教学设计
2．3.2 平面与平面垂直的判定
作者：李云侠
整体设计
教学分析
在空间，平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范．空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点．使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神．
三维目标
1．探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力．
2．掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力．
3．引导学生总结求二面角的方法，培养学生归纳问题的能力．
重点难点
教学重点：平面与平面垂直的判定．
教学难点：平面与平面垂直的判定和求二面角．
课时安排
1课时
教学过程
复习
两平面的位置关系：
(1)如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β＝∅，则α∥β.
(2)如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β＝AB，则α与β相交．
两平面平行与相交的图形表示如图1.
图1
导入新课
思路1.(情境导入)
为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤
道平面成一定的角度．为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角．
思路2.(直接导入)
前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题．
推进新课
新知探究
提出问题
①二面角的有关概念暍画 法及表示方法.
②二面角的平面角的概念.
③两个平面垂直的定义.
④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理棳并 给出证明.
⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里?
讨论结果：①二面角的有关概念．
二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．
二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2(教师和学生共同动手)．
直立式： 平卧式：
图2
二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角αABβ.有时为了方便也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角PABQ.
图3
如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.
②二面角的平面角的概念．
如图4，在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.
图4
再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′，OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，
即∠AOB＝∠A′O′B′.
从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关．
由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
图中的∠AOB，∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角．
③直二面角的定义．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．
两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角．
两个平面互相垂直的定义可表述为：
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．
直二面角的画法：如图5.
图5
④两个平面垂直的判定定理．
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
两个平面垂直的判定定理符号表述为：⇒α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.
证明如下：
已知AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α.
求证：α⊥β.
图6
分析：要证α⊥β，需证α和β
构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．
证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α，知AB、CD共面．
∵AB⊥β，CD⊂β，
∴AB⊥CD，垂足为点B.在平面β内过点B作直线BE⊥CD，
则∠ABE是二面角αCDβ的平面角．
又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角，
∴α⊥β.
⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线，即要证面面垂直转化为证线线垂直．
应用示例
思路1
1 如图7，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点．
图7
求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明：由已知条件，PA⊥α，BC⊂α，
∴PA⊥BC.
∵C为圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC.
又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，
∴BC⊥平面PAC.
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
变式训练
图8
如图8，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC，
(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；
(2)求二面角CBDA的余弦值．
(1)证明：由题设，知AD＝CD＝BD，
作DO⊥平面ABC，O为垂足，则OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心，即AB的中点．∴O∈AB，即O∈平面ABD.∴OD⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.
(2)解：取BD的中点E，连接CE、OE、OC，∵△BCD为正三角形，
∴CE⊥BD.又△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角CBDA的平面角．同(1)可证OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.∴△COE为直角三角形．
设BC＝a，则CE＝a，OE＝a，∴cos∠OEC＝＝.
点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.
2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？(精确到0.1 m)
图9
解：取CD上一点E，设CE＝10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．
在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连接FG，
则FG⊥AB，即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角，
∠EFG＝60°，
由此，得EG＝EFsin60°＝CEsin30°sin60°＝10××＝≈4.3(m)．
答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3 m.
变式训练
已知二面角αABβ等于45°，CD⊂α，D∈AB，∠CDB＝45°.
求CD与平面β所成的角．
图10
解：如图10，作CO⊥β交β于点O，连接DO，则∠CDO为DC与β所成的角．
过点O作OE⊥AB于E，连接CE，则CE⊥AB.
∴∠CEO为二面角αABβ的平面角，即∠CEO＝45°.设CD＝a，则CE＝a，∵CO⊥OE，OC＝OE，
∴CO＝a.∵CO⊥DO，∴sin∠CDO＝＝.
∴∠CDO＝30°，即DC与β成30°角．
点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C，作另一个半平面β的垂线，垂足为O，然后通过垂足O作棱AB的垂线，垂足为E，连接AE，则∠CEO为二面角αABβ的平面角．这一过程要求学生熟记.
思路2
1 如图11，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，∠BAD＝60°.
图11
(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)求点A到平面PBD的距离；
(3)求二面角APBD的余弦值．
(1)证明：设AC与BD交于点O，连接PO，
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)解：作AE⊥PO于点E，∵平面PBD⊥平面PAC，∴AE⊥平面PBD.
∴AE为点A到平面PBD的距离．
在△PAO中，PA＝2，AO＝2·cos30°＝，∠PAO＝90°，
∵PO＝＝，∴AE＝＝＝.
∴点A到平面PBD的距离为.
(3)解：作AF⊥PB于点F，连接EF，
∵AE⊥平面PBD，∴AE⊥PB.
∴PB⊥平面AEF，PB⊥EF.
∴∠AFE为二面角APBD的平面角．
在Rt△AEF中，AE＝，AF＝，
∴sin∠AFE＝＝，cos∠AFE＝＝.
∴二面角APBD的余弦值为.
变式训练
如图12，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥CD；
(3)若二面角PDCA＝45°，求证：MN⊥平面PDC.
图12 图13
证明：如图13所示，
(1)取PD的中点Q，连接AQ、NQ，则QN綊DC，AM綊DC，
∴QN綊AM.
∴四边形AMNQ是平行四边形．∴MN∥AQ.
又∵MN⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵AQ⊂平面PAD，∴CD⊥AQ.
又∵AQ∥MN，∴MN⊥CD.
(3)由(2)知，CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AD，CD⊥PD.
∴∠PDA是二面角PDCA的平面角．∴∠PDA＝45°.
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD.
又∵MN∥AQ，∴MN⊥PD.
又∵MN⊥CD，∴MN⊥平面PDC.
2 如图14，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．
图14
(1)求证：直线MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；
(3)求平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小．
(1)证明：延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点．
又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.
又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD.
(2)证明：连接BD，由直四棱柱ABCDA1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，
∴四边形DANB为平行四边形．
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA⊂平面AFC1，
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
(3)解：由(2)，知BD⊥平面ACC1A1，
又AC1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥AC1.
∵BD∥NA，∴AC1⊥NA.
又由BD⊥AC，可知NA⊥AC，
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角．
在Rt△C1AC中，tan∠C1AC＝＝，故∠C1AC＝30°.
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°.
变式训练
图15
如图15所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB＝2，SC＝SD＝.
(1)求证：平面SAD⊥平面SBC；
(2)设BC＝x，BD与平面SBC所成的角为α，求sinα的取值范围．
(1)证明：在△SDC中，∵SC＝SD＝，CD＝AB＝2，
∴∠DSC＝90°，即DS⊥SC.
∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.
又∵平面SDC⊥平面ABCD，∴BC⊥面SDC.
∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.
∵DS⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面SBC.
(2)解：由(1)，知DS⊥平面SBC，∴SB是DB在平面SBC上的射影．
∴∠DBS就是BD与平面SBC所成的角，即∠DBS＝α.
那么sinα＝.
∵BC＝x，CD＝2⇒DB＝，∴sinα＝ .
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