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平面向量应用举例
预习课本 P109～112，思考并完成以下问题.
(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
(2)如何用向量方法解决物理问题？
(3)如何判断多边形的形状？
[新知初探]
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题
转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．
(3)动量 mv 是向量的数乘运算．
(4)功是力 F 与位移 s 的数量积．
[小试身手]
1．若向量
1OF ＝(2,2)，
2OF ＝(－2,3)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．(4，－1)
C．2 2 D．5
答案：D
2．在四边形 ABCD 中，
AB ·
BC ＝0，
BC ＝
AD ，则四边形 ABCD 是( )
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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答案：C
3．力 F＝(－1，－2)作用于质点 P，使 P 产生的位移为 s＝(3,4)，则力 F 对质点 P 做的
功是________．
答案：－11
向量在几何中的应用
题点一：平面几何中的垂直问题
1.如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE.
证明：法一：设
AD ＝a，
AB ＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又
DE ＝
DA ＋
AE ＝－a＋1
2b，
AF ＝
AB ＋
BF ＝b＋1
2a，
所以
AF ·
DE ＝ b＋1
2a ·
－a＋1
2b ＝－1
2a2－3
4a·b＋1
2b2＝－1
2|a|2＋1
2|b|2＝0.故
AF ⊥
DE ，即 AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，
F(2,1)，
AF ＝(2,1)，
DE ＝(1，－2)．
因为
AF ·
DE ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以
AF ⊥
DE ，即 AF⊥DE.
题点二：平面几何中的平行(或共线)问题
2. 如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD，AB 上，且CE
ED
＝AF
FB
＝
1
2.
求证：点 E，O，F 在同一直线上．
证明：设
AB ＝m，
AD ＝n，
由CE
ED
＝AF
FB
＝1
2
，知 E，F 分别是 CD，AB 的三等分点，
∴
FO ＝
FA ＋
AO ＝1
3
BA ＋1
2
AC天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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＝－1
3m＋1
2(m＋n)＝1
6m＋1
2n，
OE ＝
OC ＋
CE ＝1
2
AC ＋1
3
CD
＝1
2(m＋n)－1
3m＝1
6m＋1
2n.
∴
FO ＝
OE .
又 O 为
FO 和
OE 的公共点，故点 E，O，F 在同一直线上．
题点三：平面几何中的长度问题
3.如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，求对角线 AC
的长．
解：设
AD ＝a，
AB ＝b，则
BD ＝a－b，
AC ＝a＋b，
而|
BD |＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝1
2
，又|
AC |2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|
AC |
＝ 6，即 AC＝ 6.
用向量方法解决平面几何问题的步骤
向量在物理中的应用
[典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以 12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25
km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
(2)已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点
B(7,0)，求 F1，F2 分别对质点所做的功．
[解] (1) 如图，设
AB 表示水流的速度，
AD 表示渡船的速度，
AC 表示渡船实际垂
直过江的速度．
因为
AB ＋
AD ＝
AC ，所以四边形 ABCD 为平行四边形．
在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，|
DC |＝|
AB |＝12.5，|
AD |＝25，天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 30°.
(2)设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W＝F·s.
∵
AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·
AB ＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·
AB ＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
[一题多变]
1．[变设问]本例(2)条件不变，求 F1，F2 的合力 F 为质点所做的功．
解：W＝F·
AB ＝(F1＋F2)·
AB ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－
15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．
2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质点
从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：F1，
F2 分别对该质点做的功．
解：
AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·
AB ＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)．
F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·
AB ＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)．
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
层级一 学业水平达标
1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，
为使物体保持平衡，再加上一个力 f4，则 f4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：选 D 由物理知识知 f1＋f2＋f3＋f4＝0，故 f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
2．人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( )天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.|v1
v2|
解析：选 B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1＋v2.注意速度是有方向和大
小的，是一个向量．
3．已知四边形 ABCD 各顶点坐标是 A
－1，－7
3 ，B 1，1
3 ，C
－1
2
，2 ，D
－7
2
，－2 ，
则四边形 ABCD 是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析：选 A ∵
AB ＝ 2，8
3 ，
DC ＝(3,4)，
∴
AB ＝2
3
DC ，∴
AB ∥
DC ，即 AB∥DC.
又|
AB |＝ 4＋64
9
＝10
3
，|
DC |＝ 9＋16＝5，
∴|
AB |≠|
DC |，∴四边形 ABCD 是梯形．
4．在△ABC 中，AB＝3，AC 边上的中线 BD＝ 5，
AC ·
AB ＝5，则
AC 的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B ∵
BD ＝
AD －
AB ＝1
2
AC －
AB ，
∴BD2―→＝
1
2
AC －
AB 2＝1
4
2AC －
AC ·
AB ＋
2AB ，
即1
4
2AC ＝1.∴|
AC |＝2，即 AC＝2.
