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第二节 不等式的证明方法
[考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．
1．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
2．柯西不等式
(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．
(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，
则＋≥.
(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
3．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等．
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(1)比较法：
①比差法的依据是：a－b>0⇔a>b，步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．
②比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证≥1.
(2)综合法与分析法：
①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．
②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论． ( )
(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论． ( )
(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )
(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是( )
A．①③ B．②③
C．①②③ D．①②
D [由①得x2＋3－3x＝＋＞0，所以x2＋3＞3x；对于②，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab＜0时，＋－2＝＜0，即＋＜2，故选D.]
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3．若a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>a>b
A [“分子”有理化得a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.]
4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．
4 [由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝时等号成立．]
用综合法与分析法证明不等式
【例1】 设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
[证明] (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，
得(＋)2＞(＋)2.
因此＋＞＋.
(2)①必要性：若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
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由(1)，得＋＞＋.
②充分性：若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因为|a－b|＜|c－d|.
综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
[规律方法] 分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程.
设x≥1，y≥1，求证：x＋y＋≤＋＋xy.
[证明] 由于x≥1，y≥1，
要证x＋y＋≤＋＋xy，
只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
用放缩法证明不等式
【例2】 若a，b∈R，求证：≤＋.
[证明] 当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．
当|a＋b|≠0时，
由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，
所以＝≤＝
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＝＋≤＋.
[规律方法] 1.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如.上面不等式中k∈N*，k＞1；
(2)利用函数的单调性；
(3)真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则.
2.在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.
设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1.
[证明] 由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得
≤＜.
当k＝1时，≤＜；
当k＝2时，≤＜；
…
当k＝n时，≤＜，
∴＝≤＋＋…＋＜＝1.
∴原不等式成立．
柯西不等式的应用
【例3】 (2017·江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.
[证明] 由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
所以(ac＋bd)2≤64，
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因此ac＋bd≤8.
[规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.
2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：
≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.
已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝3.求证：＋＋≥.
[证明] 由柯西不等式及题意得，＋＋·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.
又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18，
∴＋＋≥＝，
当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立.
1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
[证明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
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(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
[解] (1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
当－＜x＜时，f(x)＜2；
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
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