知识讲解_匀变速直线运动复习与巩固(提高)

第 1 页 共 22 页 匀变速直线运动复习与巩固 【学习目标】 1、正确理解描述质点运动的物理量，即位移和路程、速度（平均速度和瞬时速度）和加速度。 2、熟练掌握匀变速直线运动的特点、规律及自由落体运动的规律，并能在实际问题中加以运用。 3、正确理解并熟练掌握匀速直线运动和匀变速直线运动的 x-t 图象、v-t 图象的物理意义。 【知识网络】 　　 【要点梳理】 【高清课程：描述直线运动的概念的规律】 要点一、质点的概念 　　要点诠释： 1、定义 　　用来代替物体的有质量的点称为质点。 2、说明 　　质点是一个理想化的模型，是对实际物体科学的抽象，真正的质点是不存在的。 　　在实际所研究的问题中，如果物体的形状和大小对所研究运动的影响可以忽略不计时，可将物体视为 质点。 　　一个物体能否被看成质点，与物体的大小无关。 【高清课程：描述直线运动的概念的规律】 要点二、几个基本概念的区分 　　要点诠释： 物理量 概念或物理意 义 标、矢量 对应运动量 区别与联系 时刻 一瞬间 标量 状态量时 间 和 时 刻 时 间 一段时间，两 时刻间隔 标量 过程量 时刻在时间轴上表示轴上一点，通常说法有：第几 秒末、第几秒初、第几秒时 时间是两个时刻间的间隔，在时间表示轴上一段， 通常说法有：前（头）几秒内，后几秒内、第几秒 内 　　 位 移 和 位 移 表示质点的位 置变化的物理 量 矢量 方向：由初 位置指向末 位置 过程量 与时间相对 应 位移是矢量，是由初位置指向末位置的有向线段； 路程是质点运动所通过的实际轨迹的长度。 一般情况下，路程不等于位移的大小，只有在单向 直线运动中，路程才等于位移的大小第 2 页 共 22 页 路 程 路 程 质点运动轨迹 的长度 标量 过程量 与时间相对 应 瞬时 速度 运动物体在某 一时刻（或某 一位置）的速 度 矢量 方向：物体 的运动方向 状态量 与时刻相对 应 平均 速度 物体的位移与 发生这段位移 所用时间的比 值， 矢量 方向：与物 体位移方向 相同。 过程量 与时间相对 应 　　 速 度 平均 速率 质点通过的总 路程与所用时 间的比值 标量 过程量 与时间相对 应 平均速度是指质点通过的总位移与所用时间的比 值，是矢量，方向与位移的方向相同；表示运动物 体在某一段时间内的平均快慢程度，只能粗略地描 述物体的运动。 做变速运动的物体，不同时间（或不同位移）内的 平均速度一般是不同的，因此，平均速度必须指明 是对哪段时间（或哪段位移）而言的。 瞬时速度可以精确地描述物体的运动，在公式 中，如果时间 t 非常短，接近于零，表示的 是某一瞬时，这时的速度称为瞬时速度。 平均速率是指质点通过的总路程与所用时间的比 值，是标量。 【高清课程：描述直线运动的概念的规律】 要点三、加速度的物理意义 　　要点诠释： 1、定义 物体速度的变化与完成这一变化所用时间的比值，叫做物体的加速度，用 a 来表示，即 , 式中 表示速度的变化量， 表示开始时刻的速度（初速度）， 表示经过一段时间 t 后末了时刻的速度 （末速度） 2、物理意义 　　加速度是表示速度变化快慢的物理量。 3、单位 在国际单位制中，加速度的单位是 ，读作米每二次方秒。 4、矢量 　　加速度是矢量，它的方向同速度变化的方向。 5、速度、速度的变化、加速度的区别与联系 物理量 公式 物理意义 区别与联系 速度 也称为“位置变化率”，描述物体运动快慢的物 理量，是运动状态量，对应于某一时刻（或某一 位置）的运动快慢和方向。 速度的 变化 描述速度改变的物理量，是运动过程量，对应于 某一段时间（或发生某一段位移），若取 为正， 则 表示速度增加， 表示速度减小， 表示速度不变。 加速度 也称为“速度变化率”，表示在单位时间内的速 度变化量，反映了速度变化的快慢及方向。 加速度 a 与速度 无 直 接 联 系 ， 与 也无直接联系， 大，a 不一定大； 大，a 也不一定 大。 【高清课程：描述直线运动的概念的规律】 0v vva t t −∆= = v∆ 0v v 2m/s xv t = 0v v v∆ = − 0v 0v∆ > 0v∆ < 0v∆ = 0v vva t t −∆= =∆ ∆ v v∆ v v∆第 3 页 共 22 页 要点四、匀变速直线运动及其规律 要点诠释： 1．匀变速直线运动 　　定义：在任意相等的时间内，速度的变化都相等的直线运动。 　　特点：a 恒定不变 　　对于做匀变速运动的质点，当质点的加速度与速度方向相同时，表示质点做加速运动；当质点的加速 度与速度方向相反时，表示质点做减速运动。 2．匀变速直线运动的规律 　　(1)基本规律 　　　 速度公式 　　　 　　　 位移公式 　　　 　 　　说明： 　　a、以上四式只适用于匀变速直线运动； 　　b、式中 、 、 和 均为矢量，应用时要规定正方向，凡是与正方向相同者取正值，相反者取负 值（通常将 的方向规定为正方向），所求矢量为正值表示与正方向相同，为负者表示与正方向相反。 　　(2)一些有用的推论 　　a．做匀变速直线运动的物体，在任何两个连续相等的时间内的位移的差是一个恒量： 　　b．做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度，等于该段时间的中间时刻的瞬时速度 ： 　　　 　　c．做匀变速直线运动的物体，在某段位移中点的瞬时速度 　　d．