知识讲解 重力势能、机械能守恒定律（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 1 物理总复习：重力势能、机械能守恒定律 【考纲要求】 1、理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算； 2、理解重力势能的变化和重力做功的关系；知道重力做功与路径无关； 3、掌握机械能守恒的条件，掌握应用机械能守恒定律分析、解决问题的基本方法； 4、掌握验证机械能守恒定律的实验方法。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、势能 1、势能 　　与相互作用的物体的相对位置有关的能量叫做势能。包括重力势能、弹性势能以及分子 势能等。 2、重力势能 　　由物体所处位置的高度决定的能量称为重力势能，物体的质量越大，高度越高，它的重 力势能越大。 要点诠释：（1）计算公式为 ，其中 h 为相对于参考平面的高度，重力势能是相 对的。同一物体相对不同的参考平面的重力势能不同，其值可能为正，也可能为负，也可能 为零。　　 pE mgh= 让更多的孩子得到更好的教育 2 （2）重力做功与重力势能的关系可表示为 ，即重力对物体做了多少正功，物体 的重力势能就减少多少；反之，重力做了多少负功，物体的重力势能就增加多少。 （3） ，h 为物体重心到零势面的高度。当物体离地很高时，重力加速度变小，公 式 不再适用，而应引入引力势能。 3．弹性势能 　　发生形变的物体，在恢复原状时都能够对外界做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性 势能。弹性势能的大小跟形变量的大小有关系。弹性势能的表达式是 。 考点二、机械能守恒定律 1．机械能 　　动能和势能统称为机械能，即 。 2．机械能守恒定律 　　在只有重力（和系统内弹簧弹力）做功的情形下，动能和重力势能（及弹性势能）发生 相互转化，而总的机械能保持不变。 要点诠释：（1）判断重力（弹簧的弹力）以外的力是否对物体做功，如果重力（弹簧的弹 力）以外的力对物体系统不做功，则物体系统的机械能守恒，否则，机械不能守恒。 　　一般情况下，能使用机械能守恒定律来解决的问题，动能定理一定能解决，这也是动能 定理的一个优越性。 　（2）机械能守恒定律的表达式： 一般有三种：①系统初态的总机械能 等于末态的总机械能 ， ② 系统减少的总重力势能等于系统增加的总动能，即 ③ 若系统只有 A、B 两物体，则 A 减少的机械能 等于 B 增加的机械能 ，即 考点三、验证机械能守恒定律 实验目的：　验证机械能守恒定律 实验器材：　铁架台（带铁夹）、打点（或电火花）计时器、重锤（带纸带夹子）、纸带数条、 复写纸片、导线、毫米刻度尺、低压交流电源 实验原理：　在只有重力做功的条件下，物体的重力势能和动能可以相互转化，但总的机械 能守恒。 要点诠释：（1）物体做自由落体运动，设物体的质量为 m，下落 h 高度时的速度为 ，则 势能的减少量为 ，动能的增加量为 。如果 即 ，就验证了 机械能守恒定律。 　　（2）速度的测量：做匀变速运动的纸带上某点的瞬时速度等于相邻两点间的平均速度 。计算打第 n 个点瞬时速度的方法是：测出第 n 个点的相邻前后两段相等时间 T 内 下落的距离 和 ，由公式 或 算出，如图所示。 G pW E= −∆ pE mgh= pE mgh= 21 2pE kx= k pE E E= + 1E 2E 2 21 1 2 2mgh mv mgh mv′ ′+ = + =p kE E∆ ∆减 增 AE∆ 减 BE∆ 增 =A BE E∆ ∆减 增 v mgh 21 2 mv 21 2mgh mv= 21 2gh v= 2ttv v= nx 1nx + 1 2 n n n x xv T ++= 1 1 2 n n n h hv T + −−= 让更多的孩子得到更好的教育 3 　　　 （3）做 图像，斜率为 。如果做 图像，斜率为 。 （4）误差分析： 主要是打点计时器限位孔与纸带间的摩擦阻力，还有空气阻力。此外还有其它系统误差 和偶然误差。 【典型例题】 类型一、机械能守恒的判断 判断机械能守恒时，对单个物体就看是否只有重力做功，并非只受重力，虽受其它力，但不 做功或做功代数和为零。对两个或几个物体组成的系统，判断其机械能守恒时，就看是否只 有重力或系统内弹力做功，若有其它外力或内力做功（如内部有摩擦等），则系统机械能不 守恒。 　　例 1、（2015 全国Ⅱ卷）如图，滑块 a、b 的质量均为 m，a 套在固定直杆上，与光滑 水平地面相距 h，b 放在地面上，a、b 通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b 可视为质 点，重力加速度大小为 g。