机械振动

机械振动 教学目标： 1．掌握简谐运动的动力学特征和描述简谐运动的物理量；掌握两种典型的简谐运动模型——弹簧振子和单摆。掌握单摆的周期公式；了解受迫振动、共振及常见的应用 2．理解简谐运动图象的物理意义并会利用简谐运动图象求振动的振幅、周期及任意时刻的位移。 3．会利用振动图象确定振动质点任意时刻的速度、加速度、位移及回复力的方向。 教学重点：简谐运动的特点和规律 教学难点：谐运动的动力学特征、振动图象 教学方法：讲练结合，计算机辅助教学 教学过程： 一、简谐运动的基本概念 1．定义 物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为：F= -kx （1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。 （2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。 （3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态） （4）F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。 2．几个重要的物理量间的关系 要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。 （1）由定义知：F∝x，方向相反。 （2）由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。 （3）由以上两条可知：a∝x，方向相反。 （4）v和x、F、a之间的关系最复杂：当v、a同向（即 v、 F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（即 v、 F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。 3．从总体上描述简谐运动的物理量 振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。 （1）振幅A是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的） （2）周期T是描述振动快慢的物理量。（频率f=1/T 也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐运动都有共同的周期公式： （其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。 二、典型的简谐运动 1．弹簧振子 （1）周期 ，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。 （2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是 。这个结论可以直接使用。 （3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。 【例1】 有一弹簧振子做简谐运动，则   （    ） A．加速度最大时，速度最大   B．速度最大时，位移最大 C．位移最大时，回复力最大   D．回复力最大时，加速度最大 解析：振子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由F= - kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对．振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错．故正确选项为C、D 点评：分析振动过程中各物理量如何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系：位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大．各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向． 【例2】  试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．  解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为  ，根据胡克定律及平衡条件有     ① 当振子向下偏离平衡位置为 时，回复力（即合外力）为     ② 将①代人②得： ，可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件． 点评：（1）分析一个振动是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足其大小与位移成正比，方向总与位移方向相反．证明思路为：确定物体静止时的位置——即为平衡位置，考查振动物体在任一点受到回复力的特点是否满足 。（2）还要知道 中的k是个比例系数，是由振动系统本身决定的，不仅仅是指弹簧的劲度系数．关于这点，在这里应理解为是简谐运动回复力的定义式．而且产生简谐运动的回复力可以是一个力，也可以是某个力的分力或几个力的合力．此题中的回复力为弹力和重力的合力． 【例3】 如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。（1）最大振幅A是多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？ 解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。 （1）最大振幅应满足kA=mg，   A= （2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，Fm=2mg 【例4】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm．某时刻振子处于B点．经过0.5 s，振子首次到达C点．求： （1）振动的周期和频率； （2）振子在5 s内通过的路程及位移大小； （3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值． 解析：（1）设振幅为A，由题意BC＝2A＝10 cm，所以A＝10 cm．振子从B到C所用时间t＝0．5s．为周期T的一半，所以T＝1．0s；f＝1/T＝1．0Hz． （2）振子在1个周期内通过的路程为4A。故在t＝5s＝5T内通过的路程s＝t/T×4A＝200cm．5 s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm． （3）振子加速度 ．a∝x，所以aB：aP＝xB：xp＝10：4＝5：2． 【例5】一弹簧振子做简谐运动．周期为T A．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍 D．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍 C．若△t＝T／2，则在t时刻和（t－△t）时刻弹簧的长度一定相等 D．若△t＝T，则在t时刻和（t－△t）时刻振子运动的加速度一定相同 解析：若△t＝T／2或△t＝nT－T/2，（n＝1，2，3．．．．），则在t 和（t＋△t）两时刻振子必在关于干衡位置对称的两位置（包括平衡位置），这两时刻．振子的位移、回复力、加速度、速度等均大小相等，方向相反．但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等（只有当振子在t和（t－△t）两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等）．反过来．若在t和（t－△t），两时刻振子的位移（回复力、加速度）和速度（动量）均大小相等．方向相反，则△t一定等于△t＝T／2的奇数倍．即△t＝（2n－1）T/2（n＝1，2，3…）．如果仅仅是振子的速度在t 和（t＋△t），两时刻大小相等方向相反，那么不能得出△t＝（2n一1）T/2，更不能得出△t＝nT/2（n＝1，2，3…）．根据以上分析．A、C选项均错． 若t和（t＋△t）时刻，振子的位移（回复力、加速度）、速度（动量）等均相同，则△t＝nT（n＝1，2，，3…），但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出△t＝nT．所以B这项错．若△t＝T，在t和（t＋△t）两时刻，振子的位移、回复力、加速度、速度等均大  小相等方向相同，D选项正确。 2．单摆。 （1）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。 （2）当单摆的摆角很小时（小于5°）时，单摆的周期 ，与摆球质量m、振幅A都无关。其中l为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。 （3）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。 （4）摆钟问题。单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到： 【例6】 已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？ 解析：该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为 和 ，因此该摆的周期为 ： 【例7】 固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°，末端切线水平。两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：ta＿＿tb，Ea＿＿2Eb。 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 0   0.4  0.8  1.2  1.6  2.0   2.4 F/N t/s 解析：两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta= tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea>2Eb。 【例8】 将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出下列判断：①t＝0．2s时刻摆球正经过最低点；②t＝1．1s时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是T＝0．6s。上述判断中正确的是       A．①③    B．②④     C．①②    D．③④ 解析：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。因此①②正确。从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是T＝1．2s。因此答案③④错误。本题应选C。 三、简谐运动的图象 1．简谐运动的图象：以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线． 2．振动图象的含义：振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律． 3．图象的用途：从图象中可以知道： （1）任一个时刻质点的位移    （2）振幅A．   （3）周期T （4）速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出 （5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反．只要从振动图象中认清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了 点评：关于振动图象的讨论 （1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹．做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如下一节的单摆）．这种往复运动的位移图象。就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移。以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x—t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象． （2）简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的重复性． 简谐运动是一种复杂的非匀变速运动．但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性．所以用图象研究要比用方程要直观、简便．简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小。正负表示速度的方向，正时沿x正向，负时沿x负向． 【例9】  劲度系数为20N／cm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻 A． 振子所受的弹力大小为0．5N，方向指向x轴的负方向 B．振子的速度方向指向x轴的正方向 C． 在0～4s内振子作了1．75次全振动 D。在0～4s内振子通过的路程为0．35cm，位移为0 解析：由图可知A在t轴上方，位移x＝0．25cm，所以弹力F＝－kx＝－5N，即弹力大小为5N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确．  由图可看出，t＝0、t＝4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4s内完成两次全振动，选项C错误．由于t＝0时刻和t＝4s时刻振子都在最大位移处，所以在0～4s内振子的位移为零，又由于振幅为0．5cm，在0～4s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0．50cm＝4cm，故选项D错误． 综上所述，该题的正确选项为B． 【例10】  摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t=0），当振动至 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（   ）  解析：从t=0时经过 时间，这段时间为 ，经过 摆球具有负向最大速度，说明摆球在平衡位置，在给出的四个图象中，经过 具有最大速度的有C、D两图，而具有负向最大速度的只有D。所以选项D正确。 四、受迫振动与共振 1．受迫振动 物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。 ⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 ⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。 2．共振 当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。 要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。 （1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千…… （2）防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢…… 【例11】 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是 A．降低输入电压              B．提高输入电压 C．增加筛子质量              D．减小筛子质量 解析：筛子的固有频率为f固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f驱=88/60Hz，即f固< f驱。为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。本题应选AD。 【例12】  一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：（ ） A．逐渐增大 B．先逐渐减小后逐渐增大； C．逐渐减小 D．先逐渐增大后逐渐减小 解析：此题可以由受迫振动的共振曲线图来判断。 受迫振动中物体振幅的大小和驱动力频率与系统固有频率之差有关。驱动力的频率越接近系统的固有频率，驱动力与固有频率的差值越小，作受迫振动的振子的振幅就越大。当外加驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。  由共振曲线可以看出，当驱动力的频率小于该物体的固有频率时，增大驱动力频率，振幅增大，直到驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。在此之后若再增大驱动力频率，则振动物体的振幅减小。 所以本题的正确答案为D。 【例13】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（ ） A．各摆的振动周期与a摆相同 B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大 C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长 D．各摆均做自由振动 解析：a摆做的是自由振动，周期就等于a摆的固有周期，其余各摆均做受迫振动，所以振动周期均与a摆相同。  c摆与a摆的摆长相同，所以c摆所受驱动力的频率与其固有频率相等，这样c摆产生共振，故c摆的振幅最大。 此题正确答案为A、B。