5．已知△ABC 满足
2AB ＝
AB ·
AC ＋
BA ·
BC ＋
CA·
CB ，则△ABC 是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：选 C 由题意得，
AB 2＝
AB ·
AC ＋
AB ·
CB ＋
CA·
CB ＝
AB ·(
AC ＋
CB )
＋
CA·
CB ＝
AB 2＋
CA ·
CB ，
∴
CA·
CB ＝0，∴
CA⊥
CB ，
∴△ABC 是直角三角形．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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6．已知力 F＝(2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2,3)，则力 F 对物体所
做的功是________．
解析：∵
AB ＝(－4,3)，
∴W＝F·s＝F·
AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.
答案：1
7．用两条成 120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为 10 N，则每根绳子的
拉力大小为________ N.
解析： 如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，|
OC |＝10，
则|
OA |＝|
OB |＝10，即每根绳子的拉力大小为 10 N.
答案：10
8．已知 A，B 是圆心为 C，半径为 5的圆上的两点，且|AB|＝ 5，则
AC ·
CB ＝________.
解析：由弦长|AB|＝ 5，可知∠ACB＝60°，
AC ·
CB ＝－
CA·
CB ＝－|
CA||
CB |cos∠ACB＝－5
2.
答案：－5
2
9．已知△ABC 是直角三角形，CA＝CB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE
＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：如图，以 C 为原点，CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系．
设 AC＝a，则 A(a,0)，B(0，a)，
D 0，a
2 ，C(0,0)，E
1
3a，2
3a .
所以
AD ＝ －a，a
2 ，
CE ＝
1
3a，2
3a .
所以
AD ·
CE ＝－a·1
3a＋a
2·2
3a＝0，
所以
AD ⊥
CE ，即 AD⊥CE.
10．已知点 A(2，－1)．求过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程．
解：设所求直线上任意一点 P(x，y)，
则
AP ＝(x－2，y＋1)．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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由题意知
AP ∥a，故 5(y＋1)－(x－2)＝0，
即 x－5y－7＝0.
故过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程为
x－5y－7＝0.
层级二 应试能力达标
1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s
的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2 26 m/s
C．4 6 m/s D．12 m/s
解析：选 B 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则|v1|
＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，
∴|v2|＝ v2－2v·v1＋v21＝2 26(m/s)．
2．在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，
BD ＝1
2
BC ，则
AD ·
BD 的值为( )
A．－5
2 B.5
2
C．－5
4 D.5
4
解析：选 C 因为
BD ＝1
2
BC ，所以点 D 是 BC 的中点，则
AD ＝1
2(
AB ＋
AC )，
BD
＝1
2
BC ＝1
2(
AC －
AB )，所以
AD ·
BD ＝1
2(
AB ＋
AC )·1
2(
AC －
AB )＝1
4(
2AC －
2AB )＝1
4(22－32)＝－5
4
，选 C.
3.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F
在边 CD 上，若
AB ·
AF ＝ 2，则
AE ·
BF 的值是( )
A. 2 B．2
C．0 D．1
解析：选 A ∵
AF ＝
AD ＋
DF ，
AB ·
AF ＝
AB ·(
AD ＋
DF )＝
AB ·
AD ＋
AB ·
DF ＝
AB ·
DF ＝ 2|
DF |＝ 2，∴|
DF |＝1，|
CF |＝ 2－1，∴
AE ·
BF ＝(
AB
＋
BE )·(
BC ＋
CF )＝
AB ·
CF ＋
BE ·
BC ＝－ 2( 2－1)＋1×2＝－2＋ 2＋2＝ 2，故
选 A.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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4.如图，设 P 为△ABC 内一点，且 2
PA＋2
PB ＋
PC ＝0，则 S△ABP∶S△ABC＝( )
A.1
5 B.2
5
C.1
4 D.1
3
解析：选 A 设 AB 的中点是 D.
∵
PA＋
PB ＝2
PD ＝－1
2
PC ，
∴
PD ＝－1
4
PC ，
∴P 为 CD 的五等分点，
∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的1
5.
5．若 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(
OB －
OC )·(
OB ＋
OC －2
OA )＝0，则
△ABC 的形状为________．
解析：(
OB －
OC )·(
OB ＋
OC －2
OA )
＝(
AB －
AC )·(
OB －
OA ＋
OC －
OA )
＝(
AB －
AC )·(
AB ＋
AC )
＝|
AB |2－|
AC |2＝0，
∴|
AB |＝|
AC |.