则 A. a 落地前，轻杆对 b 一直做正功 B. a 落地时速度大小为 C. a 下落过程中，其加速度大小始终不大于 g D. a 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为 mg 【答案】BD 2v h− 2g 2 2 v h− g 2gh 让更多的孩子得到更好的教育 4 【解析】因为杆对滑块 b 的限制，a 落地时 b 的速度为零，所以 b 的运动为先加速后减 速，杆对 b 的作用力对 b 做的功即为 b 所受合外力做的总功，由动能定理可知，杆对 b 先做 正功后做负功，故 A 错。对 a、b 组成的系统应用机械能守恒定律有： ， ，故 B 正确；杆对 a 的作用效果为先推后拉，杆对 a 的作用力为拉力时，a 下 落过程中的加速度大小会大于 g，即 C 错；由功能关系可知，当杆对 a 的推力减为零的时 刻，即为 a 的机械能最小的时刻，此时杆对 a 和 b 的作用力均为零，故 b 对地面的压力大小 为 mg，D 正确。 【总计升华】本题综合性很强，对分析推理能力要求较高，难度较大。从知识层面看， 本题考查了受力分析、牛顿第二定律、功、动能定理、机械能守恒定律。而分析滑块 b 的速 度变化，是解决本题的关键。 考点：机械能守恒定律；运动的合成与分解 举一反三 【变式】如图所示， ，滑轮光滑，且质量不计，在 下降阶段（不计空气阻力） 的过程中，下列说法正确的是（ ） A． 的机械能守恒 B． 的机械能守恒 　　C． 和 的机械能减少 D． 和 的机械能守恒 【答案】D 【解析】 、 除受重力外，分别还有绳的拉力，在 下降时，拉力对 做负功，在 上升时，拉力对 做正功，故 、机械能不守恒，A、B 错。将 和 视为一个系 统，绳的拉力对 、 做功之和为零，只有重力做功，故 和 的总机械能守恒，D 对。 类型二、机械能守恒定律的基本应用 21 2 amgh mv= 2av gh= 1 2m m> 1m 1m 2m 1m 2m 1m 2m 1m 2m 1m 1m 2m 2m 1m 2m 1m 2m 1m 2m 1m 2m 让更多的孩子得到更好的教育 5 1、各种落体、抛体运动： 　　自由落体运动、竖直上抛运动、竖直下抛运动、平抛运动、斜抛运动等各种运动模型都 是忽略空气阻力的，只有重力做功，机械能守恒。解题时一般根据两个状态的机械能相等列 方程。 例 2、一人在离地 25 米高的房顶以初速度 =20m/s 斜向上与水平方向夹角为 45 度角 抛出一小球，问小球落地时的速度多大？( 不计空气阻力，g 取 10m/s2 ) 【思路点拨】理解机械能守恒的条件，正确描写初态、末态的机械能。 【答案】 【解析】小球的机械能守恒，取地面为零势面， 初态的机械能 末态的机械能 根据机械能守恒定律 解得 【总计升华】本题是斜抛，如果其它条件不变，平抛、竖直下抛小球落地的速度大小显然是 相等的。对平抛运动，如果只要求速度的大小，解题方法首选用机械能守恒定律。 举一反三 【变式】一物体自高为 H 处自由下落，一段时间之后物体的动能是重力势能的 3 倍，求这 时物体离地面的高度 h 和速度 。　 【答案】 【解析】取地面为零势能面。设这时物体的高度为 h ，重力是能为 根据题意物体的动能为 ，物体机械能守恒 初态的机械能 末态的机械能 根据机械能守恒定律 解得 即物体离地面的高度。 再求速度：重力势能是动能的三分之一，要用动能表示 根据机械能守恒定律 解得 2、沿光滑斜面（曲面、圆周）运动问题 0v 10 3 /v m s= 2 1 0 1 2E mgh mv= + 2 2 1 2E mv= 1 2E E= 2 2 0 1 1 2 2mgh mv mv+ = 2 0 2 900 / 10 3 /v v gh m s m s= + = = v 1 4h H= 3 2 gHv = mgh 3mgh 1E mgH= 2 3E mgh mgh= + 3mgH mgh mgh= + 1 4h H= 2 21 1 1 3 2 2mgH mv mv= × + 3 2 gHv = 让更多的孩子得到更好的教育 6 一个物体从同一高度分别沿三个不同的光滑表面下滑到底端时速度的大小如何？ 根据机械能守恒定律 大小相等。 例 3、一小球沿光滑斜轨道静止起下滑，到底端时滑入一半径为 R 的光滑圆轨道，如图 示。若小球能通过其最高点，则小球开始下滑时的高度 H 满足什么条件？ 【思路点拨】正确描写初态、末态的机械能。理解“小球能通过其最高点”的意义是：支持 力为零，只有重力提供向心力。 