知识讲解 万有引力定律在天体运动中的应用（提高）

1 物理总复习：万有引力定律在天体运动中的应用 【考纲要求】 1、掌握万有引力定律并能应用； 2、理解三种宇宙速度及其区别。 【考点梳理】 考点一、应用万有引力定律分析天体的运动 1、基本方法 　　把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． 公式为 　　解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。 2、黄金代换式 要点诠释：在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和 计算时，可以认为 ，且有 。在应用万有引力定律分析天体运动问 题时，常把天体的运动近似看成是做匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供，我 们 便 可 以 应 用 变 换 式 来 分 析 讨 论 天 体 的 运 动 。 如 分 析 第 一 宇 宙 速 度 ： , ， ,代入后得 。 考点二、宇宙航行 人造卫星 1、宇宙速度 　　（1）第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速 度叫第一宇宙速度，又称环绕速度。 　　 （R 为地球半径），所以 ，是人造地球卫 星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度。 　　（2）第二宇宙速度（脱离速度）： =11.2 km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发 射速度。 　　（3）第三宇宙速度（逃逸速度）： =16.7 km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发 射速度。 2、近地卫星 要点诠释：近地卫星其轨道半径 近似地等于地球半径 R，其运动 是所有卫星的最大绕行速度；运行周期 T=85 min，是所有卫星的最小周期；向心 加速度 是所有卫星的最大加速度。 3、地球同步卫星 　　地球同步卫星，是指位于赤道平面内相对于地面静止的，以和地球自转角速度相同的角 速度绕地球运行的人造地球卫星，因为同步卫星主要用于通信等方面，故同步卫星又叫通信 卫星。要点诠释：同步卫星具有以下特点： ①周期一定：即 T=24 h。 2 2 2 2 2 2 4 (2 )Mm vF G m m r mr m f rr r T πω π= = = = = 2GM gR= 2 MmG mgR = 2GM gR= 2GM gR= 2 2 Mm vG mr r = 2GM gRv r r = = r R= v gR= 2 MmG mgR = 1 7.9 /GMv gR km sR = = = 2v 3v r GMv gRR = = = 7.9 /km s 29.8 /a g m s= =2 ②角速度一定：角速度等于地球自转的角速度。 ③轨道一定：同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行,在赤道上空。　　　　　　　　　　　　　　 　由 得 （T 为地球自转周期，M、R 为地球 质量、半径）代入数值得 。即：同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周 运动，其轨道离地面的高度约为 。 ④环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是 。 　　⑤向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动 的向心加速度大小都相同，约为 。 由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件： 　 a.卫星运动周期和地球自转相同（T=24 h= s），运动方向相同。 　　b.卫星的运行轨道在地球的赤道平面内。 　　c.卫星距地面高度有确定值（ ）。 同步卫星发射： 　　变轨道发射——发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道 发射（如图）。首先，利用第一级火箭将卫星送到 180 km～200 km 的高空，然后依靠惯性 进入停泊轨道（A）。当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫 星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B），且轨道的远地点（D） 为 35 800 km。当到达远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进 入同步轨道（C）。 　　这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求较低；二是发射 场的位置不局限在赤道上。运行时，所具有的机械能越大，把卫星发 射到离地球越远的轨道，在地面应具有的初动能越大，即发射速度越 大。 　　例、关于人造地球卫星和第一宇宙速度，下列说法正确的是：（　 ） 　　①第一宇宙速度是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度 　　②第一宇宙速度是发射人造卫星所需的最小速度 　　③卫星离地面越高，运动速度越大，周期越小 　　④同一轨道上的人造卫星，质量越大，向心加速度越大 　　A．①②　　 B．②③　 C．③④　 D．