y2﹣3， 当 x=﹣1，y=﹣ 时，原式=﹣1﹣ ﹣3=﹣4 ． 2 21 13[( 1) (2 ) ( 5)]6 3a a a a− + − + + − 2 213( 1) (2 ) ( 5)2a a a a= − + + + − − 2 2 13 3 52a a a a= − − + + − + 2 12 22a a= − − +4 5. 已知 3a2-4b2＝5，2a2+3b2＝10．求：(1)-15a2+3b2 的值；(2)2a2-14b2 的值． 【答案与解析】显然，由条件不能求出 a、b 的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形． 解：(1)-15a2+3b2＝-3(5a2-b2)＝-3[(3a2+2a2)+(-4b2+3b2)] ＝-3[(3a2-4b2)+(2a2+3b2)]＝-3×(5+10)＝-45； (2)2a2-14b2＝2(a2-7b2)＝2[(3a2-2a2)+(-4b2-3b2)] ＝2×[(3a2-4b2)-(2a2+3b2)]＝2×(5-10)＝-10． 【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整 体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简 便． 举一反三： 【变式】当 时，多项式 的值是 0，则多项式 ． 【 答 案 】 ∵ ， ∴ ， 即 ． ∴ ． 6. 已知多项式 与 的差的值与字母 无关，求代数式： 的值． 【答案与解析】 解： . 由于多项式 与 的差的值与字母 无关，可知： ， ，即有 . 又 , 将 代入可得： . 【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母 x 无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含 “x”的项，所以合并同类项后，让含 x 的项的系数为 0 即可． 类型五、整式加减运算的应用 7.有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽 60 厘米， 用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为 10 厘米， 那么 n(n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 ( ) ． A．60n 厘米 B．50n 厘米 C．(50n+10)厘米 D．(60n-10)厘米 【答案】C. 2m π= 3 1am bm+ + 3 14 5 _____2a bπ π+ + = 3(2 ) 2 1 0a bπ π+ + = 3 38 2 1 2(4 ) 1 0a b a bπ π π π+ + = + + = 3 14 2a bπ π+ = − 3 1 1 14 5 5 52 2 2a bπ π+ + = − + = 2x ax y b+ − + 2 3 6 3bx x y− + − x 2 2 2 23( 2 ) (4 )a ab b a ab b− − − + + 2 2 2( 3 6 3) (1 ) ( 3) 7 ( 3)x ax y b bx x y b x a x y b+ − + − − + − = − + + − + + 2x ax y b+ − + 2 3 6 3bx x y− + − x 1 0b− = 3 0a + = 1, 3b a= = − 2 2 2 2 2 23( 2 ) (4 ) 7 4a ab b a ab b a ab b− − − + + = − − − 1, 3b a= = − 2 2( 3) 7 ( 3) 1 4 1 8− − − × − × − × =5 【解析】观察上图，可知 n 块石棉瓦重叠的部分有(n-1)处，则 n 块石棉瓦覆盖的宽度为：60n-10(n-1)＝ （50n+10）厘米． 【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为 10 厘米这一已知条件，一不小心就可 能弄错． 举一反三： 【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 9 和 a2(a＞0)．那么阴影部分的面积为 ________． 【答案】3a-a2 提示：由图形可知阴影部分面积＝长方形面积 ，而长方形的长为 3+a，宽为 3，从而使问题获 解．【巩固练习】 一、选择题 1．（2014•新泰市校级模拟）下列各式中去括号正确的是（　　）. A. a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a﹣b2+b B. ﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2 C. 2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+5 D. ﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3+4a2﹣1+3a 2. 已知一个多项式与 3x2+9x 的和等于 3x2+4x-1，则这个多项式是( ) ． A．-5x-1 B．5x+1 C．-13x-1 D．13x+1 3．代数式 的值( )． A．与 x，y 都无关 B．只与 x 有关 C．只与 y 有关 D．与 x、y 都有关 4.如果 ，那么代数式 的值为（ ）． A. 6 B.8 C. -6 D. -8 5.化简 5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）之后，可得下列哪一个结果（　　）． A. 2x﹣27 B. 8x﹣15 C. 12x﹣15 D. 18x﹣27 6. 已知有理数 在数轴上的位置如图所示，且 ，则代数式 的值为 （ ）． A. B . 0 C. D. 7.（2016 春•钦州期末）﹣[x﹣（y﹣z）]去括号后应得（　　） A．﹣x+y﹣z B．﹣x﹣y+z C．﹣x﹣y﹣z D．﹣x+y+z 8.