【答案】 【解析】全过程只有重力做功机械能守恒。 取水平面为 EP=0，下滑点为初位置，最高点为末位置。 (1) 小球能通过其最高点的意思是：支持力为零，只有 重力提供向心力 (2) 由(2)求得 代入 (1) 解得 这是最小高度 ∴ 【总计升华】小球恰能通过最高点的最小速度是 ，切不要认为是零。 3、弹簧滑块问题 （更多的是与动量守恒定律综合） 例 4、如图所示，轻质弹簧的一端与墙相连，质量为2kg 的滑块以5m/s 的速度沿光滑平 面运动并压缩弹簧，求：（1）弹簧在被压缩过程中最大的弹性势能 （2）当木块的速度减为2 m/s 时，弹簧具有的弹性势能。 21 2mgh mv= 2v gh= H R 1 2 2.5H R≥ 2 2 12 mvRmgmgH += 2vmg m R = v gR= 2.5H R= 2.5H R≥ v gR= 让更多的孩子得到更好的教育 7 【思路点拨】正确描写初态、末态的机械能。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）滑块和弹簧组成的系统只有弹力做功，机械能守恒，当弹簧压缩到最短时，弹 性势能最大，滑块的动能最小为零，此时滑块的动能全部转化为弹性势能， 所以最大弹性势能： （2）根据机械能守恒 解得此时弹性势能： 【总计升华】解这类题时仍然用初态、末态的机械能相等列方程。 4、曲线运动（摆、圆周运动）问题 【高清课堂：重力势能、机械能守恒定律例 4】 例 5、如图所示，把小球拉起使悬线呈水平状态后，无初速地释放小球。球运动到最低 点时绳碰到钉子 A，AO 是整个绳长的 2/3，以下说法正确的是( ) A．碰到钉子 A 后悬线对球的拉力是碰到钉子前的 3 倍 B．碰到钉子 A 后小球的速度是碰到钉子前的 3 倍 C．碰到钉子前后的瞬间小球的机械能保持不变 D．碰到钉子 A 以后小球将能越过最高点 【思路点拨】物理过程分析、正确描写初态、末态的机械能，根据机械能守恒定律列方程求 解。 【答案】CD 【解析】 根据机械能守恒定律， 球运动到最低点时的速度 没有碰钉子时绳的拉力 碰到钉子后半径为 绳的拉力 求得 选项 A、B 不对。 绳子拉力不做功，机械能守恒，C 对。 根据机械能守恒定律求出最高点的速度 25pmE J= 21pE J= 2 0 1 252pmE mv J= = 2 2 0 1 1 2 2 pmv mv E= + 21pE J= O A 2 2v gL= 2 1 vF mg m L − = 1 3F mg= 1 3 L 2 2 1 3 vF mg m L − = 2 7F mg= v′ 让更多的孩子得到更好的教育 8 碰到钉子 A 以后小球能越过最高点时的最小速度为 解得 小球能越过最高点 D 对。 举一反三 【变式】把一小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆（如图）。摆长为 L，最大偏角为θ。小 球运动到最低位置时的速度是多大？ 【答案】 【解析】 用牛顿第二定律无法解决，但它满足机械能守恒定律的条件，可应用机械能守恒 定律求解。 选择小球在最低点位置时所在的平面为参考平面，小球在最高点为初状态，最低点为末 状态。 初状态与末状态的高度差为 初状态小球的机械能为 末状态小球的机械能为 根据机械能守恒定律有： 即 所以 【总计升华】要正确计算初状态与末状态的高度差。这是“摆”这类模型的基本处理方法， 要会正确、熟练应用。可以继续求解在最低点绳子对小球的拉力（已知小球的质量为 ）。 5、连接体问题（两物体用细绳连接通过光滑定滑轮、光滑半圆面，链条等） 例 6、一根长细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别拴质量为 M 和 m 的长方形物块，且 M>m， 开始时用手握住 M，使系统处于如图所示的状态，求： （1）当 M 由静止释放下落 h 高时的速度（h 远小于半绳长，绳与 滑轮的质量不计）。 （2）如果 M 下降 h 刚好触地，那么 m 上升的总高度是多少？ 2 21 1 122 2 3mv mv mg L′= + × × 2 4 3v gL′ = 4 3v gL′ = minv 2 min 13 vmg m= min 1 3v gL= min 4 3v gL v′ = > 2 (1 cos )v gL θ= − cos (1 cos )h L L Lθ θ= − = − 1 (1 cos )E mgh mgL θ= = − 2 2 1 2E mv= 1 2E E= 21(1 cos ) 2mgL mvθ− = 2 (1 cos )v gL θ= − m 让更多的孩子得到更好的教育 9 　 【思路点拨】对连接体问题，两物体速度大小相等，根据机械能守恒定律求出速度，M 落 地，m 以上面求出的速度继续上升，总高度等于 h 加上继续上升的高度。 