北师大九年级下《2.2.5二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》课件.pptx

第二章 二次函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 5 课时 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与性质 2.2 二次函数的图象和性质 情境引入 学习目标 1. 会用配方法或公式法将一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k .( 难点） 2. 会熟练求出二次函数一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的顶点坐标、对称轴 . （重点） 导入新课 复习引入 y = a ( x - h ) 2 + k a >0 a h 时， y 随着 x 的增大而减小 . x = h 时 , y 最小 = k x = h 时 , y 最大 = k 抛物线 y = a ( x - h ) 2 + k 可以看作是由抛物线 y = ax 2 经过平移得到的 . 顶点坐标 对称轴 最值 y =-2 x 2 y =-2 x 2 -5 y =-2( x +2) 2 y =-2( x +2) 2 -4 y =( x -4) 2 +3 y =- x 2 + 2 x y =3 x 2 + x -6 (0,0) y 轴 0 (0,-5) y 轴 -5 (-2,0) 直线 x =-2 0 (-2,-4) 直线 x =-2 -4 (4,3) 直线 x =4 3 ? ? ? ? ? ? 讲授新课 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 一 合作探究 我们 已经 知道 y = a ( x - h ) 2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题 1 怎样将 化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式？ 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“ 提”：提出二次项系数； ( 2 ) “ 配”：括号内配成完全平方； ( 3 )“化”：化成顶点式. 提示 : 配方后的表达式通常称为 配方式 或 顶点式 . 问题 2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x =6 , 顶点坐标是 （ 6 ， 3 ） . 问题 3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法 1 ： 先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的； 平移方法 2 ： 先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的 . 问题 4 如何用描点法画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 解 : 先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象 如右图 . O 问题 5 结合 二次函数 的图象，说出其增减性 . 5 10 x y 5 10 x =6 当 x 6 时， y 随 x 的增大而增大 . 试一试 你能用上面的方法讨论二次函数 y = 2 x 2 -8 x +7 的图象和 性质吗？ O 因此，二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图象的对称轴是直线 x= 2 ， 顶点坐标为 (2,-1) ，当 x ＜ 2 时， y 随 x 的增大而减小，当 x ＞2 时， y 随 x 的增大而增大 . 解： 典例精析 例 1 ： 求二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图象的对称轴、顶点坐标 和增减性 . y = ax ² + bx + c 因此，二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的顶点坐标是： 对称轴是：直线 例 2 ： 求二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的对称轴、顶点坐标 . 要点归纳 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 1. 一般地， 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 可以通过配方化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式，即 因此，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 (1) x y O 如果 a >0, 当 x < 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = 时，函数达到最小值，最小值为 . 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 (2) x y O 如果 a 时， y 随 x 的增大而减小 ; 当 x = 时，函数达到最大值，最大值为 . 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 例 3 已知二次函数 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c ，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A ． b ≥ － 1 B ． b ≤ － 1 C ． b ≥1 D ． b ≤1 解析： ∵ 二次项系数为 －1 ＜ 0 ，∴ 抛物线开口向下，在对称轴右侧， y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ 抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴应在直线 x =1 的左侧而抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴 ，即 b ≤1 ，故选择 D . D 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y =- x 2 + 2 x y =-2 x 2 - 1 y = 9 x 2 + 6 x -5 ( 1 , 1 ) x =1 最大值 1 (0,- 1 ) y 轴 最大值 -1 最小值 -6 ( , -6 ) 直线 x = 二次函数的系数与图象的关系 二 合作探究 问题 1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y = k 1 x + b 1 x y O y = k 2 x + b 2 y = k 3 x + b 3 k 1 ___ 0 b 1 ___ 0 k 2 ___ 0 b 2 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ k 3 ___ 0 b 3 ___ 0 ＞ ＞ x y O 问题 2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a 1 ___ 0 b 1 ___ 0 c 1 ___ 0 a 2 ___ 0 b 2 ___ 0 c 2 ___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上， a ＞ 0 对称轴在 y 轴左侧， 对称轴在 y 轴右侧， x =0 时 ， y = c . x y O a 3 ___ 0 b 3 ___ 0 c 3 ___ 0 a 4 ___ 0 b 4 ___ 0 c 4 ___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下， a ＜ 0 对称轴是 y 轴， 对称轴在 y 轴右侧， x =0 时 ， y = c . 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 a 、 b 、 c 的关系 字母符号 图象的特征 a ＞ 0 开口 _____________________ a ＜ 0 开口 _____________________ b= 0 对称轴为 _____ 轴 a 、 b 同号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 a 、 b 异号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 c= 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 要点归纳 例 4 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，下列结论： ① abc ＞ 0 ； ②2 a － b ＜ 0 ； ③4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ； ④ ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 . 其中正确的个数是 ( 　　 ) A ． 1 　　　 B ． 2 　　　　 C ． 3 　　　 D ． 4 D 由图象上横坐标为 x ＝－ 2 的点在第三象限可得 4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ，故 ③ 正确； 由图象上 x ＝ 1 的点在第四象限得 a ＋ b ＋ c ＜ 0 ，由图象上 x ＝ － 1 的点在第二象限得出 a － b ＋ c ＞ 0 ，则 ( a ＋ b ＋ c )( a － b ＋ c ) ＜ 0 ，即 ( a ＋ c ) 2 － b 2 ＜ 0 ，可得 ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 ，故 ④ 正确． 【解析】 由图象开口向下可得 a ＜ 0 ，由对称轴在 y 轴左侧可得 b ＜ 0 ，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c ＞ 0 ，则 abc ＞ 0 ，故 ① 正确； 由对称轴 x > － 1 可得 2 a － b ＜ 0 ，故 ② 正确； 练一练 二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ） 解析：由二次函数的图象得知 a ＜ 0 ， b ＞ 0 . 故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限 . 故选 C . C 1. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 x 、 y 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A .y 轴 B. 直线 x = C. 直线 x =2 D. 直线 x = 则该二次函数图象的对称轴为 ( ) D 当堂练习 2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值： 直线 x =3 直线 x =8 直线 x =1.25 直线 x = 0.5 最小值 -5 最大值 1 最小值 最大值 O y x –1 –2 3 3. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的图象如图所示，则下列结论： （ 1 ） a 、 b 同号； （ 2 ） 当 x = –1 和 x =3 时，函数值相等； （ 3 ） 4 a + b =0 ； （ 4 ） 当 y =–2 时， x 的值只能取 0 ； 其中正确的是 . 直线 x =1 （ 2 ） 4. 把抛物线 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为 y ＝ x 2 － 3 x ＋ 5 ，则 ( 　　 ) A ． b ＝ 3 ， c ＝ 7 B ． b ＝ 6 ， c ＝ 3 C ． b ＝－ 9 ， c ＝－ 5 D ． b ＝－ 9 ， c ＝ 21 解析： y ＝ x 2 － 3 x ＋ 5 化为顶点式为 y ＝ ( x － ) 2 ＋ . 将 y ＝ ( x － ) 2 ＋ 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，即为 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c . 则 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c ＝ ( x ＋ ) 2 ＋ ，化简后得 y ＝ x 2 ＋ 3 x ＋ 7 ，即 b ＝ 3 ， c ＝ 7. 故选 A. A 5. 如图是二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a≠ 0) 图象的一部分， x =-1 是对称轴，有下列判断： ① b -2 a =0；②4 a -2 b + c y 2 .其中正确的是（ ） A ．①②③ 　　 B ．①③④ C ．①②④ 　 D ．②③④ x y O 2 x =-1 B 6. 已知抛物线和直线 l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1 ， P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）是抛物线上的点， P 3 （ x 3 ， y 3 ）是直线 l 上的点，且 x 3 ＜ -1 ＜ x 1 ＜ x 2 ，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系是（　　） A．y 1 ＜y 2 ＜y 3 B．y 2 ＜y 3 ＜y 1 C．y 3 ＜y 1 ＜y 2 D．y 2 ＜y 1 ＜y 3 D 课堂小结 顶点： 对称轴： y = ax 2 + bx + c （ a ≠0) ( 一般式 ) 配方法 公式 法 ( 顶点式 )