初二数学2016年第十二章 全等三角形复习课件.ppt

第十二章 全等三角形 学练优八年级数学上（RJ） 教学课件 复习课 知识网络 专题复习 课堂小结 课后训练 知识网络 全等三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 性质 基本性质 对应边相等，对应角相等 重要性质 ①对应高，对应中线，对应角平分线相等；②周长相等，面积相等 判定 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形 一般三角形 SSS,SAS,ASA,AAS 直角三角形 除上述判定方法之外，还有“ HL ” 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 专题复习 专题一 证明线段相等 【 例 1 】 如图，点 D 、 E 分别在线段 AB 、 AC 上，已知 AD=AE , ∠ B = ∠ C , H 为线段 BE 、 CD 的交点 ， 求证： BH=CH . A B C D E H 【 分析 】 欲证 BH=CH 需证 △ BDH ≌ △ CEH 需证 BD=CE 需证 AB=AC 需再证 △ ABE ≌ △ ACD 【 证明 】 在 △ ABE 和 △ ACD 中 , A B C D E H ∠ A = ∠ A , ∠ B = ∠ C , AE = AD , ∴ △ ABE ≌ △ ACD (AAS). ∴ AB= AC , ∴ AB-AD= AC-AE . 即 BD=CE . 在 △ BDH 和 △ CEH 中 , ∠ DHB = ∠ EHC , ∠ B = ∠ C , BD= CE , ∴ △ BDH ≌ △ CEH (AAS) ， ∴ BH= CH . 【 归纳拓展 】 利用全等三角形证明线段相等时，首先要确定证明的线段在哪两个三角形中，结合已知条件，寻找新的条件，选择合适的判定方法 . 【 配套训练 】 如图，已知 CD ⊥ AB 于点 D ， BE ⊥ AC 于点 E ， BE ， CD 交于点 O ， 且 AO 平分 ∠ BAC ．求证： OB=OC ． A B C D E O 【 证明 】 ∵ AO 平分 ∠ BAC ， CD ⊥ AB 于点 D ， BE ⊥ AC 于点 E , ∴ OD=OE ， ∠ ODB = ∠ OEC =90 °. 在 △ BOD 和 △ COE 中 ， ∠ ODB = ∠ OEC =90 ° ， OD=OE ， ∠ DOB = ∠ EOC ， ∴ △ BOD ≌ △ COE (ASA) ， ∴ OB=OC . 专题二 证明角相等 【 例 2 】 如图，在 △ ABC 中， AD 平分 ∠ BAC,CE ⊥ AD 于点 G , 交 AB 于点 E , EF ∥ BC 交 AC 于点 F , 求证： ∠ DEC =∠ FEC . A B C D F E G 【 分析 】 欲证 ∠ DEC =∠ FEC 由平行线的性质转化为证明 ∠ DEC =∠ DCE 只需要证明 △ DEG ≌ △ DCG . A B C D F E G 【 证明 】 ∵ CE ⊥ AD , ∴ ∠ AGE =∠ AGC =90 °. 在 △ AGE 和 △ AGC 中， ∠ AGE =∠ AGC ， AG= AG ， ∠ EAG =∠ CAG ， ∴ △ AGE ≌ △ AGC (ASA) ， ∴ GE =GC . 在 △ DGE 和 △ DGC 中， EG=CG ， ∠ EGD = ∠ CGD =90 ° ， DG= DG . ∴ △ DGE ≌ △ DGC (SAS). ∴ ∠ DEG = ∠ DCG . ∵ EF//BC , ∴ ∠ FEC = ∠ ECD ， ∴ ∠ DEG = ∠ FEC . 【 归纳拓展 】 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线 . 【 配套训练 】 如图， AB=DC , ∠ A =∠ D ． 求证： ∠ ABC =∠ DCB . A B D C A B D C N M 【 证明 】 取 AD,BC 的中点 N,M ， 连接 BN,CN ， MN , 则有 AN=DN,BM=CM . 在 △ ABN 和 △ DCN 中， AN=DN ， ∠ A = ∠ D ， AB = CD ， ∴ △ ABN ≌ △ DCN (SAS). ∴ ∠ ABN = ∠ DCN , NB=NC . 在 △ NBM 和 △ NCM 中， NB=NC ， BM=CM ， NM= N M ， ∴ △ NBM ≌ △ NCM (SSS). ∴ ∠ NBC = ∠ NCB , ∴ ∠ NBC + ∠ ABN = ∠ NCB + ∠ DCN , 即 ∠ ABC = ∠ DCB , 想一想： 本题还有其他证法吗？ 专题三 利用全等三角形解决实际问题 【 例 3 】 如图，两根长均为 12 米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ A B C D 【 分析 】 将本题中实际问题转化为数学问题就是证明 BD=CD . 由已知条件可知 AB = AC.AD ⊥ BC . A B C D 【 解 】 相等，理由如下： ∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ ADB =∠ ADC =90°. 