【答案】（1） （2） 【解析】因只有重力做功，故 M、m 构成的系统机械能守恒，利用机械能守恒定律来解决 此问题。（1）M、m 构成的系统机械能守恒： 重力势能减少了 动能增加了 （两物体速度大小相等） 根据机械能守恒定律 解得 （2）M 触地， 以速度 做竖直上抛运动，只受重力，机械能守恒： 上升的总高度： 。 【总计升华】增加量、减少量确实不好计算，大家可以根据自己的理解用动能定理列方程。 举一反三 【变式 1】如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球 a 和 b。a 球质量为 m，静置于地面；b 球质量为 3m，用手托往，高度为 h，此时轻绳刚好拉紧。 从静止开始释放 b 后，a 可能达到的最大高度为（ ） A. h B. 1.5h C. 2h D. 2.5h 【答案】B 【解析】 b 落地后，a 以速度 做竖直上抛运动 ， a 可能达到的最大高度为 【高清课堂：重力势能、机械能守恒定律例 1】 2( )M m ghv M m −= + 2MH hM m = + =p kE E∆ ∆减 增 Mgh mgh− 21 ( )2 M m v+ 21 ( )2Mgh mgh M m v− = + 2( )M m ghv M m −= + m v 21 2 mv mgh′= M mh hM m −′ = + m 2MH h h hM m ′= + = + 21(3 ) 42mg mg h mv− = × 2v gh= v 2 0.52 vh hg ′ = = 1.5H h h h′= + = 让更多的孩子得到更好的教育 10 【变式 2】如图、一根长为 l、质量为 m 的绳子搭在光滑的桌子上，绳子一半垂在桌面以下。 在受到一扰动后从桌边下滑，则绳子离开桌边时的速度为__________。 【答案】 【解析】 取桌面为重力势能参考平面， （ 注意重心的位置） 桌面下一半绳长（ ）具有的重力势能为 （重心在桌面下 的位置） 刚要离开桌面时（ ）具有的重力势能为 （ 重心在桌面下 的位置） 重力势能减少量为 重力势能减少量等于动能的增加量 解得 类型三、验证机械能守恒定律 例 7、使用电火花计时器做如下实验。甲同学使用如图 1 所示的装置来验证“机械能守 恒定律” （1）下面是操作步骤 . 按图 1 安装器材； . 松开纸带，使重锤带动纸带下落； . 接通电火花计时器，使计时器开始工作； . 进行数据处理； . 根据需要在纸带上测量数据。 把以上必要的操作步骤按正确的顺序排列______________________________。 　　 （2）电火花计时器接在频率为 50 的交流电源上，图（2）为实验中打出的一条纸带， 从起始点 O 开始，将此后连续打出的 7 个点依次标为 A、B、C、D…… gl4 3 1 2 m 1 1 1 2 4pE mg l= − × 4 l m 2 2p lE mg= − 2 l 3 8pE mgl∆ = 23 1 8 2mgl mv= 3 4v gl= a b c d e Hz 让更多的孩子得到更好的教育 11 电火花计时器打 F 点时，重锤下落的速度为______ 。（保留到小数点后两位） （3）如果已知重锤的质量为 0.5kg，当地的重力加速度为 。从打 O 点到打 F 点的过程中，重锤重力势能减少量为____________J，重锤动能的增加量为________J。（保 留到小数点后两位） 【思路点拨】熟悉实验步骤、实验原理，实验数据处理：纸带数据分析计算速度，误差分析， 动能总小于重力势能的原因，图像处理（坐标轴、截距、斜率）。 【答案】 （1） 、 、 、 、 。 （2）1.15（1.14-1.16） （3）0.35（0.34-0.35） 0.33（0.32-0.33） 【解析】（1）注意先接通电源再松开纸带，顺序为 、 、 、 、 。 （2）F 点的瞬时速度等于 EG 段的平均速度 重锤重力势能减少量 重锤动能的增加量 【总计升华】计算重力势能减少量和动能的增加量要用同一点的；重力势能减少量一定大于 动能的增加量，因为要克服阻力做功，一是纸带与计时器限位孔之间有摩擦，二是有空气阻 力。 举一反三 【变式】（2016 北京卷）利用图 1装置做“验证机械能守恒定律”实验． ①为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的________． A．动能变化量与势能变化量 B．