初速度为零的匀变速直线运动 　　　　①前 1 秒、前 2 秒、前 3 秒……内的位移之比为 1∶4∶9∶…… 　　　　②第 1 秒、第 2 秒、第 3 秒……内的位移之比为 1∶3∶5∶…… 　　　　③前 1 米、前 2 米、前 3 米……所用的时间之比为 　　　　④第 1 米、第 2 米、第 3 米……所用的时间之比为 要点五、自由落体运动及其规律 要点诠释： １、自由落体运动 　　（1）定义：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动 　　（2）特点：初速度 v0=0，加速度 a=g 的匀加速直线运动 ２、自由落体的运动规律 　　（说明：只需将 v0=0,a=g 代入匀变速直线运动的公式中即可） 　　（1）基本规律 0v v at= + 2 2 2 0 0 0 1 22 2 v vx v t at v v ax x vt t += + − = = = 0v v a x 0v 2x aT∆ = 0 t 2 2 v vv v += = 2 2 0 2 2x v vv += 1: 2 : 3 : 1:( 2 1) :( 3 2) :− − 第 4 页 共 22 页 　　　　 速度公式： 　　　　 位移公式： 　　（2）自由落体运动的有关推论： 　　　　 中间时刻的瞬时速度 　　　　 连续相等时间间隔内的位移之差是 　　　　 前 1 秒、前 2 秒、前 3 秒……内的位移之比为 1∶4∶9∶…… 　　　　 第 1 秒、第 2 秒、第 3 秒……内的位移之比为 1∶3∶5∶…… 　　　 　前 1 米、前 2 米、前 3 米……所用的时间之比为 　　　　 第 1 米、第 2 米、第 3 米……所用的时间之比为 要点六、质点运动规律的图象描述 　　要点诠释： 用图象表述物理规律是物理学中常用的一种处理方法，图象具有简明、直观等特点．对于物理图象需 要从图象上的轴、点、线、面、斜率、截距等方面来理解它的物理意义，因为不同的物理函数图象中，这 几方面所对应的物理意义不同。 1、位移—时间图象（x-t 图象） 　　（1）物理意义：表示质点位移随时间变化的关系图象 　　注意：位移图象不是质点运动轨迹。 　　（2）从图象可获得的信息 　　a．位移与时刻的对应关系；图象与位移轴的交点表示物体的初位移，两条图象的交点表示两质点相 遇。 　　b．图象的斜率表示速度的大小和方向（斜率的正负表示速度的方向）。 　　c．判断物体的运动性质：图象与时间轴平行表示物体静止；若位移图象是倾斜的直线，表示物体做 匀速直线运动；若位移图象是曲线，表示物体做变速运动。 2、速度—时间图象（v-t 图象） 　　（1）物理意义：反映质点速度随时间变化的关系图象。 　　（2）从图象可获得的信息 　　a．瞬时速度与时刻的对应关系；图象与 v 轴的交点表示初速度，两条图象交点表示速度相等；根据 速度的正负判断运动的方向，速度为正，表示物体沿正方向运动；速度为负，表示物体沿负方向运动。 　　注意：v-t 图象相交的点不是质点相遇的点（只有从同一地点出发，且“面积”代数累计相等时，质 点才会相遇）。 　　b．判断物体运动的性质：在 v-t 图象中，平行于时间轴的直线表示匀速直线运动；和时间轴重合的 直线表示静止；倾斜的直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动。 　　c．速度图象的斜率表示加速度的大小和方向（斜率的正负表示加速度的方向） 　　d．速度图象和时间轴所围成的面积表示位移的大小，且 t 轴上方取正值，t 轴下方取负值，总位移为 其代数和。 要点七、用打点计时器测速度和加速度 要点诠释：1、用打点计时器测速度 v gt= 2 21 22h gt v gh= = 2 2t vv v= = 2x gT∆ = 1: 2 : 3 : 1:( 2 1) :( 3 2) :− − 第 5 页 共 22 页 　　打点计时器是记录运动物体在一定时间间隔内位移的仪器。电磁打点计时器的工作电压为交流 4~6V， 电火花计时器的工作电压为交流 220V，当电源频率为 50Hz 时，它们每隔 0.02s 打一个点。在纸带上打点 后，用 即可求得包含测量点在内的两点间的平均速度。若两点离得较近，便可将此平均速度作为 该测量点的瞬时速度。 2、用打点计时器测加速度 　　（1）判定被测物体的运动是否为匀变速直线运动的方法：可以计算出相邻相等时间内的位移差 x2-x1、x3-x2、x4-x3、…如果它们在允许的误差范围内位移差相等，则可以判定被测物体的运动是匀变速 直线运动. 　　（2）求瞬时速度 v 的方法： 　　　　 若纸带做匀变速直线运动，可利用平均速度公式 求解。如： 　　　　　　　　 　　（3）求加速度 a 的方法 　　　　　 　　①利用任意两段相邻记数点间的位移差求解。 　　② “逐差法”求解。如从纸带上得到 6 个相邻相等时间内的位移，则 　　　　 　　③利用 v-t 图线求 a：求出 A、B、C、D、E、F 各点的即时速度,画出 v-t 图线(如图所示),图线的斜率 就是加速度 a。 　　　　　　　　　　　　　　　 　　（4）注意事项 　　①实验中应先根据测量和计算得出的各Δx 判断纸带是否做匀变速直线运动，根据估算，如果各Δx 差值在 5%以内，可认为它们是相等的，纸带做匀变速直线运动。 　　②每打好一条纸带，将定位轴上的复写纸换个位置，以保证打点清晰，同时注意纸带打完后及时断开 电源。 　　③ 应区别计时器打出的点与人为选取的计数点，不可混淆。 　　④不要分段测量各段位移，应一次测量完毕(可先统一量出到点 O 之间的距离)，读数时应估读到毫米 下一位。 【典型例题】 类型一、位移和路程的区别和联系 t xv ∆ ∆= 2 t xv v t = = 2 3 2 x x vc T + = - 2 2( - ) x xx m na a T m n T ∆= =或 4 5 6 1 2 3 2 ( ) ( ) 9 x x x x x xa T + + − + +=第 6 页 共 22 页 例 1、一个电子在匀强磁场中沿半径为 R 的圆周运动。转了 3 圈回到原位置，运动过程中位移大小的最大 值和路程的最大值分别是（ ） 　　A．2R，2R；　　 　　　B．2R，6πR；　　　C．2πR，2R；　　　　D．0，6πR。 【思路点拨】注意本题强调的是最大值。 【答案】B 【解析】位移的最大值应是 2R，而路程的最大值应是 6πR。即 B 选项正确。 【点评】位移是表示质点位置变化的物理量，它是由质点运动的起始位置指向终止位置的矢量。而路程是 质点运动路线的长度，是标量。只有做直线运动的质点始终朝着一个方向运动时，位移的大小才与运动路 程相等。 举一反三 【变式】已知物体 t 时刻的末位置 Q,要完全确定该物体在 t=0 时的初位置 P,还必须知道( ) A.位移 B.路程 C.平均速率 D.平均速度 【答案】A 【解析】从 t=0 时刻的初位置 P 经过 t 时间运动到末位置 Q,全过程位移是唯一确定的,即从 P 到 Q 的有向 线段.