如果对于某一个特定范围内 的任意允许值， 的值恒为一 个常数，则此值为 （ ）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 2 9a− − 2 3 3 2 3 33 {10 (6 3 )} 6 7 2x y x x y x y x y x− − − + − + − 2 1 0x x+ − = 3 22 7x x+ − , ,a b c a b= a c a c b b− − + − − − 2c− 2c 2 2 2a b c− + x 1 2 1 3 ... 1 9 1 10P x x x x= − + − + + − + −6 9． ． 10. 如图所示是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个基础图形组成，第 2 个图案由 7 个基础图形组 成，…，第 n(n 是正整数)个图案中由________个基础图形组成． 11．（2014•阜宁县模拟）计算：2（a﹣b）+3b=　 　． 12. 当 时，代数式 的值等于-17，那么当 时，代数式 的值等于 ． 13. 有理数 a,-b 在数轴上的位置如图所示，化简 = ． 14. 任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被______整除. 三、解答题： 15.（2016 春•顺义区期末）计算：（2mn﹣m2+n2）+（m2﹣n2+mn）. 16.已知：ax2+2xy-x 与 2x2-3bxy+3y 的差中不含 2 次项，求 a2-15ab+9b2 的值. 17.（2015•宝应县校级模拟）先化简，再求值： （﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中 x= ，y=2012． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D. 【解析】A、a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a+b2﹣b，故本选项错误； B、﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x﹣y+x2﹣y2，故本选项错误； C、2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+15，故本选项错误； D、﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3﹣[﹣4a2+1﹣3a]=﹣a3+4a2﹣1+3a，故本选项正确． 2．【答案】A 【解析】(3x2+4x-1)-(3x2+9x)＝3x2+4x-1-3x2-9x＝-5x-1． 3．【答案】B 【解析】合并同类项后的结果为 ，故它的值只与 有关． 4．【答案】C 【解析】 ， ． 5. 【答案】D 【解析】5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）=5（2x﹣3）+4（2x﹣3）=9（2x﹣3）=18x﹣27． 6．【答案】A ( ) ( )1 a b c d a− + − = − ； ( ) ( )2 2 ;x y z+ − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 23 ; 4 a b a b a b a b a b a a− + − = − + − − − = − − 2=x 13 +− bxax 1−=x 5312 3 −− bxax abb 322231 −++−− 33 2x− − x 2 1x x+ = 3 2 2 2 22 7 ( ) 7 7 1 7 6x x x x x x x x+ − = + + − = + − = − = −7 【解析】由图可知： ， 所以 ． 7．【答案】A 【解析】解：﹣[x﹣（y﹣z）] =﹣（x﹣y+z） =﹣x+y﹣z． 故选：A． 8．【答案】B 【解析】 值恒为一常数，说明原式去绝对值后不含 项，进而可得下图： 由此得：P = ． 二、填空题 9. 【答案】 10. 【答案】3n+1 【解析】第 1 个图形由 3×1+1＝4 个基础图形组成；第 2 个图形由 3×2+1＝7 个基础图形组成；第 3 个图形由 3×3+1＝10 个基础图形组成，故第 n 个图形由(3n+1)个基础图形组成． 11. 【答案】2a+b 【解析】原式=2a﹣2b+3b=2a+b. 12．【答案】 22 【解析】由题意可得： ，即有 . 又因为 . 13．【答案】 【解析】 ，所以原式= . 14．【答案】9 【解析】设任意一个的三位数为 a×102+b×10+c.其中 a 是 1～9 的正整数，b,c 分别是 0～9 的自然 数. ∵(a×102+b×10+c)-(a+b+c)=99a+9b=9(11a+b)=9m. (用 m 表示整数 11a+b) . ∴任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被 9 整除. 三、解答题 15．【解析】 解：原式=2mn﹣m2+n2+m2﹣n2+mn =3mn． 16. 【解析】 解： (ax2+2xy-x)-(2x2-3bxy+3y)=ax2+2xy-x-2x2+3bxy-3y=(a-2)x2+(2+3b)xy-x-3y. ∵此差中不含二次项， 0a c b< < < ( ) ( ) 2a c a c b b a c a b c b c− − + − − − = − − − + − − = − P x (1 2 ) (1 3 ) ... (1 7 ) (8 1) (9 1) (10 1) 3x x x x x x− + − + + − + − + − + − = 2; 2 ; ;b c d x y z a b b b− + − − + − + 8 2 1 17a b− + = − 4 9a b− = − 12 3 5 3(4 ) 5 3 ( 9) 5 22a b a b− + − = − − − = − × − − = 7a3b −+ 3, 3b b− < − > 3 1 2(2 ) (3 2) 3 7b b a b a− − + + − = + −8 解得： 当 a=2 且 3b= -2 时， a2-15ab+9b2=a2-5a(3b)+(3b)2=22-5×2×(-2)+(-2)2=4+20+4=28. 17.【解析】 解：原式=﹣x2+ x﹣2y+x+2y=﹣x2+ x， 当 x= ，y=2012 时，原式=﹣ + = ． 2 0, 2 3 0. a b − =  + = 2 , 3 2. a b =  = −