速度变化量和势能变化量 C．速度变化量和高度变化量 ②除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列 器材中，还必须使用的两种器材是________． A．交流电源 B．刻度尺 C．天平(含砝码) /m s 29.80 /m s a c b e d a c b e d 29.5 4.9 10 / 1.15 /2 0.02Fv m s m s−−= × =× 20.5 9.8 7.05 10 0.35p FE mgh J J−∆ = = × × × = 2 21 1 0.5 1.15 0.332 2k FE mv J J∆ = = × × = 让更多的孩子得到更好的教育 12 ③实验中，先接通电源，再释放重物，得到图 1所示的一条纸带．在纸带上选取三个连 续打出的点 A、B、C，测得它们到起始点 O 的距离分别为 hA、hB、hC. 已知当地重力加速度为 g，打点计时器打点的周期为 T.设重物的质量为 m.从打 O 点到 打 B 点的过程中，重物的重力势能变化量 ΔEp＝________，动能变化量 ΔEk＝________． 图 1 ④大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是 ________． A．利用公式 v＝gt 计算重物速度 B．利用公式 计算重物速度 C．存在空气阻力和摩擦阻力的影响 D．没有采用多次实验取平均值的方法 ⑤某同学用下述方法研究机械能是否守恒：在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始 点 O 的距离 h，计算对应计数点的重物速度 v，描绘 v2-h 图像，并做如下判断：若图像是一 条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒，请你分析论证该同学的判断依据是否正 确． 【答案】①A　②AB　③－mghB　 　④C ⑤ 该 同 学 的 判 断 依 据 不 正 确 ． 在 重 物 下 落 h 的 过 程 中 ， 若 阻 力 f 恒 定 ， 有 解得 .由此可知，v 2-h 图像就是过原点的一条直 线．要想通过 v2-h 图像的方法验证机械能是否守恒，还必须看图像的斜率是否接近 2g 【解析】①由机械能守恒定律可知，动能的减少量和重力势能的增加量相等，选项 A 正确． ②需要用低压交流电源接电磁打点计时器，需要用刻度尺测量纸带上点迹间距离．选择 A、B. ③ΔEp＝－mghB， 由匀变速直线运动规律可知， 代入可得， ④由于空气阻力和摩擦阻力的影响，有一部分重力势能会转化为热能．选项 C 正确． 2v gh= 21 2 2 C Ah hm T −     21 02mgh fh mv− = − 2 2 fv g hm  = −   21 2k BE mv∆ = 2 C A B h hv T −= 21 2 2 C A k h hE m T − ∆ =    让更多的孩子得到更好的教育 13 【巩固练习】 一、选择题 1、先后将质量为 的物体由静止开始沿同一粗糙的固定斜面由底端拉至顶端，两次所用时 间相同，第一次力 沿斜面向上，第二次力 沿水平方向．则两个过程（ ） 　　A．合外力做的功相同 　　B．物体机械能变化量相同 　　C． 做的功与 做的功相同 　　D． 做功的功率比 做功的功率大 2、(2014 衡水模拟) 如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为 m 的圆环，圆环与一 橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的 A 点，橡皮绳竖直时长度为 h，处于原长状态。 让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零，则在圆环下滑过程中(　　) A. 圆环机械能守恒 B. 橡皮绳的弹性势能一直增大 C. 橡皮绳的弹性势能增加了 mgh D. 橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大 3、如图所示，一轻弹簧直立于水平地面上，质量为 m 的小球从距离弹簧上端 B 点 h 高处的 A 点自由下落，在 C 点处小球速度达到最大。x0 表示 B、C 两点之间的距离；Ek 表示小球在 C 点处的动能。 