故若已知末位置 Q,只有知道位移才能够确定物体在 t=0 时刻的初位置 P. 类型二、瞬时速度和平均速度的区别和联系 例 2、甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时驶向同一目标，甲车在前一半时间内以速度 V1 做匀速直线运 动，后一半时间内以速度 V2 做匀速直线运动；乙车在前一半路程中以速度 V1 做匀速直线运动，后一半路 程中以速度 V2 做匀速直线运动，则（　 ） 　　A．甲先到达　　 B.乙先到达　　　 C.甲、乙同时到达　　　D.不能确定 【思路点拨】根据平均速度的定义列出时间 t 的表达式即可。 【答案】A 【解析】设甲、乙车从某地到目的地距离为 x， 　　　　　 则对甲车有： 　　　　　 对于乙车有： 　　　　　 所以 　　　　　 由数学知识知 ，故 【点评】瞬时速度是运动物体在某一时刻或某一位置的速度，而平均速度是指运动物体在某一段时间 或某段位移 的平均速度，它们都是矢量。当 时，平均速度的极限，就是该时刻的瞬时速度。同 时要注意数学不等式 的应用。 类型三、速度、速度的变化和加速度的区别和联系 例 3、下列所描述的运动中，可能的有（　 ） 　　A．速度变化大，加速度很小　　　　 　　B．速度变化方向为正，加速度方向为负 　　C．速度越来越大，而加速度越来越小　　 D．速度变化越来越大，而加速度越来越小 【思路点拨】速度与加速度没有必然联系；速度变化越快，加速度越大。 【答案】ACD 1 2 2xt V V = +甲 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 V V xx xt V V VV += + =乙 2 21 21 )( 4 VV VV t t += 乙 甲 21 2 21 4)( VVVV >+ t t第 7 页 共 22 页 【解析】加速度的概念：加速度是描述速度变化快慢的物理量（ ），加速度的方向始终与速度变化 的方向一致，因此 B 是错误的；质点是否做加速直线运动不是由加速度大小和如何变化决定的，而是由加 速度方向与速度方向共同决定的。当加速度方向与质点运动方向一致时，不论加速度大小如何变化，质点 的速度都将是越来越大．因此，A、C、D 都是正确的． 【点评】加速度是描述速度变化的快慢和方向的物理量，是速度的变化和所用时间的比值，加速度的大小 和方向与速度的大小和方向没有必然的联系。只要速度在变化，无论速度多小，都有加速度；只要速度不 变化，无论速度多大，加速度总是零；只要速度变化快，无论速度是大、是小或是零，物体的加速度就大。 　　加速度的与速度的变化 也无直接关系。物体有了加速度，经过一段时间速度有一定的变化，因此 速度的变化 是一个过程量，加速度大，速度的变化 不一定大；反过来， 大，加速度也不一定大。 举一反三 【变式】有下列几种情景,请根据所学知识选择对情景的分析和判断正确的说法( ) ①点火后即将升空的火箭 ②高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急刹车 ③运动的磁悬浮列车在轨道上高速行驶 ④太空的空间站在绕地球做匀速转动 A.①因火箭还没运动,所以加速度一定为零 B.②轿车紧急刹车,速度变化很快,所以加速度很大 C.③高速行驶的磁悬浮列车,因速度很大,所以加速度很大 D.④尽管空间站匀速转动,加速度也不为零 【答案】BD 【解析】判断加速度是否存在的依据是看合外力是否为零或看速度变化的快慢,而不是看速度大小,所以选 项 B 正确.一个物体运动速度大,但速度不发生变化,如匀速直线运动,它的加速度为零,所以选项 C 错误. 曲线运动的速度方向发生了变化,速度就发生了变化,所以一定有加速度,选项 D 正确.点火后虽然火箭速 度为零,但由于合外力很大而具有很大的加速度,所以选项 A 错误. 类型四、应用“运动图象”解决质点运动问题 　　 例 4、一物体自 t=0 时开始做直线运动，其速度图线如图所示。下列选项正确的是（ ） 　　　A.在 内，物体离出发点最远为 30m 　　　B.在 内，物体经过的路程为 40m 　　　C.在 内，物体的平均速率为 7.5m/s D. 在 内，物体的位移为 50m 　　　　 【思路点拨】速度图线中，速度可以直接从纵坐标轴上读出，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线 va t ∆= ∆ v∆ v∆ v∆ v∆ 0 6s～ 0 6s～ 0 4s～ 0 4s～第 8 页 共 22 页 下的“面积”，在坐标轴下方的“面积”为负. 【答案】ＢＣ 【解析】速度图线中，速度可以直接从纵坐标轴上读出，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线下的 “面积”，在坐标轴下方的“面积”为负。 　　对 A， ,物体向正向运动， 向负向运动，故 5s 末离出发点最远，A 错 　　对 B，由面积法求出 的位移 s1=35m, 的位移 s2=-5m,总路程为 40m,B 对 　　对 C，由面积法求出 的位移 s=30m，平度速度为： =s/t=7.5m/s，C 对，D 错 【点评】运动图象包括速度图象和位移图象，要能通过坐标轴及图象的形状识别各种图象，知道它们分别 代表何种运动，注意速度图象和位移图象斜率的物理意义不同，x-t 图象的斜率为速度，而 v-t 图象的斜 率为加速度，图线和 t 轴所围的面积表示物体的位移。 举一反三 【变式 1】龟兔赛跑的故事流传至今，按照龟兔赛跑的故事情节，兔子和乌龟的位移图象如图所示，下列 关于兔子和乌龟的运动正确的是（　 ） 　　A．兔子和乌龟是同时从同一地点出发的 　　B．乌龟一直做匀加速运动，兔子先加速后匀速再加速 　　C．骄傲的兔子在 T4 时刻发现落后奋力追赶，但由于速度比乌龟的速度小，还是让乌龟先到达预定位 移 S3 　　D．