答案：等腰三角形
6.如图所示，在倾斜角为 37°(sin 37°＝0.6)，高为 2 m 的斜面上，质量为 5 kg 的物体
m 沿斜面下滑，物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍，则 斜
面对物体 m 的支持力所做的功为________J，重力所做的功为
________J(g＝9.8 m/s2)．
解析：物体 m 的位移大小为|s|＝ 2
sin 37°
＝10
3 (m)，
则支持力对物体 m 所做的功为
W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；
重力对物体 m 所做的功为
W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8×10
3
×0.6＝98(J)．
答案：0 98
7.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力 F1，F2，F3 的作用，沿北偏东 45°的方
向移动了 8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东 30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东 60°；|F3|
＝6 N，方向为北偏西 30°，求合力 F 所做的功．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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解：以 O 为原点，正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则 F1＝
(1， 3)，F2＝(2 3，2)，F3＝(－3,3 3)，所以 F＝F1＋F2＋F3 ＝
(2 3－2,2＋4 3)．又位移 s＝(4 2，4 2)，故合力 F 所做的功 为
W＝F·s
＝(2 3－2)×4 2＋(2＋4 3)×4 2
＝4 2×6 3
＝24 6(J)．
即合力 F 所做的功为 24 6 J.
8.如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，AB 的中点，G
为 BE 与 DF 的交点．若
AB ＝a，
AD ＝b.
(1)试以 a，b 为基底表示
BE ，
DF ；
(2)求证：A，G，C 三点共线．
解：(1)
BE ＝
AE －
AB ＝1
2b－a，
DF ＝
AF －
AD ＝1
2a－b.
(2)证明：因为 D，G，F 三点共线，则 DG―→＝λ
DF ，
即
AG ＝
AD ＋λ
DF ＝1
2λa＋(1－λ)b.
因为 B，G，E 三点共线，则 BG―→＝μ
BE ，
即
AG ＝
AB ＋μ
BE ＝(1－μ)a＋1
2μb，
由平面向量基本定理知
1
2λ＝1－μ，
1－λ＝1
2μ，
解得λ＝μ＝2
3
，
∴
AG ＝1
3(a＋b)＝1
3
AC ，
所以 A，G，C 三点共线．
(时间 120 分钟 满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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1.在五边形 ABCDE 中(如图)，
AB ＋
BC －
DC ＝( )
A．
AC B．
AD
C．
BD D．
BE
解析：选 B ∵
AB ＋
BC －
DC ＝
AC ＋
CD ＝
AD .
2．已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( )
A．5 B. 13
C. 17 D．13
解析：选 B 因为 a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝ 32＋22＝ 13，故选 B.
3．设向量 a，b 均为单位向量，且|a＋b|＝1，则 a 与 b 的夹角为( )
A.π
3 B.π
2
C.2π
3 D.3π
4
解析：选 C ∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，
∴cos〈a，b〉＝－1
2.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝2π
3 .
4．已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选 B 因为 m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m
＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
5．如图，M，N 分别是 AB，AC 的一个三等分点，且
MN ＝λ(
AC －
AB )成立，则λ
＝( )
A.1
2 B.1
3
C.2
3 D．±1
3
解析：选 B 由
MN ＝1
3
BC ，且
BC ＝
AC －
AB ，得λ＝1
3.
6．设点 A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且
AD ＝2
AB －3
BC ，则点 D 的坐标为( )
A．(2,16) B．(－2，－16)天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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C．(4,16) D．(2,0)
解析：选 A 设 D(x，y)，由题意可知
AD ＝(x＋1，y－2)，
AB ＝(3,1)，
BC ＝
(1，－4)，
∴2
AB －3
BC ＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．
∴ x＋1＝3，
y－2＝14，
∴ x＝2，
y＝16.
故选 A.
7．某人在静水中游泳，速度为 4 3 km/h，水流的速度为 4 km/h.他沿着垂直于对岸的
方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A．90 ° B．30°
C．45° D．60°
解析： 选 D 如图，用
OA 表示水速，
OB 表示某人垂直游向对岸的速度，
则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
于是 tan∠AOC＝ |
AC |
|
OA
|
＝ |
OB |
|
OA
|
＝|v 静|
|v 水|
＝ 3，
∴∠AOC＝60°，故选 D.
