知识讲解 动能、动能定理（提高）

1 物理总复习：动能、动能定理 【考纲要求】 1、理解动能定理，明确外力对物体所做的总功与物体动能变化的关系； 2、会用动能定理分析相关物理过程； 3、熟悉动能定理的运用技巧； 4、知道力学中各种能量变化和功的关系，会用动能定理分析问题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、动能　　 动能是物体由于运动所具有的能，其计算公式为 。动能是标量，其单位与 功的单位相同。国际单位是焦耳（J）。 考点二、动能定理 1、动能定理 　 合外力对物体所做的功等于物体动能的变化，这个结论叫做动能定理。 2、动能定理的表达式 　　 。式中 W 为合外力对物体所做的功， 为物体末状态的动能， 为 物体初状态的动能。动能定理的计算式为标量式， 为相对同一参考系的速度，中学物理中 一般取地球为参考系。 要点诠释：1、若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑， 也可以视全过程为整体来处理。 2、应用动能定理解题的基本步骤 　　（1）选取研究对象，明确它的运动过程。 　　（2）分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力？每个力是否做功？做 正功还是做负功？做多少功？然后求各个外力做功的代数和。 　　（3）明确物体在始、末状态的动能 和 。 　　（4）列出动能定理的方程 及其他必要的辅助方程，进行求解。 21 2kE mv= 2 1k kW E E= − 2kE 1kE v 1kE 2kE 2 1k kW E E= −2 动能定理中的 是物体所受各力对物体做的总功，它等于各力做功的代数和，即 若物体所受的各力为恒力时，可先求出 ，再求 3、一个物体动能的变化 与合外力做的功 具有等量代换的关系。因为动能定理实质 上反映了物体动能的变化，是通过外力做功来实现的，并可以用合外力的功来量度。 　　 ，表示物体动能增加，其增加量就等于合外力做的功； 　　 ，表示物体动能减少，其减少量就等于合外力做负功的绝对值； 　　 ，表示物体动能不变，合外力对物体不做功。 　　这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。 考点三、　实验：探究动能定理 实验步骤 　1．按图组装好实验器材，由于小车在运动中会受到阻力，把木板略微倾斜，作为补偿。 　2．先用一条橡皮筋进行实验，把橡皮筋拉伸一定长度，理清纸带，接通电源，放开小车。 　3．换用纸带，改用 2 条、3 条……同样的橡皮筋进行第 2 次、第 3 次……实验，每次实 验中橡皮筋拉伸的长度都相同。 　4．由纸带算出小车获得的速度，把第 1 次实验获得的速度记为 ，第 2 次、第 3 次…… 记为 、 。 　5．对测量数据进行估计，大致判断两个量可能的关系，然后以 W 为纵坐标， （或 ， ， 为横坐标作图。 【典型例题】 类型一、应用动能定理时过程的选取问题 　在应用动能定理时，针对这种多过程问题，既可以分段利用动能定理列方程求解，也可以 对全过程利用动能定理列方程求解，解题时可灵活选择应用。不过全过程用动能定理列方程 求解往往比较简捷，应优先考虑。 　　例 1、如图所示，一质量为 2㎏的铅球从离地面 2m 高处自由下落，陷入沙坑 2 cm 深处， 求沙子对铅球的平均阻力。（取 ) W总 1 2 3=W W W W+ + +⋅⋅⋅总 F合 cosW F l α=总 合 kE∆ W总 0kE∆ > 0kE∆ < 0kE∆ = 1v 2v 3v ⋅⋅⋅ 2v v 3v v 210 /g m s=3 【思路点拨】分析外力做功，哪个力做多少功，（力多大，位移是多少）,分析初态的动能、 末态的动能，根据动能定理列出方程求解。如果初态、末态取得好，计算要简单的多，那就 是对全过程应用动能定理。 【答案】 2020 N 【解析】　铅球的运动分为自由下落和陷入沙坑中的减速两过程，可根据动能定理分段列式， 也可对全过程用动能定理． 方法一：分阶段列式 设小球自由下落到沙面时的速度为 ，则 设铅球在沙坑中受到的阻力为 F，则 代入数据，解得 F=2020 N。 方法二：全过程列式 　　全过程重力做功 ，进入沙坑中阻力做功 ，从全过程来看动能变化为 零，则由 ，得 解得 。 