若改变高度 h，则下列表示 x0 随 h 变化的图像和 Ek 随 h 变化的图像中正确的是(　　) m 1F 2F 1F 2F 1F 2F 让更多的孩子得到更好的教育 14 4、两物体质量之比为 1：3，它们距地面的高度比也为 1：3，让它们自由落下，它们落地时 的动能之比为 （ ） A.1：3 B.3：1 C.9：1 D.1：9 5、如图所示，桌面高为 h，质量为 m 的小球从离地面高 H 处自由下落，不计空气阻力。取 桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前一瞬间的机械能为（　 ） A. mgh　 B. -mgh　 　C. mgH　 D. mg(H-h) 6、如图所示,在高为 H 的桌面上以速度 水平抛出质量为 m 的物体.当物体落到距地面高为 h 的 A 点时,正确的说法是(不计空气阻力,以地面为参考平面) （ ) A.物体在 A 点的机械能为 B.物体在 A 点的机械能为 C.物体在 A 点的动能为 D.物体在 A 点的动能为 7、一个物体从距离地面 h 高处自由下落，当它的动能与其重力势能相等时，下落的时间为 （　） A.  B. C. D. v 21 2 mv mgh+ 21 2mgH mv+ 21 2 mv mgh+ 21( ) 2mg H h mv− + 2h g h g 2 h g 2 3 h g 让更多的孩子得到更好的教育 15 8、如图所示一长 L 的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小的扰动使得链条向 一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时的速度大小为（　） A. B. C. D. 9、如图所示，轻质弹簧长为 L，竖直固定在地面上，质量为 m 的小球，在离地面高度为 H 处，由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为 。在下落过程中，小球受 到的空气阻力恒为 ，则弹簧在最短时，具有的弹性势能为（ ） 　　A． 　　B． 　　C． 　　D． 10、如图，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的过程中，下列关 于能量的叙述中正确的是（ ） 　　A、重力势能和动能之和保持不变 　　B、重力势能和弹性势能之和先减小后增加 　　C、动能和弹性势能之和先增加后减小 　　D、重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变 2gL gL 2 gL 1 2 gL x f ( )( )mg f H L x− − + ( ) ( )mg H L x f H L− + − − ( )mgH f H L− − ( ) ( )mg L x f H L x− + − + 让更多的孩子得到更好的教育 16 二、填空题 1、如图所示，电动机带动绷紧的传送皮带，始终保持 v0=2m/s 的速度运行。传送带与水平 面的夹角为 300。先把质量为 m=10㎏的工件轻放在皮带的底端，经一段时间后，工件被传 送到高 h=2m 的平台上。则在传送过程中产生的内能是______J，电动机增加消耗的电能是 _____J。（已知工件与传送带之间的动摩擦因数 μ= ，不计其他损耗，取 g=10m/s2） 2、如图所示，倔强系数为 k1 的轻质弹簧两端分别与质量为 m1、m2 的物块 1、2 拴接，倔强 系数为 k2 的轻质弹簧上端与物块 2 拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状 态。现施力将物块 1 缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中， 物块 2 的重力势能增加_________，物块 1 的重力势能增加了_________。 3、如图所示，光滑半圆上有两个小球，质量分别为 m 和 M，由细绳挂着，今由静止开始释 放，求小球 m 至 C 点时的速度。 　 4、（2016 江苏卷）某同学用如图 1所示的装置验证机械能守恒定律．一根细线系住钢球， 悬挂在铁架台上，钢球静止于 A 点，光电门固定在 A 的正下方．在钢球底部竖直地粘住一 片宽度为 d 的遮光条．将钢球拉至不同位置由静止释放，遮光条经过光电门的挡光时间 t 可 由计时器测出，取 作为钢球经过 A 点时的速度．记录钢球每次下落的高度 h 和计时器 示数 t，计算并比较钢球在释放点和 A 点之间的势能变化大小 ΔEp 与动能变化大小 ΔEk，就 能验证机械能是否守恒． dv t = 2 3 · · 300 m v0 h 1 2 m1 m2 k1 k2 让更多的孩子得到更好的教育 17 (1)用 ΔEp＝mgh 计算钢球重力势能变化的大小，式中钢球下落高度 h 应测量释放时的 钢球球心到________之间的竖直距离． A．