在 0～T5 时间内，乌龟的平均速度比兔子的平均速度大 　　 　　　　　　　　　　 【答案】D 【解析】从图中看出，0—T1 这段时间内，兔子没有运动，而乌龟在做匀速运动，所以 A 选项错；乌龟一 直做匀速运动，兔子先静止后匀速再静止，所以 B 选项错；在 T4 时刻以后，兔子的速度比乌龟的速度大， 所以 C 选项错；在 0～T5 时间内，乌龟位移比兔子的位移大，所以乌龟的平均速度比兔子的平均速度大， 即 D 选项正确。 【变式 2】一质点从 A 点开始运动,沿直线运动到 B 点停止,在运动过程中,物体能以 a1=6.4 m/s2 的加速度 加速,也能以 a2=1.6 m/s2 的加速度减速,也可以做匀速直线运动.若 AB 间的距离为 1.6 km,质点应该怎样运 动,才能使它的运动时间最短,最短时间为多少? 【答案】先匀加速运动,再匀减速运动 50 s 【解析】根据题意,质点运动方式可能有:①先做一段时间的匀加速运动,中间经历一段时间的匀速直线运 动,最后做匀减速运动至 B 点速度正好为零.②中间不经历匀速运动,先匀加速一段时间,后做匀减速运动 停在 B 点.分别作出两种运动的 v-t 图象,考虑到位置相等(两斜线部分的面积应相等).从图中容易看出第 二种运动方式时间最短.由图中可看出 t1､t2 两段时间内的平均速度为 ,则 0 5s 5 6s 0 5s 5 6s 0 4s～ v 0v / 2 0 1 0 2 0 2 2 2 v t v t v t+ =第 9 页 共 22 页 又因为: 有: 和 v0= . 所以:t= =50 s 故应先匀加速运动,再匀减速运动;最短时间为 50 s. 类型五、应用匀变速直线运动的规律解决问题 例 5、一质点做匀变速直线运动，从 A 至 B 用了 5s，其中前三秒的位移为 18m，后三秒的位移为 24m，求 质点通过 A 点和 B 点的瞬时速度及质点在每一秒内的位移。 【思路点拨】画出运动示意图，根据运动学公式即可求出。 【答案】 5m 6m 7m 8m 9m 【解析】在求解运动问题时应根据题意画出运动的示意图。 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　利用所给的条件，可以很容易地求出前三秒的平均速度为 6m/s，即为前三秒的中间时刻 vC 的瞬时速 度， 。后三秒的平均速度为 8m/s，为后三秒的中间时刻 vD 的瞬时速度 　　由题意可知自 C 至 D 所用时间为 2s，速度变化 。质点的加速度 　　由 A→C，历时 1.5s，速度应增加 1.5m/s，故 　　由 D→B，历时也为 1.5s，速度也增加 1.5m/s，故 　　质点在第一秒内的位移 　　又 。第二秒位移为 6m，第三秒位移为 7m，第四秒位移为 8m，第五秒位移为 9m。 【点评】做匀变速直线运动的物体在整个运动过程中的加速度始终保持不变，不仅加速度的大小不变，而 且方向也不变。我们在学习过程中要把握住匀变速直线运动的特点，利用规律处理实际问题。在处理问题 中，要注意一题多解，例如本题由于应用了匀变直线运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度这一关系， 大大简化了运算过程。如果套用运动学三公式，则因未知数较多，求解过程将较繁杂。 　　举一反三： 【高清课程：描述直线运动的概念的规律 35 页例题】 【变式 1】骑自行车的人以 5m/s 的初速度冲上斜坡，作匀减速运动，加速度大小是 0.4m/s2，经过多长时 间骑车人的速度减为零？经过 10s，在斜坡上通过多长距离？ 【答案】12.5s 30m 0 1 1 2 2v a t a t= = ( )0 1 2 0 1 0 2 2 1 1 1 2 2 1 2v a a v a v a a a t a a t a a t+ = + = + = 1 2 1 2 a a a a+ 3 1 2 1 2 2 ( ) 2 1.6 10 (1.6 6.4) 1.6 6.4 s a a a a + × × × += × A 4.5m / sv = B 9.5m / sv = C 6m / sv = D 8m / sv = 2m / sv = 2a 1m / sv t ∆= =∆ A 4.5m / sv = B 9.5m / sv = 2 2 I A 1 1t at 4.5 1 1 1 5m2 2x v= + = × + × × = 2 2aT 1 1 1mx = = × =第 10 页 共 22 页 【变式 2】某矿井的升降机，由井底从静止开始做匀加速直线运动，经过５秒钟速度达到 5m/s,又匀速上 升了 30s 钟，最后 8s 钟做匀减速运动停在井口。求矿井的深度？ 【答案】182.5m 类型六、自由落体运动 例 6、（2016 临汾市曲沃中学高三月考）如图所示，长为 l1=5 m 的竖直杆上端距地面 H=50 m，杆正下 方距杆下端 l2=12 m 处有一薄圆环。杆由静止释放，1 s 后圆环也由静止释放，杆和环均不转动，不计空气 阻力，取 g=10 m／s2，求： （1）杆追上圆环后穿过环所用的时间； （2）杆穿过圆环后，杆上端与圆环的最大距离。 【解析】（1）设杆下落后经过时间 t1，下端追上圆环， 有： ， 解得：t1=1.7 s， 设经过时间 t2 杆上端离开圆环， 有： 解得：t2=2.2 s， 穿过圆环时间：t=t2－t1=0.5 s。 （2）杆落地时两者距离最远，设杆经过 t3 落地， 有： ， 解得：t3=3 s， 圆环下降距离： ， 最大距离：Δh=(H－l1)－(l1+l2+h)=8 m。 【总结升华】本题关键是明确杆和环的运动规律，然后多次根据位移时间关系公式列式求解。 举一反三 【变式】 一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后 1s 内通过的位移是整个位移的 9/25，求塔高。（g 取 10m/s2） 【答案】125m 类型七、匀减速直线运动问题的处理 例 7、(2015 永州三模)某汽车训练场地有如图设计，在平直的道路上，依次有编号为 A、B、C、D、E 的五 根标志杆，相邻杆之间的距离 ΔL＝12.0 m。一次训练中，学员驾驶汽车以 57.6km/h 的速度匀速向标志杆驶来， 教练与学员坐在同排观察并记录时间。