①③ 【答案】A 【解析】第一宇宙速度是所有地球卫星的最大绕行速度，是最小发射速度，卫星离地面越高， 运动速度越小，周期越大，同一轨道上的卫星其向心加速度 与卫星质量无关。综 上所述只有 A 项正确。 【典型例题】 类型一、比较分析卫星运行的轨道参量问题 （1）卫星（或行星）运行时做匀速圆周运动要牢记，万有引力提供向心力这一基本关系。 由 根据题目已知条件灵活选用 一种表达式，要注意 、 、 、 只与 有关。 　同一轨道上的卫星 、 、 、 大小是相同的，不同轨道上的卫星可列比例式分析计算。 （2）人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系： 　　 2 2 2( ) ( )( ) MmG m R hR h T π= ++ 3 2 GMh Rω= − 73.6 10h m= × 43.6 10 km× 3.08 /km s 20.22 /m s 48.64 10× 73.6 10 m× 2 GMa r = 2 2 2 2 2 2 4 (2 )Mm vF G m m r mr m f r mar r T πω π= = = = = = v ω T a r v ω T a3 　（1）由 得 ， ，所以 越大， 越小； 　（2）由 得 ， ，所以 越大， 越小； 　（3）由 得 ， ，所以 越大，T 越大。 （4）向心加速度： 当卫星距地球表面高度为 时，轨道半径 ，近地卫星： 轨道半径等于地球 半径（对其它行星也适用）。 常用式：黄金代换 　　例 1、（2016 天津卷）我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号” 飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动， 为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（ ） A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 【答案】C 【解析】若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则飞船加速后，万有引力不足以提 供向心力，飞船将远离原来的轨道，不能实现对接，A 错误；若使飞船与空间实验室在同一 轨道上运行，则空间实验室减速将会使空间实验室进入低轨道，也不能实现对接，故 B 错 误；实现对接的方法是使飞船在比空间实验室低的轨道上加速，然后飞船进入较高的空间实 验室轨道后实现对接，C 正确；若使飞船在比空间实验室低的轨道上减速，则飞船将进入更 低的轨道上去运行，无法实现对接，D 错误． 故选 C。 举一反三 【变式 1】现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星 A 和 B，它们的轨道半径分别为 和 。如果 ，则 ( ) 2 2 Mm vG mr r = GMv r = 1v r ∝ r v 2 2 MmG m rr ω= 3 GM r ω = 3 1 r ω ∝ r ω 2 2 2( )MmG m rr T π= 2 34 rT GM π= 3T r∝ r 2 2 1GMma a r r → = ∝ h r R h= + r R= 2GM gR= Ar Br A Br r v 2 2 Mm vG mr r < v 2 2 1( )A Ra gR h = + 2 2 3 24 gR T Rπ − Aa 2 1( ) A MmG maR h =+ 2 MmG mgR = 2 2 1( )A Ra gR h = + 2 2 22 2 2 4 ( )( ) MmG m R hR h T π= ++ 2 2 3 2 24 gR Th Rπ= −7 【总结升华】 求向心加速度仍然是 。求同步卫星的高度要用到黄金代换表达 式 。 举一反三 【高清课堂：万有引力在天体运动中的应用例 5】 【变式 1】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆 轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道 3。轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相 切于 P 点（如图），则卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是( ) A．卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率 B．卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度 C．卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点的加速度 D．卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点的加速度。 【答案】BD 【变式 2】 “天宫一号”与“神舟八号”交会对接成功，标志着我国在对接技术上迈出了重要一 步。用 M 代表“神舟八号”，N 代表“天宫一号”，它们对接前做圆周运动的情形如图所示，则 ( ) A. M 的发射速度大于第二宇宙速度 B. M 适度加速有可能与 N 实现对接 C. 对接前，M 的运行速度小于 N 的运行速度 D. 对接后，它们的运行速度大于第一宇宙速度 【答案】B 【解析】第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，最大运行（环绕）速度，A、D 都 错。 “神舟八号”开始轨道低，轨道半径小，线速度大，经过一定时间就会“追上”（不是真 正追上）“天宫一号”（此时不在同一轨道，不能对接）, 此时点火加速，产生离心现象，“神 舟八号”轨道就会变大，控制技术到位的话，就与“天宫一号”在同一轨道上了，速度相同， 这样就可以实现对接。C 错 D 对。 2 MmG mar = 2GM gR= 1 2 P 3 Q8 类型四、被遮拦的时间问题、相距最近最远问题 例 4、某颗地球同步卫星正下方的地球表面有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光 照射的此卫星。试问：春分那天（太阳光直射赤道）在日落后 12 小时内有多长时间该观察 者看不见此卫星？已知地球半径为 R，地球表面处的重力加速度为 g，地球自转周期为 T， 不考虑大气对光的折射。 【答案】 【解析】设所求的时间为 t，用 m、M 分别表示卫星和地球的 质量，r 表示卫星到地心的距离。有 春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆 E 表示 赤道，S 表示卫星，A 表示观察者，O 表示地心。 由图可 看出当卫星 S 绕地心 O 转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的 观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有 利用黄金代换 由以上各式可解得 【总结升华】 解题的关键是根据题意作出平面图形，利用几何关系，“看不见”的时间表达 式 ，看似简单，要会用，在磁场中也用到此式。此外解代数方程也要熟练。 举一反三 【变式】晴天的晚上，人能看到人造卫星的条件是：卫星直接被太阳照亮，且在人所在地理 位置的视野内。现有一个可看成漫反射体的人造卫星，其圆形轨道与地球的赤道共面。卫星 自西向东运行，在春分期间，太阳光垂直射向赤道，位于赤道上的某位观察者，在当地日落 之后 8 小时时刻，在该位置西边的地平线附近恰好能看到这颗卫星，之后又极快地变暗消失 了。已知地球半径为 R = 6.4×106m，地球表面的重力加速度取 g = 10m/s2，试估算： (1)卫星轨道离地面的高度 h (2)卫星的线速度的大小 v(结果保留 2 位有效数字) 【答案】（1）h=R；（2） 【解析】 从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示， 3 2 24arcsin gT RTt π π= 2 2 )2( Tmrr mMG π= Rr =θsin Tt π θ 2 2= 2GM gR= 3 2 24arcsin gT RTt π π= Tt π θ 2 2= smv /106.5 3×=9 设卫星离地高 h，Q 点日落后 8h 时能看到它反射的阳光， 日落 8h，Q 点转过的角度设为 θ。 　 （1） 轨道高度 　（2）因为卫星轨道半径 根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比，卫星轨道处的重力加速度 　　　 　 　　　 　 （2）或者：轨道半径 根据万有引力定律，黄金代换 解得 例 5、（2015 安徽卷）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种 运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕 某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为 A、B、C 三颗 星体质量不相同时的一般情况）。若 A 星体质量为 2m，B、C 两星体的质量均为 m，三角形 的边长为 a，求： 8= 360 =12024 θ ×   6=6.4 10 cos 2 Rh R m Rθ= − × =地 地 + 2r R h R= =地 地 2=2.5 /4r gg m s= 地 2 r vmg m r = 35.7 10 /rv rg m s= = × 2r R= 2 2(2 ) 2 Mm vG mR R = 2GM gR= 3 31 1 7.9 10 / 5.6 10 /2 2 v gR m s m s= = × × = ×10 （1）A 星体所受合力大小 FA； （2）B 星体所受合力大小 FB； （3）C 星体的轨道半径 RC； （4）三星体做圆周运动的周期 T。 【答案】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 【解析】（1）A 星体受 B、C 两星体的引力大小相等， ，合力 ①； （2）B 星体受 A 星体的引力 ，B 星体受 C 星体的引力 ， 三角形定则结合余弦定理得， ②； （3）由对称性知，OA 在 BC 的中垂线上， ．对 A 星体： ③， 对 B 星体： ④， 2 2 2 3 A GmF a = 2 2 7 B GmF a = 7 4BR a= 3aT Gm π= 2 2 2 BA CA mF F G a = = 2 2 2 33A BA GmF F a = = 2 2 2 AB BA mF F G a = = 2 2CB mF G a = 2 2 2 o 2 72 cos120B AB CB AB CB GmF F F F F a = + − = C BR R= 2 2 2 2 3 2 A Gm m Ra ω= 2 2 2 7 B Gm m Ra ω=11 联立解得 ，在三角形中， ，解得 ， 即 ⑤； （4）把⑤式代入④式，得 ，即 ． 