【基础演练】
1．(2012·滨州)菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则该菱形两邻角度数比为( )
A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1
解析 如图所示：
∵菱形的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∵AE＝1，AE⊥BC，
∴∠B＝30°，∴∠BAD＝150°.
答案 C
2．(2012·沈阳)如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有 ( )
A．4个 B．6个
C．8个 D．10个
解析 ∵正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，∴AB＝BC＝CD＝DA，
OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．
答案 C
3．(2012·长沙)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交BC于E，AD＝6 cm，则OE的长为 ( )
A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
解析 ∵菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，
∴BO＝DO，AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵OE∥DC，∴△BOE∽△BDC，
∴＝＝，即＝，∴OE＝3.
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答案 C
4．(2012·武汉)如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析 ∵△DEF由△DEA翻折而成，
∴EF＝AE＝5，
在Rt△BEF中，∵EF＝5，BF＝3，
∴BE＝ ＝ ＝4，
∴AB＝AE＋BE＝5＋4＝9，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝9.
答案 C
5．(2012·黄冈)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是 ( )
A．矩形
B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线相等的四边形
解析 已知：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形．
证明 由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：
EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD.
答案 C
6．(2012·杭州)已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10 cm，体积为150 cm3，则这个棱柱的下底面积为________cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200 cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为________cm.
解析 因为底面为菱形的直棱柱，高为10 cm，体积为150 cm3，所以这个棱柱的下底面积为15 cm2，又因为该棱柱的侧面展开图的面积为200 cm2，则该棱柱的底面为菱形的边长为5 cm，又因为AE是BC边上的高，所以AE＝3 cm，又因为E可能在点B
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的左边或右边，所以CE的长为1或9 cm.
答案 15 1或9
7．(2012·盐城)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC， AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是________．(填上你认为正确的一个答案即可)
解析 添加的条件是∠A＝90°，
理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．
答案 ∠A＝90°
8． (2012·温州)如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连结AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明 由平移变换的性质得：
CF＝AD＝10 cm，DF＝AC，
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AC＝ ＝ ＝10，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10.
∴四边形ACFD是菱形．
【能力提升】
9．(2012·东营)(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；
(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．
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(1)证明 ∵四边形是ABCD正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，
∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．
∴CE＝CF.
(2)证明 如图①，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF.
∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°.
∵CE＝CF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG.
∴GE＝GF，
∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD.
(3)解 如图②，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG＝BC.
∵∠DCE＝45°，
根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG.
∴10＝4＋DG，即DG＝6.
设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，
在Rt△AED中，
∵DE2＝AD2＋AE2，
即102＝(x－6)2＋(x－4)2.
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解这个方程，得：x＝12或x＝－2(舍去)．
∴AB＝12.
∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AB
＝×(6＋12)×12＝108.
即梯形ABCD的面积为108.
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