当教练经过 O 点时向学员发出指令：“立即刹车”，同时用秒表开始计时。 学员需要经历 Δt 的反应时间才开始刹车，刹车后汽车做匀减速直线运动，停在 D 标杆附近。教练记录自己经 过 B、C 杆时秒表的读数分别为 tB＝4.5 s，tC＝6.5 s，已知 LOA＝44 m，教练距车头的距离 Δs＝1.5 m。求： 2 2 1 2 1 1 1 ( 1)2 2gt l g t− = − 2 2 2 1 2 2 1 1 ( 1)2 2gt l l g t− − = − 2 1 3 1 2H l gt− = 2 3 1 ( 1) 20m2h g t= − =第 11 页 共 22 页 (1)学员的反应时间 Δt 和刹车后汽车做匀减速运动的加速度大小 a； (2)汽车停止运动时，车头离标志杆 D 的距离 Δx。 【答案】（1）学员的反应时间 ； 汽车开始刹车后做匀减速直线运动的加速度大小 为 ； （2）汽车停止运动时车头前端面离 D 的距离为 。 【解析】（1）汽车从 O 到标志杆 B 的过程中： 汽车从 O 到标志杆 C 的过程中： 联立方程组得： ， （2）汽车从开始到停下运动的距离： 可得： 因此汽车停止运动时车头前端面在 CD 之间离 D： 【点评】在处理质点做匀减速直线运动时，一定要考虑质点速度减到零的真实位移。 举一反三 【变式】如图所示，小球以 、加速度为 沿斜面向上运动，斜面长 L=10m．求小 球经过中点需要的时间。 　 【答案】 类型八、追及（相遇）问题 例 8、(2015 吉林三模)在一笔直公路上有 a、b、c 三辆汽车，它们同时经过同一路标开始计时，此后的 v-t 图象示意如图，下列判断正确的是（ ） a 22m s 6.5m 22a m s= 2 0 0 2 vx v t a = ∆ + 72x m= 0.5t s∆ = 2 0 0 1( ) ( )2OA B BL L v t v t t a t t+ ∆ = ∆ + − ∆ − − ∆ 2 0 0 12 ( ) ( )2OA C CL L v t v t t a t t+ ∆ = ∆ + − ∆ − − ∆ 0.5t s∆ = 3 (44 36 72 1.5)m 6.5mOAL L x s+ ∆ − − ∆ = + − − = 0v 10m s= ／ 2a 5m / s= − 1 22 2( ) 2 2( )t s t s= + = −第 12 页 共 22 页 A．在 时刻 a、b 速度相等 B． 时间内，a、b 间距离在减小 C． 时间内，a 位于 b、c 后面 D． 时刻以后，b 位于 a、c 前面 【答案】B 【解析】A、根据图象可知，在 t1 时刻 a、b 速度相等．故 A 正确． B、0 时刻两车同时经过公路旁的同一个路标，在 t1 时间内 a 车速度大于 b 的速度，a 车在 b 车的前方，所以两车逐渐远离，距离增大，故 B 错误； C、0～t1 时间内，a 的位移最大，所以 a 位于 b、c 前面，t1 时刻以后的一段时间内，a 位于 b、c 前面，故 C D 错误。 故选：A 【点评】追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同 一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位 移关系。若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。若物体 同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发 Δt，则运动时间关系为 。要使物体相遇就必须同 时满足位移关系和运动时间关系。 举一反三 【变式】火车以速率 V1 向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为 S 处有另一辆火车， 它正沿相同的方向以较小的速率 V2 做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，加速度大 小为 a,要使两车不致相撞，求出 a 应满足关式。 【答案】 类型九、用打点计时器测匀变速直线运动的加速度 例 9、做匀变速直线运动的小车带动纸带通过打点计时器，打出的部分计数点如图所示.每相邻两计数点间 还有四个点未画出来，打点计时器使用的是 50 Hz 的低压交流电.求打点计时器打计数点“2”时，小车的 速度 v2 等于多少?小车的加速度 a 等于多少?请你依据本实验原理推断第 7 计数点和第 8 计数点之间的距 离大约是多少。 　　　　　 　　 【思路点拨】某点的速度用平均速度来求，加速度可用逐查法求解。 【答案】0.49 m/s 0.88 m/s2 9.74cm 【解析】（1） （2）由于两相邻间点所用的时间为 及 ，且有 1t 10 t− 10 t− 10 t− t t t= + ∆甲 乙 S VVa 2 )( 2 21 −≥ 13 2 2 (4.47 5.34) 10 / 0.49 m / s2 0.1v v m s −+ ×= = =× T 0.1 s= 2x aT∆ =第 13 页 共 22 页 根据公式 得： （3） 举一反三 【变式】在研究匀变速直线运动的实验中，算出小车经过各计数点瞬时速度如下 计数点序号 1 2 3 4 5 6 计数点对应的时刻（s） 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 通过计数点的速度（cm／s） 44.0 62.0 81.0 100.0 110.0 168.0 　　为了计算加速度，合理的方法是（　　　 ） 　　A．根据任意两计数点的速度用公式 算出加速度 　　B．根据实验数据画出 v－t 图，量出其倾角，由公式 求出加速度 　　C．根据实验数据画出 v－t 图，由图线上相距较远的两点所对应的速度、时间，用公式 算出 加速度 　　D．