21.2.4一元二次方程的根与系数的关系.ppt

21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学练优九年级数学上 （RJ） 教学课件 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）导入新课 复习引入 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2.方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？讲授新课 探索一元二次方程的根与系数的关系一 算一算 解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两 根 关 系x1 x2 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0 -4 1 2 3 -1 x1+x2=-3 x1 · x2=-4 x1+x2=5 x1 · x2=6猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0, 那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将 方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系 吗？ 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别 是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两 个根分别是x1、 x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0.1. x2-2x-15=0； 例1 口答下列方程的两根之和与两根之积. 2. x2-6x+4=0； 3. 2x2+3x-5=0； 4. 3x2-7x=0； 5. 2x2=5. x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. x1+x2=2,x1 ·x2=-15. x1+x2=6,x1 ·x2=4. ax2+bx+c=0(a≠0) 两边都 除 以a 一元二次方程的根与系数的关系的应用二 典例精析 下列方程的两根和与两根积各是多少？ ⑴ x2－3x+1=0 ； ⑵ 3x2－2x=2； ⑶ 2x2+3x=0； ⑷ 3x2=1 . 在使用根与系数的关系时:(1)不是一般式的要先化成 一般式；(2) 在使用x1+x2=－ 时，“－ ”不要漏写. 注意例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=-7. 答：方程的另一个根是 ，k=-7.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m 的值. 解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15.例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 14 12 总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的 代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳当堂练习 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___， m =____. 22..已知一元二次方程已知一元二次方程xx22++pxpx++qq=0=0的两根分别为的两根分别为-2 -2 和和 1 1 ，， 则：则：pp = = , , qq== . .1 -2 -33.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：（1）根据根与系数的关系 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； （2）因为k=-7,所以 则：课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么 x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的 两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 常见变形