类型五、关于“双星系统”的规律分析 【高清课堂：万有引力在天体运动中的应用例 6】 例 5、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系 统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某 双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗 恒星之间的距离为 r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为 G） 【答案】 【解析】 双星系统：角速度相等、周期相等、万有引力相等 设 1 星的质量为 ，绕圆心运动的轨道半径为 ， 2 星的质量为 ，绕圆心运动的轨道半径为 ， 则 （1） 研究 ，根据万有引力定律 ( 2 ) 可求得 研究 , 根据万有引力定律 (3) 可求得 3 7A CR R= 2 2 23( ) ( )2 2A C aa R R− + = 7 4CR a= 7 4BR a= 32 Gm a ω = 32 aT Gm π πω= = 2 324 GT LM π= 1m 1r 2m 2r 1 2r r r+ = 1m 2 1 2 1 12 2 4m mG m rr T π= 2 2 1 2 2 4 r rm GT π= 2m 2 1 2 2 22 2 4m mG m rr T π= 2 2 2 1 2 4 r rm GT π=12 所以系统的质量为 【总结升华】双星系统的特点：角速度、周期、万有引力都相等，两者之间的引力提供向心 力。解题时要注意研究对象，对 列方程就要用 的参数，对 列方程就要用 的参数。 举一反三 【变式】上题双星系统中，如果已知 ， ，求：（1） （2） 如果周期未知，又知两球间的距离 ，求： （3） 距转动中心 O 的距离为 __________。 距转动中心 O 的距离为 __________。 （4）它们转动的角速度为 __________。 【答案】（1） , (2) (3) (4) 2 2 2 3 1 2 1 2 2 2 4 ( ) 4r r r rm m m GT GT π π+= + = = 1m 1m 2m 2m 1m 2m 1 2 r r 1 2 v v r 1m 1r = 2m 2r = 2 1 m m 2 1 m m 2 1 1 2 mr rm m = + 1 2 1 2 mr rm m = + 1 2 3 ( )G m m r ω +=13 【巩固练习】 一、选择题 1、如图所示，圆 a 的圆心在地球自转的轴线上，圆 b、c、d 的圆心均在地球的地心上，对 绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星而言 ( ) A．卫星轨道可能为 a B．同步卫星轨道可能为 b C．卫星轨道可能为 c D．卫星的轨道可能为 d 2、（2016 山东枣庄模拟）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道 经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星 一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为 3.1×103m/s，某次发 射卫星飞经赤道上空时的速度为 1.55×103m/s，此时卫星的高度与同步卫星的高度相同，转 移轨道和同步轨道的夹角为 30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为 （ ） A. 西偏北方向，1.9×103m/s B. 东偏南方向，1.9×103m/s C. 西偏北方向，2.7×103m/s B. 东偏南方向，2.7×103m/s 3、已知第一宇宙速度为 7.90km/s，如果一颗人造卫星的高度为 3 倍的地球半径，它的运行 速度是( ) A．7.90km/s B．3.95km/s C．1.98km/s D．由于卫星质量不知，所以不能确定 4、地球同步卫星到地心的距离 r 可由 求出。已知式中 a 的单位是 m，b 的单位 是 s，c 的单位是 m/s2，则 （ ） A．a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度 B．a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度 C．a 是赤道周长，b 是地球自转周期，c 是同步卫星的加速度 D．a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度 2 22 3 4π cbar =14 5、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测 量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为 r1，后来变为 r2，r2< r1。 以 EK1、EK2 表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2 表示卫星在这两上轨道上绕地运动的 周期，则( ) A．EK2< EK1，T2< T1 B．EK2< EK1，T2> T1 C．EK2> EK1，r2< r1 D．