人教A版高中数学选修2-1《1.3.1且（and）-1.3.2+或（or）》课件.pptx

1.3.1 　且 (and) 1.3.2 　或 (or) 学习目标 1. 了解联结词 “ 且 ”“ 或 ” 的含义 . 2 . 会用联结词 “ 且 ”“ 或 ” 联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假 . 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 　 知识点一　 “ 且 ” 观察三个命题： ① 5 是 10 的约数； ② 5 是 15 的约数； ③ 5 是 10 的约数且是 15 的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解 “ 且 ” 的含义 . 命题 ③ 是将命题 ① ， ② 用 “ 且 ” 联结得到的新命题， “ 且 ” 与集合运算中交集的定义 A ∩ B ＝ { x | x ∈ A 且 x ∈ B } 中 “ 且 ” 的意义相同，表示 “ 并且 ” ， “ 同时 ” 的意思 . “ 且 ” 作为逻辑联结词，与生活用语中 “ 既 … ，又 …” 相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用 “ 和 ”“ 与 ” 代替 . 答案 梳理 (1) 定义：一般地，用联结词 “ 且 ” 把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题 ， 记作 p ∧ q ， 读作 “ ” . 当 p ， q 都是真命题时 ， p ∧ q 是 ___ 命题 ；当 p ， q 两个命题中有一个命题是假命题时， p ∧ q 是 命题 . p q p ∧ q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 我们将命题 p 和命题 q 以及 p ∧ q 的真假情况绘制为命题 “ p ∧ q ” 的真值表 如 右 ： 命题 “ p ∧ q ” 的真值表可简单归纳为 “ 同真则真 ”. 假 p 且 q 真 (2) “ 且 ” 是具有 “ 兼有性 ” 的逻辑联结词，对 “ 且 ” 的理解，可联系集合中 “ 交集 ” 的概念， A ∩ B ＝ { x | x ∈ A 且 x ∈ B } 中的 “ 且 ” 是指 “ x ∈ A ” 与 “ x ∈ B ” 这两个条件都要同时满足 . (3) 我们也可以用串联电路来理解联结词 “ 且 ” 的含义，如图所示，若开关 p ， q 的闭合与断开分别对应命题 p ， q 的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题 p ∧ q 的真与假 . 思考 　 知识点二　 “ 或 ” 观察三个命题 ： ① 3>2 ； ② 3 ＝ 2 ； ③ 3 ≥ 2 ， 它们之间有什么关系 ？ 从集合的角度谈谈对 “ 或 ” 的含义的理解 . 命题 ③ 是命题 ① ， ② 用逻辑联结词 “ 或 ” 联结得到的新命题 . “ 或 ” 从集合的角度看 ， 可设 A ＝ { x │ x 满足命题 p } ， B ＝ { x │ x 满足命题 q } ，则 “ p ∨ q ” 对应于集合中的并集 A ∪ B ＝ { x │ x ∈ A 或 x ∈ B } . “ 或 ” 作为逻辑联结词 ， 与日常用语中 的 “ 或 ” 意义有所不同 ， 而逻辑联结词中 的 “ 或 ” 含 有 “ 同时兼有 ” 的意思 . “ p 或 q ” 有三层意思 ： 要么只是 p ， 要么只是 q ， 要么是 p 和 q ， 即 两者中至少要有一个 . 答案 梳理 (1) 定义：一般地，用联结词 “ 或 ” 把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作 p ∨ q ，读作 “ ”. p q p ∨ q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 (2) 判断用 “ 或 ” 联结的命题的真假：当 p ， q 两个命题有一个命题是真命题时， p ∨ q 是 命题 ；当 p ， q 两个命题都是假命题时， p ∨ q 是 命题 . 我们将命题 p 和命题 q 以及 p ∨ q 的真假情况绘制为命题 “ p ∨ q ” 的真值表 如 右 ： 命题 “ p ∨ q ” 的真值表可简单归纳为 “ 假假才假 ”. 