依次算出通过连续两计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度 【 答 案 】 C 23 12 34 23 45 34 56 45 67 56 x x 5.34 cm 4.47 cm 0.87 cm x x 6.21 cm 5.34 cm 0.87 cm x x 7.10 cm 6.21 cm 0.89 cm x x 8.00 cm 7.10 cm 0.90 cm x x 8.86cm 8.00cm 0.86cm x 0.88cm − = − = − = − = − = − = − = − = − = − = ∆ ≈ 2x aT∆ = 2 2 2 2 2 0.88 10 / 0.88 m / s0.1 xa m sT −∆ ×= = = 78 67x x x 8.86 cm 0.88 cm 9.74 cm= + ∆ = + = va t ∆= ∆ a tanα= va t ∆= ∆第 14 页 共 22 页 【巩固练习】 一、选择题： 1、下面哪种情况物体可看成质点（ ） A、研究一端固定可绕该端转动的木杆 B、确定大海中航船的位置 C、走钢丝表演的杂技演员 D、研究自行车轮绕车轴的转动 2、质点做直线运动的速度—时间图象如图所示．则( ) A、在前 3s 内质点做匀变速直线运动 B、在 1～3s 内质点做匀变速直线运动 C、在 2～3s 内质点的运动方向与规定的正方向相反，加速度同 1～2s 内的加速度相同 D、前 3s 的位移是 4m 3、汽车刹车后做匀减速直线运动，最后停了下来，在刹车过程中，汽车前半程的平均速度与后半程的平 均速度之比是( ) A、 B、2:1 C、 D、1:2 4、关于自由落体运动，下面说法中正确的是( ) A、它是竖直向下且 v0＝0，a＝g 的匀加速直线运动 B、在开始连续的三个 1s 内通过的位移之比是 1:3:5 C、在开始连续的三个 Is 末的速度大小之比是 1:2:3 D、从开始运动起依次下落三段相同的位移，每段所经历的时间之比为 1: : 5、一物体从高 x 处做自由落体运动，经时间 t 到达地面，落地速度为 v，那么当物体下落时间为 时，物 体的速度和距地面高度分别是( ) A、 ， B、 ， C、 ， D、 ， 6、一质点做匀减速直线运动，第 5s 末速度为 v，第 9s 末速度为-v，则质点在运动过程中( ) A、第 7s 末的速度为零 B、5s 内和 9s 内位移大小相等，方向相反 C、第 8s 末速度为-2v ( 2 1) 1+ ∶ 1:( 2 1)+ 2 3 3 t 3 v 9 x 9 v 9 x 3 v 8 9 x 9 v 3 3 x第 15 页 共 22 页 D、5s 内和 9s 内位移大小相等 7、一质点做直线运动，当 t＝t0 时，x＞0，v＞0，a＞0，此后加速度 a 均匀减小，则下列说法正确的是( ) A、速度继续增大，直到 a 等于零为止 B、位移继续增大，直到 a 等于零为止 C、速度开始减小，直到 a 等于零为止 D、位移开始减小，直到 a 等于零为止 8、(2015 马鞍山三模)一质点沿 x 轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其x t－t 的图象如图所 示，则 A．质点做匀速直线运动，速度为 0.5 m/s B．质点做匀加速直线运动，加速度为 0.5 m/s2 C．质点在 1 s 末速度为 1.5 m/s D．质点在第 1 s 内的平均速度 0.75 m/s 9、（2016 沈阳市高考物理一模）如图所示为甲、乙两物体从同一位置出发沿同一方向做直线运动的 v—t 图象，其中 t2=2t1，则下列判断正确的是（ ） A．甲的加速度比乙的大 B．t1 时刻甲、乙两物体相遇 C．t2 时刻甲、乙两物体相遇 D．0～t1 时间内，甲、乙两物体之间的距离逐渐减小 10、(2015 肇庆三测)四辆小车从同一地点向同一方向运动的情况分别如下图所示，下列说法正确的是( ) A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动 B．这四辆车均从静止开始运动 C．在 0～t2 时间内，丙、丁两车在时刻 t2 相距最远 D．在 0～t2 时间内，丙、丁两车间的距离先增大后减小 二、填空题: 1、利用水滴下落可以测量重力加速度 g，调节水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一盘子， 调整盘子的高度，使一滴水碰到盘子时，恰好有另一滴水从水龙头开始下落，而空中还有两个正在下落的 水滴，测出水龙头滴水处到盘子的高度为 x(m)，再用秒表测量时间，从第一滴水离开水龙头开始，到第Ⅳ 滴水落至盘中，共用去时间为 T(s)．当第一滴水落到盘中时，第二滴水离盘子的高度为________m，重力 加速度 g＝________m/s2. 2、某研究性学习小组让重锤做自由落体运动，利用打点计时器打出的纸带来测量武汉地区的重力加速度， x t /m·s-1 t/s O-1 0. 55 55 55第 16 页 共 22 页 在实验中得到 6 条纸带，如图所示为其中一条，在纸带上取 6 个计数点，两个相邻计数点间的时间间隔为 T＝0.02s．其中 1、2、3 点相邻，4、5、6 点相邻，在 3 点和 4 点之间还有若干个点．1、3 两点之间的距 离为 s1，2、5 两点之间的距离 s2，4、6 两点之间的距离为 s3． (1)测 s1、s2、s3 后，2 点速度的表达式 v2＝______． (2)若测得的数据分别是 s1＝4.00cm，s 2＝19.30cm，s 3＝8.72cm，则根据数据求出重力加速度 g＝ ________m/s2(保留三位有效数字)． (3)测量值小于武汉地区的重力加速度 g＝9.79m/s2 的原因是___________． 3、我国交流电的频率为 50Hz．因此打点计时器每隔________打一个点．如图所示为某次实验时打出的一 条纸带，其中 1，2，3，4 为依次选定的计数点(每两个计数点间还有 4 个点图中未画出)，根据图中标出 的数据，可以判定实验物体运动的性质是________，判断的根据是_______，加速度是________m/s2．经过 计数点 2 时的瞬时速度 v2＝________m/s. 三、计算题: 1、以 18m/s 的速度行驶的汽车，制动后做匀减速运动，在 3s 内前进了 36m，求汽车的加速度． 