2018年秋人教B版数学选修1-2 2.2.1　综合法与分析法.ppt

2 . 2 　 直接证明与间接证明 2 . 2 . 1 　综合法与分析法 1 . 了解直接证明的两种基本方法 : 综合法和分析法 . 2 . 了解综合法、分析法的思考过程和特点 . 3 . 能综合使用分析法、综合法解决问题 . 4 . 正确认识和理解综合法和分析法的相似之处和内在联系 , 培养辩证地认识问题、分析问题的意识 . 1 2 1 . 综合法 综合法是从已知 条件 出发 , 经过逐步的 推理 , 最后达到待证结论 . 综合法用符号表示就是 P 0 ( 已知 ) ⇒ P 1 ⇒ P 2 ⇒ … ⇒ P n ( 结论 ) . 归纳总结 综合法的特点 : (1) 综合法是从原因推导到结果的思维方法 . (2) 用综合法证明命题的思路是 :“ 由因导果 ”, 即从 “ 已知 ” 看 “ 可知 ”, 逐步推向未知 . 【做一做 1 - 1 】 综合法是 ( 　　 ) A. 执果索因的逆推法 B. 由因导果的顺推法 C. 因果分别互推的两头凑法 D. 原命题的证明方法 解析 : 由综合法的定义可知选项 B 正确 . 答案 : B 1 2 【做一做 1 - 2 】 若 a> 0, b> 0, 且满足 ab ≥ 1 +a+b , 则 a+b 的最小值应为 　　　　　 .  1 2 2 . 分析法 分析法是从 待证结论 出发 , 一步一步地寻求结论成立的 充分条件 , 最后达到题设的已知条件或已被证明的事实 . 分析法用符号表示就是 B ( 结论 ) ⇐ B 1 ⇐ B 2 ⇐ … ⇐ B n ⇐ A ( 已知 ) . 名师点拨 用分析法证明命题要注意以下三点 : (1) 用分析法证明命题 , 从结论出发 , 执果索因 , 即从 “ 未知 ” 看 “ 需知 ”, 逐步靠拢 “ 已知 ” . (2) 分析法属逻辑方法范畴 , 它的严谨性体现在其步骤的步步可逆 . (3) 分析法的优点是利于思考 , 因为它方向明确 , 思路自然 , 易于掌握 , 而综合法的优点是易于表述 , 条理清晰 , 形式简捷 . 因而证明不等式时 , 常用分析法寻找解题思路 , 再用综合法有条理地表达证明过程 . 1 2 【做一做 2 - 1 】 分析法是 ( 　　 ) A. 执果索因的逆推法 B. 由因导果的顺推法 C. 因果分别互推的两头凑法 D. 逆命题的证明方法 答案 : A 1 2 【做一做 2 - 2 】 已知 a>b>c> 0, 则下列不等式成立的是 ( 　　 ) 解析 : 因为 a>b>c> 0, 所以 a-b> 0, a-c> 0, b-c> 0 . 而 a-c= ( a-b ) + ( b-c ), 答案 : C 证明与推理之间的联系和区别有哪些 ? 剖析 :(1) 联系 : 证明过程其实就是推理的过程 , 就是把论据作为推理的前提 , 应用正确的推理形式 , 推出论题的过程 . 一个论证可以只含一个推理 , 也可以包含一系列的推理 . 所以证明就是推理 , 是一种特殊形式的推理 . (2) 区别 : ① 从结论上看 , 推理包含前提和结论两部分 , 前提是已知的 , 结论是根据前提推出来的 ; 而证明是由论题、论据、论证三部分组成的 . 论题相当于推理的结论 , 是已知的 , 论据相当于推理的前提 . ② 从作用上看 , 推理只解决形式问题 , 对于前提和结论的真实性是保证不了的 . 而证明却要求论据必须是真实的 , 论题经过证明后其真实性是确信无疑的 . 题型一 题型二 题型三 题型四 应用综合法证明命题 【例题 1 】 已知 : a , b , c> 0, 求证 : a 3 +b 3 +c 3 ≥ ( a 2 +b 2 +c 2 )( a+b+c ) . 分析 : 从基本的不等式定理入手 , 再根据不等式的性质推导出要证明的结论 . 证明 : ∵ a 2 +b 2 ≥ 2 ab , a> 0, b> 0, ∴ ( a 2 +b 2 )( a+b ) ≥ 2 ab ( a+b ) . ∴ a 3 +b 3 +a 2 b+ab 2 ≥ 2 ab ( a+b ) = 2 a 2 b+ 2 ab 2 . ∴ a 3 +b 3 ≥ a 2 b+ab 2 . 同理 : b 3 +c 3 ≥ b 2 c+bc 2 , a 3 +c 3 ≥ a 2 c+ac 2 . 