【总结升华】若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也 可以视全过程为整体来处理。对全过程应用动能定理，一般来说都要简单一些，因为减少了 中间环节，如果初、末状态的动能为零，解题就很简捷了。 举一反三 【变式】如图所示，ABCD 是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底 BC 的连接处都是一段与 BC 相切的圆弧，BC 为水平的，其距离 d=0.50 m，盆边缘的高度为 h=0. 30 m．在 A 处放一个 质量为 m 的小物块并让其从静止出发下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆底 BC 面与小物 块间的动摩擦因数为 =0. 10。小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停的地点到 B 的距 离为（ ） A．0. 50 m 　B．0. 25 m 　　C．0. 10 m D．0 v 21 02mgH mv= − 210 2mgh Fh mv− = − ( )mg H h+ Fh− 2 1k kW E E= − ( ) 0 0mg H h Fh+ − = − ( ) 2020mg H hF Nh += = µ4 【答案】 D 【解析】分析小物块的运动过程，AB、CD 段光滑，不消耗机械能，只是 BC 段摩擦力做功， 小物块在盆内来回滑动，由于克服摩擦力做功，物块的机械能不断减少。摩擦力做功等于力 乘以路程。在 A 处为初态，最后静止下来的那点为末态，初态、末态的动能都为零，设小 物块在 BC 段滑行的总路程为 ，摩擦力做负功为 ，重力做正功为 ，根据动能 定理可得 ，物块在 BC 之间滑行的总路程 ，小物块正 好停在 B 点，所以 D 选项正确。本题如果根据功和能的关系理解也很简单：物体的重力势 能全部用于克服摩擦力做功，计算式为： 。 类型二、利用动能定理求变力做功的问题 如果是恒力做功问题，往往直接用功的定义式求解。但遇到变力做功问题，需借助动能 定理等功能关系进行求解。分析清楚物理过程和各个力的做功情况后，对全过程运用动能定 理可简化解题步骤。 【高清课堂：动能、动能定理例 4】 　　例 2、质量为 m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动，如 图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳 子所受拉力为 7 ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过 程中小球克服空气阻力所做的功为（ ） 　　A． 　B． 　　C． 　D． 【思路点拨】理解“最低点，此时绳子所受拉力为 7mg”的意义，可以求什么，理解“经过 半个圆周恰能通过最高点”的意义，是重力提供向心力。从最低点到最高点，有阻力，求阻 力做的功，根据动能定理列方程求解。 【答案】 C 【解析】小球所受空气阻力时刻在变化，运动情况和受力情况均比较复杂，用动能定理求解 比较容易。从“小球通过轨道的最低点绳子所受拉力为 7 ”可以求出最低点的速度；从 “经过半个圆周恰能通过最高点”可以求出最高点的速度。最低点为初态，最高点为末态， 从低到高，重力做负功，阻力也做负功（用正负号均可）。 小球在最低点，合力提供向心力： 得 s mgsµ− mgh 0mgh mgsµ− = 3mgh hs mmgµ µ= = = mgh mgsµ= mg 8 mgR 4 mgR 2 mgR mgR mg 2 17 vmg mg m R − = 2 1 6v gR=5 小球在最高点，重力提供向心力： 得 根据动能定理有： 得 ， 故 C 选项正确。 【总结升华】求解变力的功时最常用的方法是利用动能定理或功能关系从能量的角度来解 决。本题关键要理解隐含条件的物理意义，可以求什么。 另外还有一些方法如：①将变力转化为恒力；②平均方法（仅大小变化且为线性变化的 力）；③利用 图象的面积；④利用 （功率恒定时）。 