2、某列车做匀变速直线运动，一个人在站台上观察列车，发现相邻的两个 10s 内，列车分别从他跟前驶 过 8 节和 6 节车厢，每节车厢长 8m，且连接处长度不计，求火车的加速度 a 和人开始计时时火车的速度大 小． 3、1935 年在一条直线铁轨上，有一列火车因蒸汽不足而停驶，驾驶员 A 把货车厢甲(如图所示)留在现场， 只拖着几节车厢向前方不远的车站开进，但他忘了将货车厢刹好，使货车厢甲在斜坡上以 4m/s 的速度匀 速后退，此时另一列火车乙正以 16m/s 的速度向该货车厢驶来，驾驶技术相当好的驾驶员 B 立即刹车，紧 接着加速倒退，结果恰好接住了货车厢甲，从而避免了相撞．设火车乙刹车过程和加速倒退过程均为匀变 速直线运动，且加速度大上均为 a＝2m/s2，当驾驶员 B 发现货车厢甲向自己驶来立即开始刹车时，两车相 距多远？ 4、(2015 济南一模)2014 年 12 月 26 日，我国东部 14 省市 ETC 联网正式启动运行，ETC 是电子不 停车收费系统的简称。汽车分别通过 ETC 通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以 v1=15m／s 朝收费站正常沿直线行驶，如果过 ETC 通道，需要在收费站中心线前 l0 m 处正好匀减速至 v2=5 m／s，匀 速通过中心线后，再匀加速至 v1 正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过 20 s 缴费成功后，再启动汽车匀加速至 v1 正常行驶。设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为 l m／s2。第 17 页 共 22 页 求 (1)汽车过 ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小 (2)汽车通过 ETC 通道比通过人工收费通道节约的时间是多少？ 5、（2016 山东省部分名校高三第二次调研联考）高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在 前，乙车在后，速度均为 v0=108 km／h，距离 s0=100 m，t=0 时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速 度随时间变化如图所示（左图为甲，右图为乙），取运动方向为正方向。 （1）t=3 s 时甲车速度是多少?此时甲乙两车间距是多少？ （2）通过计算说明两车在 0～9 s 内会不会相撞？ （3）上一问中如果相撞，则求出相撞时间；如果不相撞，则求第 9 s 末两车的间距。 （4）分别作出两车的速度一时间图线。第 18 页 共 22 页 【答案与解析】 一、选择题： 1、B 解析：质点是一个理想化模型，没有大小和形状，是具有被代替物体全部质量的几何点，选项 ACD 中所描 述的问题中，物体的大小和形状都起主要作用，不能把大小和形状忽略掉而把它们看作质点，故 A、C、D 三个选项都是错误的。航船的尺寸和形状与航行的距离相比可以忽略，因而可看作质点，选项 B 正确。 2、BC 解析：由图象可知，质点在 0～1s 内做速度 v0＝2m/s 的匀速直线运动，在 1～3s 内做匀变速直线运动，加 速度的方向与初速度 v0 的方向相反，所以 A 不正确，B 正确．在 2～3s 内，速度为负值，说明质点运动方 向与规定的正方向相反，但加速度与 1～2s 内的完全相同，但加速度与 1～2s 内的完全相同，因为图象的 斜率没有变化，所以 C 正确．至于位移，可利用图象与时间轴围成的面积来求，前 1s 内，位移 ； 内 ， 位 移 ； 内 ， 位 移 ，所以总位移 ．而不是 4m，所以 D 不正确． 3、A 解析：设汽车刹车的加速度大小为 a，刹车时间为 t2，后半程所用时间为 t1，刹车位移为 x．如图所示．把 此过程看做初速度为零的匀加速直线运动的逆过程． 由 得 ， ，所以， ， ，即 ． 由 得，前、后两半程的平均速度为 ， ． 所以 :1，即仅 A 正确． 4、ABC 解析：自由落体运动是初速度为零，加速度为 g 的匀加速直线运动，所以遵从初速度为零的匀加速直线运 动的一切规律，故 A、B、C 正确；D 中应为 ，故 D 不正确． 5、C 解 析 ： 根 据 运 动 学 公 式 v ＝ gt ， 得 速 度 v 与 时 间 t 成 正 比 ， 所 以 下 落 时 间 为 时 的 速 度 为 ．根据公式 得下落位移 x 与时间的平方 t2 成正比，所以下落 时下落的高度为 1 0 1 2m /s 1s 2mx v t= = = 1 2s～ 2 0 2 1 1 2m /s 1s 1m2 2x v t= = × × = 2 3s～ 3 0 3 1 1( ) 2m /s 1s 1m2 2x v t= − = − × × = −  1 2 3 2m 1m 1m 2mx x x x= + + = + − = 21 2x at= 2 2 1 2x at= 2 1 1 2 2 x at= 2 2xt a = 1 xt a = 2 1: 2 :1t t = xv t = 2 1 2 x v t t = −前 1 2 x v t =后 v v前 后∶ 1 1 ( 2 1) 2 1 = = + − ∶ 1:( 2 1) :( 3 2)− − 3 t 3 3 ′ = = t vv v t 21 2x gt= 3 t第 19 页 共 22 页 ． 所以距地面高度 ． 6、AD 解析：作出 v-t 图象分析较简便． 7、A 解析：因为 v＞0，a＞0，所以是加速运动，故 v 增大，当 a＝0 时速度最大，A 对、C 错．因为 x＞0，v＞ 0，所以位移应一直增大，B、D 均错． 8、C 解析： ，得 ，x t－t 图象的斜率为 ，图线的斜率等于加速度的 2 倍，则 根据图像可以算出 ,故 B 错；倾斜的直线表示匀加速直线运动，故 A 错误；由 可知质点在 1 s 末速度为 1.5 m/s，故 C 正确；质点在第 1 s 内的平均速度 ，故 D 错。 