EK2> EK1，T2> T1 6、在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已 知太阳质量约为月球质量的 倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行 的轨道半径的 400 倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 （ ） A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大 C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 7、大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于 137 亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化 至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对 1A 型超新星的观测显示， 宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大 部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真 是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径 R 和宇宙年龄的关系，大致是下面哪个图像 （ ） 8、“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为 r，运行速率 为 ，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 （ ） A. 、 都将略为减小 B. 、 都将保持不变 C. 将略为减小， 将略为增大 D. 将略为增大， 将略为减小 9、据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度 200 km,运行周期 127 分钟。 若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 （ ） A.月球表面的重力加速度 B.月球对卫星的吸引力 C.卫星绕月运行的速度 D.卫星绕月运行的加速度 10、（2016 陕西汉中模拟）如图所示，我国“嫦娥一号”绕月卫星进入奔月轨道，在从 a 点 向 b 点运动的过程中（ ） 72.7 10× v r v r v r v r v15 A. 地球对卫星的引力增大，月球对卫星的引力增大 B. 地球对卫星的引力增大，月球对卫星的引力减小 C. 地球对卫星的引力减小，月球对卫星的引力增大 D. 地球对卫星的引力减小，月球对卫星的引力减小 二、填空题 1、在一个半径为 R 的星球表面，以速度 v 竖直向上抛出一个小球，经过时间 t 小球落回星 球表面。若在这个星球表面发射一个绕它做圆周运动的人造卫星，人造卫星的最小周期是 __________。 2、一物体在地球表面重 16N，它在以 5m/s2 的加速度加速上升的火箭中视重为 9N，则此火 箭离地球表面的距离为地球半径 R 的 倍。 3、2011 年 4 月 10 日，我国成功发射第 8 颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将 包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对 GPS 导航系统的依赖，GPS 由运行周期为 12 小时的卫星群组成，设北斗导航系统同步卫星和 GPS 导航的轨道半径分别为 和 ，向心 加速度分别为 和 ，则 _____。 _____（可用根式表示） 三、计算题 1、地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，不考虑地球自转的影响。 （1） 推导第一宇宙速度 的表达式； （2） 若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为 h，求卫星的运行周期 T。 2、一组太空人乘坐太空穿梭机去修理位于离地球表面 圆形轨道上的哈勃太空 望远镜 H。机组人员驾驶穿梭机 S 进入与 H 相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜则在穿 1R 2R 1a 2a 1 2:R R = 1 2:a a = 1v 56.0 10 m×16 梭机前方数公里处，如图所示，设 G 为引力常量，M 为地球质量（已知地球半径为 ， 地球表面的重力加速度 ） （1）在穿梭机内，一质量为 70 的太空人站在台秤上示数是多少? （2）计算轨道上的重力加速度值 （3）计算穿梭机在轨道上的速率和周期； （4）穿梭机须要想追上望远镜，请你定性分析说明穿梭机该怎么运动。（先说明怎么运动， 然后说明理由） 3、我国于 2007 年 10 月 24 日，在西昌卫星发射中心，将一颗探月卫星“嫦娥一号”成功 发射升空，在经历 14 天的飞行后，“嫦娥一号”卫星接近月球，实施首次“制动变轨”，进入 月球捕获椭圆轨道，又经历两次“制动变轨”，最终进入月球 200km 的环月预定工作轨道（如 图所示），开展拍摄三维影像等工作。（已知半径为 R 的球的体积 ） （1）卫星在靠近月球前先进行变轨，在预定点处启动卫星上的喷气推进器，为使卫星从椭 圆轨道进入环月飞行圆轨道，如图所示，推进器是向前喷气还是向后喷气？ （2）卫星在环月圆轨道绕行 n 圈，飞行时间为 t，已知月球半径为 R0，月球表面处重力加 速度为 g0，试推导卫星在环月圆轨道上运行时离月球表面高度 h 的表达式。 （3）已知地球和月球的半径之比 ,表面的重力加速度之比 ，求地球和月球 的密度之比。 66.4 10 m× 29.8 /g m s= kg 0 3.6R R = 0 6g g =17 4、万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性． (1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不 同的结果．已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G.将地球视为半径为 R、质 量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是 F0. a. 若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F1，求比值 F1/F0 的表达式，并就 h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)； b. 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F2，求比值 F2/F0 的表达式． (2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径 r、太阳的半径 Rs 和地球的半径 R 三者均减小 为现在的 1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以 现实地球的 1 年为标准，计算“设想地球”的 1 年将变为多长． 【答案与解析】 一、选择题 1、BCD 解析：卫星轨道不可能为 a，引力指向地心。B 可能是同步卫星。C 是比较常见的卫星。d 是极地卫星。正确的是 BCD。 2、【答案】B 【解析】合速度为同步卫星的线速度：v=3.1×103m/s，其中一个分速度为在转移轨道 上的速度：v1=1.55×103m/s，合速度与分速度的夹角为 30°，根据平行四边形定则，设另 一个分速度为 v2，如图所示： 该分速度方向为东偏南方向，根据余弦定理，其大小为： 2 2 2 1 1 3 2 3 2 3 3 3 + 2 cos30 3(3.1 10 ) (1.55 10 ) 2 3.1 10 1.55 10 2 1.9 10 m/s v v v vv= − ° = × + × − × × × × × = ×18 故 ACD 错；B 正确。 故选 B。 3、B 解析： 由 得 B 对。 4、AD 解析：由 得 a 是地球半径，b 是地球自转的周 期(是同步卫星绕地心运动的周期)，c 是地球表面处的重力加速度。BC 错，AD 对。 5、C 解析：r2< r1 ，T2< T1， ， EK2> EK1 所以 C 正确。 6、AD 解析：设太阳的质量为 ，月球的质量为 ，海水质量为 ，太阳与地球之间的距离为 ，月球与地球之间的距离为 ，由题意 ，由万有引力定律 太阳对海水的引力 月球对海水的引力 则 A 对，B 错。月球到不同区域海水的距离不同，所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差 异。C 错，D 对。正确答案是 AD。 7、C 解析：A 宇宙半径不变，A 错。B 匀速膨胀，B 错。C 宇宙半径 R 在近段天文时期内开始加 速膨胀，C 对。D 宇宙半径在缩小，D 错。正确的为 C。 8、C 解析：当探测器飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空，由 知引力略为变 大， 将略为减小， 将略为增大，C 对。 9、B 解析：已知轨道半径、周期、引力常量和月球平均半径 4r R= GMv r = 2 1 1 7.9 3.95 /4 2 2 gRv gR km sR = = = × = 2 2 2( )MmG mrr T π= 2 2 2 3 2 24 4 GMT gR Tr π π= = 2 1v v> M m m′ 1r 2r 72.7 10M m = × 1 2 400r r = 1 2 1 MmF G r ′= 2 2 2 mmF G r ′= 2 7 1 2 2 2 2 1 2.7 10 2700 400 16 F rM F m r ×= = = 2 MmF G r = r v19 根据 和 可以求出月球表面的重力加速度。 根据 和 可以求出卫星绕月运行的速度。 根据 和 可以求出卫星绕月运行的加速度。 根据 不知道卫星的质量，不能求出月球对卫星的吸引力。所以选 B。 通过分析，本题条件还可以求出月球质量、密度。 10、【答案】C 【解析】“嫦娥一号”在从 a 点向 b 点运动的过程中，根据 ，“嫦娥一号”与地 球的距离越来越大，所以地球对卫星的引力减小，月球与卫星的距离越来越小，则月球对卫 星的引力增大，C 正确；ABD 错。 故选 C。 二、填空题 1、 解析：解题的关键是首先求出星球表面的重力加速度。 竖直上抛运动具有对称性，上升到最大高度的时间等于下落到抛出点的时间。 列出方程 可求出 最小周期与绕行星表面附近运行是一个物理意义，轨道半径为 R 再由万有引力定律 利用黄金代换 即可求出最小周期 2、3 倍； 解析：设地球的半径为 R, 火箭离地球表面的高度为 h, g 为地球表面的重力加速度， 为在高空火箭的重力加速度。