第四章 第二节.ppt

第二节　三角形与全等三角形 知识点一 三角形的概念 1 ．三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形有 3 条边、 3 个顶点和 3 个内角．三角形具有稳定性． 2 ．三角形的分类 (1) 按角分： (2) 按边分： 知识点二 三角形的边、角关系 1 ．三角形的边的关系 (1) 三角形任意两边之和 _____ 第三边． (2) 三角形任意两边之差 _____ 第三边． 大于 小于 2 ．三角形的角的关系 (1) 三角形三个内角的和等于 ______ ．特别地，当有一个内 角是 90° 时，其余的两个内角互余． (2) 三角形的外角和等于 ______ ． (3) 三角形的一个外角 _____ 与它不相邻的两个内角的和，三 角形的一个外角 _____ 任何一个与它不相邻的内角． 180° 360° 等于 大于 知识点三 三角形中的重要线段 1 ．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与 对边 _____ 的线段叫做这个三角形的中线．一个三角形有 3 条中线，它 们都在三角形的 _____ ． 2 ．三角形的高：三角形的一个顶点到它的对边所在直线的 _______ 叫做这个三角形的高．一个三角形有 3 条高，可能在 三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外 部． 中点 内部 垂线段 3 ．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的 对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平 分线．一个三角形有 3 条角平分线，它们都在三角形的内 部． 4 ．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角 形的中位线．一个三角形有 3 条中位线，都在三角形的内 部．三角形的中位线 _____ 于第三边，并且等于第三边的 _____ ． 平行 一半 三角形的中线、高、角平分线、中位线都是线段，注意区分三角形的角平分线与角的平分线的区别，前者是线段，后者是射线． 知识点四 全等三角形 1 ．全等三角形的性质：全等三角形的 _______ 相等， _______ 相等．全等三角形的对应线段 ( 高、中线、角平分线 ) 、周 长、面积分别对应 _____ ． 2 ．全等三角形的判定 (1) 一般三角形全等的条件： ____ ， ____ ， ____ ， ____ ． (2) 直角三角形全等的条件：除上述四种判定方法外，还有 ___ ． 对应边 对应角 相等 SSS ASA SAS AAS HL 证明三角形全等的一般思路如下： 考点 一 三角形的三边关系 (5 年 0 考 ) 　　　 例 1 (2017· 安丘一模 ) 三角形的两边长分别为 3 和 6 ，第三边的长是方程 x 2 － 6x ＋ 8 ＝ 0 的一个根，则这个三角形的周长是 ( ) A ． 9 B ． 11 C ． 13 D ． 11 或 13 【 分析 】 解得方程的两根，根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 【 自主解答 】 解方程 x 2 － 6x ＋ 8 ＝ 0 得 x ＝ 2 或 4 ，则第三边长为 2 或 4. 边长为 2 ， 3 ， 6 不能构成三角形；而 3 ， 4 ， 6 能构成三角 形， 所以三角形的周长为 3 ＋ 4 ＋ 6 ＝ 13. 讲： 忽略三角形三边关系的条件 三条线段能够组成三角形，必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．在解答此类问题时，容易忽略三边是否满足组成三角形的条件． 练： 链接变式训练 2 1 ．已知三角形三边的长分别为 1 ， 2 ， x ，则 x 的取值范围在 数轴上表示为 ( ) A 2 ．已知 a ， b ， c 为△ ABC 的三边，化简 |a ＋ b ＋ c| － |a － b － c| － |a － b ＋ c| － |a ＋ b － c| ，结果是 ( ) A ． 0 B ． 2a ＋ 2b ＋ 2c C ． 4a D ． 2b － 2c A 考点二 三角形内角和定理及其推论 (5 年 0 考 ) 例 2 一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB 上， BC 与 DE 交于点 M. 如果∠ ADF ＝ 100° ，那么∠ BMD 为 ____________ 度． 【 分析 】 先根据∠ ADF ＝ 100° 求出∠ MDB 的度数，再根据三角形内角和定理得出∠ BMD 的度数即可． 【 自主解答 】 ∵∠ADF ＝ 100° ，∠ EDF ＝ 30° ， ∴∠ MDB ＝ 180° －∠ ADF －∠ EDF ＝ 180° － 100° － 30° ＝ 50° ， ∴∠ BMD ＝ 180° －∠ B －∠ MDB ＝ 180° － 45° － 50° ＝ 85°. 故答案为 85. 三角形内角和定理及推论主要解决以下几种问题： (1) 已知两个内角求第三个内角，根据三个角的大小判定三角形的形状； (2) 三角形的一个外角和与其不相邻的两个内角中，已知二者求第三者； (3) 比较不同三角形中角的大小． 3 ． (2016· 乐山 ) 如图， CE 是△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线， 若∠ B ＝ 35° ，∠ ACE ＝ 60° ，则∠ A ＝ ( ) A ． 35° B ． 95° C ． 