9、C 解析：图线斜率表示加速度，根据图象可知，乙的斜率大于甲的斜率，所以乙的加速度大，故 A 错误；图 线与时间轴围成的面积表示位移，则 0～t1 时间内甲、乙两物体位移相同，相遇，t2 时刻甲、乙两物体相遇 速度相等，故 B 错误，C 正确； 0～t1 时间内，乙的速度始终大于甲的速度，所以 0～t1 时间内，甲、乙两物体之间的距离逐渐增大，故 D 错误。故选 C。 10、C 解析：由图象可知：甲做匀速直线运动，乙做速度越来越小的变速直线运动，选项 A 错误；x-t 图象的斜 率表示速度，v-t 图象的斜率表示加速度，故乙车做减速直线运动，甲车做匀速直线运动，而不是从静止开 始运动，选项 B 错误；由图象与时间轴围成的面积表示位移可知：丙、丁两车在 t2 时刻面积差最大，所 以相距最远，在 0～t2 时间内，丙、丁两车间的距离一直增大。选项 C 正确、D 错误． 二、填空题: 1、 解析：因为任意两滴水之间的时间间隔相等．设任意两滴水之间的时间间隔为 t，则第一滴水自由下落的 时间为 3t，则有 ． 第一滴水落到盘子上时，第二滴水下落的时间为 2t，则第二滴水离盘子的高度 bktt x += 2 0 2 2 1 attvbtktx +=+= a2 1 212 5.0 Δ Δ2 smt va === smatvv 5.1115.00 =×+=+= smvvv 12 5.15.0 2 0 =+=+= 2 2 13 9    ′ = = t x x xt 1 8 9 9x x x x x x′= − = − =距 5 9 x 2 2 2( 2) 9 N x T + 21 (3 )2x g t=第 20 页 共 22 页 ，又因为 ． 所以，重力加速度 ． 2、（1） （2）9.72 （3）纸带的阻力、空气阻力等对打点计时器的影响 3、0.02 匀加速直线运动 △s 恒定 6.05 0.025 三、计算题: 1、 解 析 ： 根 据 匀 变 速 直 线 运 动 的 位 移 公 式 ， 得 汽 车 的 加 速 度 为 2、 解析：根据匀变速直线运动规律 ，得列车加速度 ． 又根据 得，人开始计时时列车的初速度为 ． 3、100m 解析：乙车减速至速度为零的过程历时 ． 乙车在此时间内的位移为 ． 乙车反向加速后退至恰好接住甲车（此时两车速度相等）的过程历时 ． 乙车在此时间内的位移 ． 在 时间里，甲车位移 2 2 1 4 5(2 )2 9 9x x g t x x x= − = − = ( 2)N t T+ = 2 2 2 2 2( 2) 9 9 x N xg t T += = 1 2 s T 24m / s− 2 0 1 2x v t at= + 2 20 2 2 2( ) 2 (36 18 3) m / s 4m / s3 x v ta t − × − ×= = = − 20.16m / s− 7.2m / s 2 2 1x x at− = 2 1 2 2 (6 8) 8m (10s) x xa t − − ×= = 20.16m /s= − 2 0 1 2x v t at= + 2 0 1 1(6 8) 8m 0.16 400m2 2 7.2m / s20s x at v t − + × + × × = = = 1 16 s 8s2 vt a = = =乙 2 2 1 16 m 64m2 2 2 vx a = = =× 乙 2 4 2s2 vt v = = =甲 乙 2 2 2 4 m 4m2 4 vx a = = =甲 1 2 (8 2)s 10st t t= + = + =第 21 页 共 22 页 ． 故驾驶员 B 刹车时，两车相距 ． 4、(1)汽车过 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小为 ； (2)汽车通过 通道比通过人工收费通道节约的时间是 。 解析：（1）过 通道时，减速的位移和加速的位移相等，均为： 所以总的位移： （2）过 通道时; 过人工收费通道时: ， 二者的位移差: 在这段位移内过 通道时是匀速直线运动 所以: 5、 解析：（1）由图象知，甲车在 0～3 s 内做匀减速直线运动，初速度 v0=108 km／h=30 m／s，则 3 s 末，甲 车的速度 v=v0－at=0 m／s， 此时甲车的位移 。 乙车作匀速直线运动，位移 x2=v0t=90 m， 则两车相距的距离 Δx=x1+x0－x2=55 m，甲车还在乙车的前方。 （2）3 s 后，甲做初速度为零的匀加速直线运动，乙做匀减速直线运动，两车在 3 s 时相距 55 m。此 后前面的甲车从静止开始做匀加速直线运动，后面的乙车以 30 m／s 做匀减速直线运动。 当两车速度相等时，有 a 甲 t＇=v0+a 乙 t＇，解得 t＇=3 s， 此时前面甲的位移 ， 后面乙的位移 ， 因为 x 甲+Δx=77.5＞Δx 乙，故知两车不会相撞。 （3）对乙车在 3～9 s，v 乙=v0－a 乙 t=0，可以得到乙车在 9 s 未的速度为零，则 3～9 s 内乙车的位移 ，3～9 s 内甲车的位移 ， （则在 3～9 s 内，两车都向前运动了 90 m，其间距显然不变） 则两车在 9 s 时的间距 Δx＇=x＇+55－x1＇=55 m。 （4）速度一时间图线如图所示： ETC 210m ETC 27s ETC a vvS 2 3 2 2 1 1 −= m210102 11 =+= SS总 ETC s22102 2 21 1 =+×−= va vvt s502021 2 =+×= a vt m22522 2 1 2 =×= a vS m1521022512 =−=−= SSS∆ ETC 27s 1 12 =+−= ）（ v Sttt ∆∆ 4 10m 40mx v t= = × =甲 甲 1 2 (40 64 4)m 100mx x x x= + − = + − =甲 2 0 1 0 45m2 vx a −= = 21 ' 22.5m2x a t= =甲 甲 2 0 1' ' 67.5m2x v t a t= + =乙 乙 2 0 1 0' 90m2 vx a −= = 乙 2 2 1' 90m2x a t= =甲第 22 页 共 22 页