假 p 或 q 真 (3) 对 “ 或 ” 的理解：我们可联系集合中 “ 并集 ” 的概念 A ∪ B ＝ { x | x ∈ A 或 x ∈ B } 中的 “ 或 ” ，它是指 “ x ∈ A ” ， “ x ∈ B ” 中至少有一个是成立的，即可以是 x ∈ A 且 x ∉ B ，也可以是 x ∉ A 且 x ∈ B ，也可以是 x ∈ A 且 x ∈ B . (4) 我们可以用并联电路来理解联结词 “ 或 ” 的含义，如图所示，若开关 p ， q 的闭合与断开对应命题 p ， q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题 p ∨ q 的真与假 . 题型探究 命题角度 1 　简单命题与复合命题的区分 例 1 　指出下列命题的形式及构成它的命题 . (1) 向量既有大小又有方向； 解答 类型一　含有 “ 且 ”“ 或 ” 命题的构成 是 p ∧ q 形式命题 . 其中 p ：向量有大小， q ：向量有方向 . (2) 矩形有外接圆或有内切圆； 解答 是 p ∨ q 形式命题 . 其中 p ：矩形有外接圆， q ：矩形有内切圆 . (3)2 ≥ 2. 解答 是 p ∨ q 形式命题 . 其中 p ： 2>2 ， q ： 2 ＝ 2. 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词 “ 或 ” “ 且 ” 构成的命题是复合命题 . 判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有 “ 或 ”“ 且 ” 等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题 . 如 “ 四边相等且四角相等的四边形是正方形 ” 不是 “ 且 ” 联结的复合命题，它是真命题，而用 “ 且 ” 联结的命题 “ 四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形 ” 是假命题 . 反思与感悟 跟踪训练 1 　命题 “ 菱形对角线垂直且平分 ” 为 _____ 形式 复合命题 . 答案 p ∧ q 命题角度 2 　用逻辑联结词构造新命题 例 2 　分别写出下列命题的 “ p 且 q ”“ p 或 q ” 形式的命题 . (1) p ：梯形有一组对边平行， q ：梯形有一组对边相等； 解答 p 或 q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等 . p 且 q ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等 . (2) p ：－ 1 是方程 x 2 ＋ 4 x ＋ 3 ＝ 0 的解， q ：－ 3 是方程 x 2 ＋ 4 x ＋ 3 ＝ 0 的解 . 解答 p 或 q ：－ 1 或－ 3 是方程 x 2 ＋ 4 x ＋ 3 ＝ 0 的解 . p 且 q ：－ 1 与－ 3 是方程 x 2 ＋ 4 x ＋ 3 ＝ 0 的解 . 用逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ” 联结 p ， q 构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把 p ， q 中的条件或结论合并 . 反思与感悟 跟踪训练 2 　指出下列命题的构成形式及构成它的命题 p ， q . (1)0 ≤ 2 ； 解答 此命题为 “ p ∨ q ” 形式的命题，其中 p ： 00 ，不合题意； 解答 (2) 如果命题 “ p 或 q ” 为真命题，且 “ p 且 q ” 为假命题，求实数 a 的取值范围 . 由 x >0 ，得 3 x >1 ， ∴ y ＝ 3 x － 9 x 的值域为 ( － ∞ ， 0). 若命题 q 为真命题，则 a ≥ 0. 由命题 “ p 或 q ” 为真命题，且 “ p 且 q ” 为假命题，得命题 p ， q 一真一假 . 当 p 真 q 假时， a 不存在；当 p 假 q 真时， 0 ≤ a ≤ 2. ∴ 满足条件的 a 的取值范围是 { a |0 ≤ a ≤ 2}. 解答 解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题 p ， q ，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想 . 反思与感悟 跟踪训练 4 　已知命题 p ：方程 a 2 x 2 ＋ ax － 2 ＝ 0 在 [ － 1 ， 1] 上有解；命题 q ：只有一个实数 x 满足不等式 x 2 ＋ 2 ax ＋ 2 a ≤ 0 ，若命题 “ p 或 q ” 是假命题，求实数 a 的取值范围 . 解答 对于命题 p ：由 a 2 x 2 ＋ ax － 2 ＝ 0 ， 得 ( ax ＋ 2)( ax － 1) ＝ 0 ， ∴ p 为假时得 | a |