钢球在 A 点时的顶端 B．钢球在 A 点时的球心 C．钢球在 A 点时的底端 (2)用 计算钢球动能变化的大小，用刻度尺测量遮光条宽度，示数如图 2所 示，其读数为________cm.某次测量中，计时器的示数为 0.0100s，则钢球的速度为 v＝ ________m/s. (3)下表为该同学的实验结果： ΔEp/(10－2 J) 4.892 9.786 14.69 19.59 29.38 ΔEk/(10－2 J) 5.04 10.1 15.1 20.0 29.8 他发现表中的 ΔEp 与 ΔEk 之间存在差异，认为这是由于空气阻力造成的．你是否同意他 的观点？请说明理由． (4)请你提出一条减小上述差异的改进建议． 三、计算题 1、小球在外力作用下，由静止开始从 A 点出发做匀加速直线运动，到 B 点时消除外力。然 后，小球冲上竖直平面内半径为 R 的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最 高点 C 后抛出，最后落回到原来的出发点 A 处，如图所示，试求小球在 AB 段运动的加速度 为多大？ 21 2kE mv∆ = 让更多的孩子得到更好的教育 18 2、（2016 哈尔滨期末）如图所示，半径为 R 的光滑半圆形轨道 CDE 在竖直平面内与光滑 水平轨道 AC 相切于 C 点，水平轨道 AC 上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上， 弹簧自由端 B 与半圆形轨道最低点 C 的距离为 4R，现用一个小球压缩弹簧（不拴接），当 弹簧的压缩量为 l 时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过光滑半圆形轨道的最高点 E； 之后再从 B 点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过 BCDE 轨道抛出后恰好落在 B 点，已知 弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求第二次压缩时 弹簧的压缩量。 3、如图所示，ABDO 是固定在竖直平面内的光滑轨道，AB 是半径为 R=15 m 的四分之一圆 周轨道，半径 OA 处于水平位置，BDO 是直径为 15 m 的半圆轨道，D 为 BDO 轨道的中 央．AB 和 BDO 相切于 B 点．一个小球 P 从 A 点的正上方距水平半径 OA 高 H 处自由落下， 沿竖直平面内的轨道通过 D 点时对轨道的压力大小等于其重力大小的 倍。（取 ） （1）求高度 H； （2）试讨论此球能否到达 BDO 轨道的最高点 O。 14 3 21`0 /g m s= 让更多的孩子得到更好的教育 19 4、如图，ABC 和 ABD 为两个光滑固定轨道，A、B、E 在同一水平面，C、D、E 在同一竖 直线上，D 点距水平面的高度 h，C 点高度为 2h，一滑块从 A 点以初速度 分别沿两轨道 滑行到 C 或 D 处后水平抛出。 （1）求滑块落到水平面时，落点与 E 点间的距离 和 . （2）为实现 ， 应满足什么条件？ 【答案与解析】 一、选择题 1、AB 解析：由题意知，两物体均由静止开始做匀加速直线运动，因位移、时间相同．所以到达顶 端时速度相同，动能的变化量相同．机械能的变化量相同．A、B 正确．因第二种情况时所 受摩擦力较大 ，第二种情况时克服摩擦力做的功多 ，因而 ， C、D 均错。故选 AB。 2、【答案】C 【解析】释放圆环后，橡皮绳松弛，开始一段时间内没有弹力，如果杆与水平方向夹角较小， 橡皮绳最终将处于伸长状态，无论橡皮绳能否达到伸长状态，橡皮绳和圆环组成的系统机械 能守恒，因此有: Ep=mgh 0v CS DS C DS S< 0v 2 1f f> 2 1f fW W> 1 2F FW W 2 204 16C v hS hg = − 2 202 4D v hS hg = − 02 6gh v gh< < 2 2 0 1 122 2 Cmv mgh mv= + 2 2 0 1 1 2 2 Dmv mgh mv= + 212 2 Ch gt= 21 2 Dh gt= C C CS v t= D D DS v t= 2 204 16C v hS hg = − 2 202 4D v hS hg = − C DS S< 2 204 16v h hg − < 2 202 4v h hg − 0 6v gh< 0v 0 2v gh> 02 6gh v gh<