在 Rt △ ADB 和 Rt △ ADC 中， AD=AD ， AB=AC ， ∴ Rt △ ADB ≌ Rt △ ADC (HL). ∴ BD=CD . 【 归纳拓展 】 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤： （ 1 ） 先明确实际问题； （ 2 ） 根据实际抽象出几何图形； （ 3 ） 经过分析，找出证明途径； （ 4 ） 书写证明过程 . 专题四 角平分线的性质与判定 【 例 4 】 如图 , ∠ 1=∠2, 点 P 为 BN 上的一点， ∠ PCB + ∠ BAP =180 ° ，求证 : PA=PC . B A C N ) ) 1 2 P 【 分析 】 由角平分线的性质易想到过点 P 向 ∠ ABC 的两边作垂线段 PE 、 PF ， 构造角平分线的基本图形 . E F 【 证明 】 过点 P 作 PE ⊥ BA,PF ⊥ BC , 垂足分别为 E,F . B A C N ) ) 1 2 P E F ∵∠1=∠2, PE ⊥ BA,PF ⊥ BC , 垂足分别为 E , F . ∴ PE=PF , ∠ PEA =∠ PFC =90 °. ∵ ∠ PCB + ∠ BAP =180 ° , 又知 ∠ BAP +∠ EAP =180 °. ∴ ∠ EAP =∠ PCB. 在 △ APE 和 △ CPF 中， ∠ PEA =∠ PFC =90 ° ， ∠ EAP =∠ FC P ， PE=PF ， ∴ △ APE ≌ △ CPF (AAS) ， ∴ AP=CP . 【 证法 2 思路分析 】 由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形 . 方法是在 BC 上截取 BD=AB , 连接 PD （ 如图 ） . 则有 △ PAB ≌ △ PDB , 再证 △ PDC 是等腰三角形即可获证 . A C N ) ) 1 2 P B 证明过程请同学们自行完成！ D 【 归纳拓展 】 角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法。应用时要依托全等三角形发挥作用 . 作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形 . 【 配套训练 】 如图 , ∠ 1=∠2, 点 P 为 BN 上的一点， PA=PC ，求证 : ∠ PCB + ∠ BAP =180 ° . B A C N ) ) 1 2 P E F 【 证明 】 过点 P 作 PE ⊥ BA,PF ⊥ BC , 垂足分别为 E,F. ∵∠1=∠2, PE ⊥ BA,PF ⊥ BC , 垂足分别为 E,F . ∴ PE=PF, ∠ PEA =∠ PFC =90 °. PA=PC ， PE=PF ， 在 Rt △ APE 和 Rt △ CPF 中， ∴ Rt △ PAE ≌ Rt △ PCF (HL). ∴ ∠ EAP = ∠ FCP . ∵ ∠ BAP +∠ EAP =180 ° ， ∴ ∠ PCB + ∠ BAP =180 ° . 想一想： 本题如果不给图，条件不变，请问 ∠ PCB 与 ∠ PAB 有怎样的数量关系呢？ 课堂小结 全等 三角形 性质 基本性质和其他重要性质 判定 判定方法基本思路 作用 是证明两条线段相等和角相等的常用方法 寻找现有条件（包括图中隐含条件） 选定判定方法证明准备条件 角的平分线 的性质定理 角的平分线 的判定定理 证明两条线段相等 证明角相等 辅助线 添加方法 课后训练 1. 如图 , 已知 AC=BD , 要使得 △ ABC ≌ △ DCB 只需要增加一个条件是 . AB=DC 或 ∠ ACB =∠ DBC 2. 如图：在 △ ABC 中， ∠ C=90 °， AD 平分 ∠ BAC ， DE ⊥ AB 交 AB 于 E ， BC =30 ， BD ： CD =3 ： 2 ， 则 DE = . A B C D O 第 1 题 A B C D E 第 2 题 12 3. 已知 : △ ABC 和 △ ECD 都是等边三角形，且点 B，C，D 在一条直线上 . 求证： BE=AD . E D C A B 【 证明 】 ∵ △ ABC 和 △ ECD 都是等边三角形 , ∴ AC=BC ， DC=EC ， ∠ BCA =∠ DCE =60°. ∴ ∠ BCA +∠ ACE =∠ DCE + ∠ ACE . 即 ∠ BCE =∠ DCA . 在 △ ACD 和 △ BCE 中， AC=BC ， ∠ BCE =∠ DCA ， DC = EC ， ∴ △ ACD ≌ △ BCE (SAS) ， ∴ BE=AD . 4. 如图,在 △ ABC 中, ∠ ACB =90°, AO 是角平分线,点 D 在 AC 的延长线上, DE 过点 O 且 DE ⊥ AB , 垂足为 E . (1) 请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由; （2） 图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来 . (1) 解： ∵∠ ACB =90° ， ∴ BC ⊥ AC . ∵ AO 平分 ∠ BAC ， 又 DE ⊥ AB ， BC ⊥ AC . ∴ OE=OC （ 角平分线上的点到角 两边的距离相等 ） . (2)6 对 . AC=AE,CD=BE,AD=AB,EO=OC,OB=OD,ED=BC. A C D O B E