8．设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且
DC ＝2
BD ，
CE ＝
2
EA，
AF ＝2
FB ，则
AD ＋
BE ＋
CF 与
BC ( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
解析：选 A ∵
AD ＋
BE ＋
CF ＝(
AB ＋
BD )＋(
BA ＋
AE )＋(
CB ＋
BF )
＝1
3
BC ＋1
3
AC ＋
CB ＋1
3
BA
＝1
3
BA ＋1
3
BC ＋1
3
AC ＋
CB ＝－1
3
BC ，
∴(
AD ＋
BE ＋
CF )与
BC 平行且方向相反．
9．设 a，b 是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则 a⊥b
B．若 a⊥b，则 a＋b＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得 b＝λa
D．若存在实数λ，使得 b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：选 C 若|a＋b|＝|a|－|b|，则 a，b 共线，即存在实数λ，使得 a＝λb，故 C 正确；天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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选项 A：当|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b 可为异向的共线向量；选项 B：若 a⊥b，由矩形得|a＋
b|＝|a|－|b|不成立；选项 D：若存在实数λ，使得 b＝λa，a，b 可为同向的共线向量，此时
显然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立．
10．已知点 O，N，P 在△ABC 所在的平面内，且|
OA |＝|
OB |＝|
OC |，
NA ＋
NB ＋
NC ＝0，
PA·
PB ＝
PB ·
PC ＝
PC ·
PA，则点 O，N，P 依次是△ABC 的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析：选 C 因为|
OA |＝|
OB |＝|
OC |，所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等，
所以 O 为△ABC 的外心；由
NA ＋
NB ＋
NC ＝0，得
NA ＋
NB ＝－
NC ＝
CN ，由中
线的性质可知点 N 在 AB 边的中线上，同理可得点 N 在其他边的中线上，所以点 N 为△ABC
的重心；由
PA·
PB ＝
PB ·
PC ＝
PC ·
PA得
PA·
PB －
PB ·
PC ＝
PB ·
CA ＝0，则点
P 在 AC 边的垂线上，同理可得点 P 在其他边的垂线上，所以点 P 为△ABC 的垂心．
11．已知平面上直线 l 与 e 所在直线平行且 e＝ －4
5
，3
5 ，点 O(0,0)和 A(1，－2)在 l 上
的射影分别是 O′和 A′，则
O A ＝λe，其中λ等于( )
A.11
5 B．－11
5
C．2 D．－2
解析：选 D 由题意可知|
O A |＝|
OA |cos(π－θ)(θ为
OA 与 e 的夹角)．
∵O(0,0)，A(1，－2)，∴
OA ＝(1，－2)．
∵e＝ －4
5
，3
5 ，∴
OA ·e＝1× －4
5 ＋(－2)×3
5
＝－2＝|
OA |·|e|·cos θ，∴|
OA |·cos
θ＝－2.
又∵|
O A |＝|λ|·|e|，∴λ＝±2.
又由已知可得λ0，则△ABC 为锐角三角形．
其中正确的命题有( )
A．①② B．①④
C．②③ D．②③④天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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解析：选 C ∵
AB －
AC ＝
CB ＝－
BC ≠
BC ，∴①错误．
AB ＋
BC ＋
CA＝
AC
＋
CA ＝
AC －
AC ＝0，∴②正确．由(
AB ＋
AC )·(
AB －
AC )＝
2AB －
2AC ＝0，
得|
AB |＝|
AC |，∴△ABC 为等腰三角形，③正确．
AC ·
AB >0⇒cos〈
AC ，
AB 〉>0，
即 cos A>0，∴A 为锐角，但不能确定 B，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，
∴④错误，故选 C.
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上)
13．平面向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量 a，b 的夹角为
________．
解析：(a＋b)(a－2b)＝|a2|－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故 a，b 的
夹角为π
2.
答案：π
2
14．已知向量 a，b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析：|5a－b|＝ |5a－b|2＝ 5a－b2
＝ 25a2＋b2－10a·b
＝ 25＋9－10×1×3× －1
2
＝7.
答案：7
15．已知向量
AB 与
AC 的夹角为 120 °，且|
AB |＝3，|
AC |＝2.若
AP ＝λ
AB ＋
AC ，且
AP ⊥
BC ，则实数λ的值为________．
解析：
BC ＝
AC －
AB ，由于
AP ⊥
BC ，所以
AP ·
BC ＝0，即(λ
AB ＋
AC )·(
AC
－
AB )＝－λ
AB 2＋
AC 2＋(λ－1)·
AB ·
AC ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2× －1
2 ＝0，解得λ
＝ 7
12.
答案： 7
12
16.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，
P 是线段 BC 上一动点，Q 是线段 DC 上一动点，
DQ ＝λ
DC ，
CP
＝(1－λ)
CB ，则
AP ·
AQ 的取值范围是________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0,1)，C(1,1)．设 Q(m，
n)，由
DQ ＝λ
DC 得，(m，n－1)＝λ(1,0)，即 m＝λ，n＝1.又 B(2,0)，天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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设 P(s，t)，由
CP ＝(1－λ)
CB 得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，即 s＝2－λ，t＝λ，所以
AP ·
AQ ＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故
AP ·
AQ ∈[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(本小题满分 10 分)不共线向量 a，b 的夹角为小于 120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，
已知向量 c＝a＋2b，求|c|的取值范围．
解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为 a 与 b 的夹角)．
∵0°
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