举一反三 【变式】如图所示，质量为 m 的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的 k 倍， 它与转轴 相距 R。物块随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在 转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为（ ） 　　A． 　 B．0 　　C． 　D． 【答案】A 【解析】　物块在开始滑动时最大静摩擦力是圆周运动的向心力，故 ，所以 　则由动能定理 得 故选 A。 类型三、动能定理的综合应用 在应用动能定理解题时，应注意受力分析和过程分析，先确定受力分析，确定各个力是否做 功及做功正负，后进行过程分析以确定物体的初、末状态及动能的变化。同时要注意运动过 程中物体机械能的损失和物体合运动与分运动的关系。 例 3、（2016 全国Ⅰ卷）如图，一轻弹簧原长为 2R，其一端固定在倾角为 37°的固定直轨道 AC 的底端 A 处，另一端位于直轨道上 B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为 的 光滑圆弧轨道相切于 C 点，AC=7R，A、B、C、D 均在同一竖直面内。质量为 m 的小物块 P 自 C 点由静止开始下滑，最低到达 E 点（未画出），随后 P 沿轨道被弹回，最高点到达 F 点， 5 6 R 2 2vmg m R = 2 2v gR= 2 2 2 1 12 ( )2fmg R W m v v− ⋅ + = − 1 2fW mgR= − F s− W Pt= OO′ 1 2 kmgR 2 kmgRπ 2kmgR 2vkmg m R = 2v kgR= 21 102 2W mv mgkR= − = 1 2W mgkR=6 AF=4R ， 已 知 P 与 直 轨 道 间 的 动 摩 擦 因 数 ， 重 力 加 速 度 大 小 为 g 。（取 ） （1）求 P 第一次运动到 B 点时速度的大小。 （2）求 P 运动到Ｅ点时弹簧的弹性势能。 （3）改变物块 P 的质量，将 P 推至 E 点，从静止开始释放。已知 P 自圆弧轨道的最高 点 D 处水平飞出后，恰好通过 G 点。G 点在Ｃ点左下方，与 C 点水平相距 、竖直相距 R，求 P 运动到 D 点时速度的大小和改变后 P 的质量。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）选 P 为研究对象，受力分析如图： 设 P 加速度为 a，其垂直于斜面方向受力平衡： 沿斜面方向，由牛顿第二定律得： 且 ，可得： 对 CB 段过程，由 代入数据得 B 点速度： （2）P 从 C 点出发，最终静止在 F，分析整段过程； 由 C 到 F，重力势能变化量： ① 减少的重力势能全部转化为内能。 设 E 点离 B 点的距离为 xR，从 C 到 F，产生热量： ② 由 ，联立①、②解得：x=1； 研究 P 从 C 点运动到 E 点过程 1= 4 µ 3 4sin37 375 5 ° = ° =，cos 7 2 R 2Bv gR= 12 5 mgR 0 3 5 5 gRv = 1' 3m m= cosG Nθ = sinG f maθ − = f Nµ= 2sin cos 5a g g gθ µ θ= − = 2 2 0 2tv v as− = 2Bv gR= 3 sinPE mg R θ∆ = − ⋅ cos (7 2 )Q mg R xRµ θ= + PQ E= ∆7 重力做功： 摩擦力做功： 动能变化量：△Ek=0J 由动能定理： WG+Wf+W 弹=△Ek 代入得： 由 ，到 E 点时弹性势能 E 弹为 。 （3）其几何关系如下图： 可知： ， 由几何关系可得，G 点在 D 左下方，竖直高度差为 ，水平距离为 3R。 设 P 从 D 点抛出时速度为 v0，到 G 点时间为 t 其水平位移：3R= v0t 竖直位移： 解得： 研究 P 从 E 点到 D 点过程，设 P 此时质量为 m´，此过程中： 重力做功： ① 摩擦力做功： ② 弹力做功： ③ 动能变化量： ④ 由动能定理： ⑤ 将①②③④代入⑤，可得： 【高清课堂：动能、动能定理例 3】 例 4、质量为 m 的滑块与倾角为θ的斜面间的动摩擦因数为μ，μ