将三式相加 , 得 2( a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ a 2 b+ab 2 +b 2 c+bc 2 +a 2 c+ac 2 . ∴ 3( a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ ( a 3 +a 2 b+a 2 c ) + ( b 3 +b 2 a+b 2 c ) + ( c 3 +c 2 a+c 2 b ) = ( a+b+c )( a 2 +b 2 +c 2 ) . ∴ a 3 +b 3 +c 3 ≥ ( a 2 +b 2 +c 2 )( a+b+c ) . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 在用综合法证明不等式时 , 常利用不等式的基本性质 , 如同向不等式相加、同向不等式相乘等 , 但在运用这些性质时 , 一定要注意这些性质成立的前提条件 . 题型一 题型二 题型四 题型三 用分析法证明命题 【例题 2 】 如图所示 , SA ⊥ 平面 ABC , AB ⊥ BC , 过点 A 作 SB 的垂线 , 垂足为 E , 过点 E 作 SC 的垂线 , 垂足为 F. 求证 : AF ⊥ SC. 分析 : 本题所给的已知条件中 , 垂直关系较多 , 但不容易确定如何在证明中使用它们 , 因而用综合法比较困难 . 这时 , 可以从结论出发 , 逐步反推 , 寻求使当前命题成立的充分条件 , 即用分析法证明 . 证明 : 要证 AF ⊥ SC , 只需证 SC ⊥ 平面 AEF , 只需证 AE ⊥ SC ( 因为 EF ⊥ SC ), 只需证 AE ⊥ 平面 SBC , 只需证 AE ⊥ BC ( 因为 AE ⊥ SB ), 只需证 BC ⊥ 平面 SAB , 只需证 BC ⊥ SA ( 因为 AB ⊥ BC ) . 而由 SA ⊥ 平面 ABC , 可知上式成立 . 所以 AF ⊥ SC. 题型一 题型二 题型四 题型三 反思 在用分析法证明命题的过程中 , 从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件 , 最后一步归结到已被证明了的事实 . 因此 , 从最后一步可以倒推回去 , 一直到推出结论 . 题型一 题型二 题型三 题型四 分析法与综合法的综合应用 【例题 3 】 在 △ ABC 中 , 若 ∠ A ∶ ∠ B ∶ ∠ C= 4 ∶ 2 ∶ 1, a , b , c 分别为 ∠ A , ∠ B , ∠ C 的对边 . 求证 : 分析 : 已知条件是角的关系 , 求证的结论是边的关系 , 很难直接建立二者的关系 , 可结合正 ( 余 ) 弦定理进行证明 . 证明 : 设 ∠ C= α , 则 ∠ B= 2 α , ∠ A= 4 α , 且 α + 2 α + 4 α = 7 α = π . 可证 : bc+ac=ab , 即 ab-bc=ac. 下面我们考虑找出线段 a-c , 可在 BC 上取一点 D , 使 AD=AB ( 如图 ) . 由角的关系并注意到 7 α= π, 可有 DC=AD=AB=c , 故 BD=a-c. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 本题将分析法与综合法交错使用 , 我们也可以只用综合法将证明过程叙述出来 , 那样会更简洁 , 但必须在分析之后 . 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点 : 分析法是一种重要的证明方法 , 但不容易书写 , 因为它叙述起来较烦琐 , 易造成错误 , 所以在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性 . 另外 , 要注意前后是必要性关系 , 即应是 “ ⇐ ”, 而不是 “ ⇒ ” . 错因分析 : a 0, b> 0, 则下列不等式中不恒成立的是 ( 　　 ) 答案 : D 1 2 3 4 5 4 若 a ∈ R , 则 P= (4 +a 2 )(9 +a 2 ) 与 Q= 24 a 2 的大小关系是 　　　　　 .  解析 : P-Q= (4 +a 2 )(9 +a 2 ) - 24 a 2 =a 4 - 11 a 2 + 36, 令 a 2 =t , 则 f ( t ) =t 2 - 11 t+ 36 . 因为 Δ= 11 2 - 4 × 36 < 0, 所以 a 4 - 11 a 2 + 36 > 0 恒成立 , 所以 P>Q. 答案 : P>Q 1 2 3 4 5 解析 : 可结合下面的图形 , 利用向量的几何意义加以解决 . 答案 : 等边