8.4 因式分解
教学目标：
(一)教学知识点
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系．
(二)能力训练要求
通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力．
(三)情感与价值观要求
通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．
教学重、难点：
教学重点：
1．理解因式分解的意义．
2．识别因式分解与整式乘法的关系．
教学难点：
通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
[师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？
[生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2．
[ 师 ] 对 ， 这 是 大 家 学 过 的 平 方 差 公 式 ， 我 们 是 在 整 式 乘 法 中 学 习 的 ． 从 式 子
(a+b)(a-b)=a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边
呢？即a2-b2=(a+b)(a-b)是否成立呢？
[生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个
式子交换一下位置还成立．
[师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内
容：因式分解的问题．
二、明确目标，互助探究：
1､想一想
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运
算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
[生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式
分解，这两种过程正好相反．
[生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)
来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反．
[师]非常棒．下面我们一起来总结一下．如：m(a+b+c)=ma+mb+mc (1)
ma+mb+mc=m(a+b+c) (2)
联系：等式(1)和(2)是同一个多项式的两种不同表现形式．
区别：等式(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．
等式(2)是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解．
即ma+mb+mc m(a+b+c)．
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．
2､议一议
你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．
[师]大家可以观察a3-a与993-99这两个代数式．
[生]a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)
3､做一做
(1)计算下列各式：
①(m+4)(m-4)=__________；
②(y-3)2=__________；
③3x(x-1)=__________；
④m(a+b+c)=__________；
⑤a(a+1)(a-1)=__________．
[生]解：①(m+4)(m-4)=m2-16；
②(y-3)2=y2-6y+9；
③3x(x-1)=3x2-3x；
④m(a+b+c)=ma+mb+mc；
⑤a(a+1)(a-1)=a(a2-1)=a3-a．
(2)根据上面的算式填空：
①3x2-3x=( )( )；
②m2-16=( )( )；
③ma+mb+mc=( )( )；
④y2-6y+9=( )2．
⑤a3-a=( )( )．
[生]把等号左右两边的式子调换一下即可．即：
①3x2-3x=3x(x-1)；
②m2-16=(m+4)(m-4)；
③ma+mb+mc=m(a+b+c)；
④y2-6y+9=(y-3)2；⑤a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)．
[师]能分析一下两个题中的形式变换吗？
[生]在(1)中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在(2)中正好相反，等
号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式．
[师]在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法；在(2)中由多项式推出整式乘积的形式
是因式分解．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解
(factorization)．
4､练习
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
(1)4a(a+2b)=4a2+8ab；
(2)6ax-3ax2=3ax(2-x)；
(3)a2-4=(a+2)(a-2)；
(4)x2-3x+2=x(x-3)+2．
[生](1)左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不
是因式分解；
(2)左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；
(3)和(2)相同，是因式分解；
(4)是因式分解．
[师]大家认可吗？
[生]第(4)题不对，因为虽然x2-3x=x(x-3)，但是等号右边x(x-3)+2整体来说它还是一
个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以(4)的变形不是因式分解．
三、总结归纳，课堂反馈
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整
式乘法与因式分解的关系是相反方向的变形．
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