85° D ． 75° C 4 ．一副分别含有 30° 和 45° 角的两个直角三角板，叠放在 一起如图所示，其中∠ C ＝ 90° ，∠ B ＝ 45° ，∠ E ＝ 30° ， 则∠ BFD 的度数是 ( ) A ． 10° B ． 15° C ． 25° D ． 30° B 5 ．如图， P 是△ ABC 两个外角∠ DBC 与∠ ECB 平分线的交点， ∠ A ＝ 80° ，则∠ BPC ＝ _____ ． 50° 考点三 三角形中的重要线段 (5 年 0 考 ) 例 3 如图，已知等腰梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AB ＝ CD ＝ AD ＝ 3 ，梯形中位线 EF 与对角线 BD 相交于点 M ，且 BD⊥CD ，则 MF 的长为 ( ) A ． 1.5 B ． 3 C ． 3.5 D ． 4.5 【 分析 】 根据已知条件求出∠ DBC 的度数，从而得到 BC 的长，再利用三角形的中位线性质求出 MF 的长． 【 自主解答 】 在等腰梯形 ABCD 中， ∵ AD∥BC ， AB ＝ CD ＝ AD ＝ 3 ， ∴∠ ABC ＝∠ C ，∠ ABD ＝∠ ADB ，∠ ADB ＝∠ DBC ， ∴∠ ABD ＝∠ CBD ，∠ C ＝ 2∠DBC. ∵BD⊥CD ，∴∠ BDC ＝ 90° ， ∴∠ DBC ＝ ∠ C ＝ 30° ， BC ＝ 2DC ＝ 2×3 ＝ 6. ∵EF 是梯形中位线，∴ MF 是△ BCD 的中位线， ∴ MF ＝ BC ＝ ×6 ＝ 3. 故选 B. 三角形的中位线定理中，既涉及位置关系 — 平行，又涉及数量关系 — 倍分．当图形中出现多个线段中点时，往往连接两个中点构建三角形的中位线． 6 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ 6 ， AC ＝ 10 ，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长为 ( ) A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 16 D 7 ．如图，已知△ ABC 的周长为 27 cm ， AC ＝ 9 cm ， BC 边上中 线 AD ＝ 6 cm ，△ ABD 周长为 19 cm ，则 AB ＝ ____ ． 8cm 8 ．在△ ABC 中， BO 平分∠ ABC ， CO 平分∠ ACB ，当∠ A ＝ 50° 时，∠ BOC ＝ ______ ． 115° 考点四 全等三角形的性质与判定 (5 年 5 考 ) 　　　 例 4 如图，四边形 ABCD 中， AD ＝ BC ， BE ＝ DF ， AE⊥BD ， CF⊥BD ，垂足分别为 E ， F. (1) 求证：△ ADE≌△CBF ； (2) 若 AC 与 BD 相交于点 O ，求证： AO ＝ CO. 【 分析 】 (1) 由 BE ＝ DF 可知 BF ＝ DE ，再由垂直可知两三角形是直角三角形，利用 HL 证明全等即可； (2) 由 (1) 知∠ ADO ＝∠ CBO ，再结合对顶角相等，可证明△ ADO≌△CBO ，进而证明结论． 【 自主解答 】 (1)∵BE ＝ DF ， ∴ BE － EF ＝ DF － EF ，即 BF ＝ DE. ∵AE⊥BD ， CF⊥BD ， ∴∠ AED ＝∠ CFB ＝ 90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△CBF 中， ∴ Rt△ADE≌Rt△CBF ，即△ ADE≌△CBF. (2) 如图，连接 AC 交 BD 于点 O ， ∵△ ADE≌△CBF ， ∴∠ ADO ＝∠ CBO. 在△ ADO 和△ CBO 中， ∴△ADO≌△CBO ， ∴ AO ＝ CO. 讲： 全等三角形性质与判定的误区 在解答与全等三角形的性质与判定有关的问题时，注意以下两点： (1) 在判定两个三角形全等或应用其性质时，要找对对应边、对应角； (2) 当两个三角形具备“ SSA” 条件 时，两个三角形不一定全等． 练： 链接变式训练 10 9 ．如图，点 D ， E 分别在线段 AB ， AC 上， CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB ＝ AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ ABE ≌△ACD( ) A ．∠ B ＝∠ C B ． AD ＝ AE C ． BD ＝ CE D ． BE ＝ CD D 10 ． (2016· 抚顺 ) 如图，点 B 的坐标为 (4 ， 4) ，作 BA⊥x 轴， BC⊥y 轴，垂足分别为 A ， C ，点 D 为线段 OA 的中点，点 P 从点 A 出发，在 线段 AB ， BC 上沿 A→B→C 运动，当 OP ＝ CD 时，点 P 的坐标为 _______________ ． (2 ， 4) 或 (4 ， 2) 11 ． (2016· 曲靖 ) 如图，已知点 B ， E ， C ， F 在一条直线 上， AB ＝ DF ， AC ＝ DE ，∠ A ＝∠ D. (1) 求证： AC∥DE ； (2) 若 BF ＝ 13 ， EC ＝ 5 ，求 BC 的长． (1) 证明： 在△ ABC 和△ DFE 中， ∴△ ABC≌△DFE ， ∴∠ ACE ＝∠ DEF ， ∴ AC∥DE. (2) 解： ∵△ ABC≌△DFE ，∴ BC ＝ EF ， ∴ CB － EC ＝ EF － EC ， ∴ EB ＝ CF. ∵BF ＝ 13 ， EC ＝ 5 ， ∴ EB ＝ ＝ 4 ， ∴ BC ＝ 4 ＋ 5 ＝ 9.