关键要求出 物体的质量为 m=1.6kg，在火箭中视重为 F=9N，根据牛顿第二定律 求得 2 MmF G r = 2 2 2( )MmG m rr T π= 2GM gR= GMv r = 2GM gR= 2 MG aR = 2GM gR= 2 MmF G R = v RtT 22π= 2 t v g = 2vg t = 2 2 2 4MmG mRR T π= 2GM gR= 2 2 RtT v π= g′ g′ F mg ma′− = 25 /8g m s′ =20 根据万有引力定律 解得： 所以 3、 、　 解析： ，由 得： ， 因而： ， 三、计算题 1、（1） （2） （1）设卫星的质量为 m,地球的质量为 M, 在地球表面附近满足 得 ① 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 ② ①式代入②式，得到 （2）卫星受到的万有引力为 ③ 由牛顿第二定律 ④ ③、④联立解得 2、（1）示数为零（2） （3） 2( ) MmG mgR h ′=+ 2 MmG mgR = 2 2 5 1.6 18 ( ) 16 16 mg R mg R h ×′ = = =+ 1 4 R R h =+ 3h R= 3h R = 3 4 3 2 4 1 2 2T T = 2 2 2 4MmG m R maR T π= = 2 3 24 GMTR π= 2 GMa R = 2 31 1 3 2 2 ( ) 4R T R T = = 3 2 21 2 3 2 1 1 2( ) ( ) 44 a R a R = = = Rgv =1 g hR RT 2)(2 += π 2 MmG mgR = gRGM 2= 2 2 1 R MmGR vm = Rgv =1 2 2 2 )()( hR mgR hR MmGF + = + = )(4 2 2 hR T mF += π g hR RT 2)(2 += π 28.2 /g m s′ = 37.6 10 /v m s= × 35.8 10T s= ×21 （4）不能。 解析：（1）在穿梭机内，由于人处于完全失重状态，故质量为 70 的人站在台秤上时， 对台秤的压力为零，因此台秤上示数为零。 （2）穿梭机在地面上时 穿梭机在轨道上时 解得 代入数据解得 （3）穿梭机在轨道上运行时 结合黄金代换式， 代入数据解得 （4）不能。S 要追上 H，只有先进入较低轨道即先减速，以较大的角速度超前望远镜，而 后再加速进入 H 所在轨道。 由 知，穿梭机要进入较低轨道必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的 向心力，故当 减小时， 才减小，这时 ，使穿梭机的轨道半径减小.进 入较小轨道时速度要增加，转动的角速度增加，在适当的位置再增加它的速度，穿梭机向外 运动追上望远镜。 3、（1）推进器应向前喷气。（2） (3) 解析：（1）为了使卫星减速进入环月圆轨道，推进器应向前喷气。 （2）设月球到质量为 ，力常量为 G，卫星质量为 ，卫星在环月轨道上运行周期为 T， 轨道半径为 r，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有 kg 2 MmG mgR = 2( ) MmG mgR h ′=+ 2 2( ) gRg R h ′ = + 28.2 /g m s′ = 2 2 2 2 4( )( ) Mm vG m m R hR h R h T π= = ++ + gv R R h = + 3 2 ( )2 R hT gR π += 37.6 10 /v m s= × 35.8 10T s= × 2 2 Mm vG mr r = v 2vm r 2 2 Mm vG mr r > 2 2 0 03 02 24 g R th Rn π= − 0 5 3 ρ ρ = 0m m 2 0 2 2 4m mG mrr T π=22 对于在月球表面处的物体 ，有 根据题意有 ， 由以上各式联立解得 (3)设 M 表示地球的质量，设想将以质量为 的小物体分别放在地球、月球表面处，由万有 引力定律得 且 由以上各式得 4、【答案】(1) a. 　0.98 b． (2) 1 年 【解析】(1)设小物体质量为 m. a．在北极地面 在北极上空高出地面 h 处 当 h＝1.0%R 时 b．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力 ，有 得 (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为 MS，地球质量为 2 1 2 0 ( ) F R F R h = + 2 3 2 2 0 41F R F GMT π= − 02 MmG FR = 12( ) MmG FR h =+ 2 1 2 0 ( ) F R F R h = + 1 2 0 1 0.98(1.01) F F = ≈ 2 22 2 4MmG F m RR T π− = 2 3 2 2 0 41F R F GMT π= − m′ 0 02 0 m mG m gR ′ ′= tT n = 0r R h= + 2 2 0 03 02 24 g R th Rn π= − m 2 MmG mgR = 0 02 0 m mG mgR = 34 3M Rρ π= 3 0 0 0 4 3m Rρ π= 0 0 0 5 3 gR g R ρ ρ = =23 M，地球公转周期为 TE，有 得 其中 ρ 为太阳的密度． 由上式可知，地球公转周期 TE 仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有 关．因此“设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同． 2 2 2 4S E M MG Mrr T π= 2 3 3 3 4 3 E S S r rT GM G R π π ρ= =