初二数学2016年第十四章 整式的乘法与因式分解复习课件.ppt

第十四章 整式的乘法与因式分解 学练优八年级数学上（RJ） 教学课件 复习课 知识网络 专题复习 课堂小结 课堂训练 幂的运算性质 整式的乘法 整式的除法 互逆 运算 乘法公式 （平方差、完全平方公式） 特殊 形式 相反变形 因式分解 （提公因式、公式法） 相反变形 知识网络 知识网络 专题一 幂的运算性质 【 例 1 】 计算 (2 a ) 3 ( b 3 ) 2 ÷4 a 3 b 4 . 【 解析 】 幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除 . 【 答案 】 原式 = 8 a 3 b 6 ÷4 a 3 b 4 =2 a 3-3 b 6-4 =2 b 2 . 专题复习 专题复习 【 例 2 】 计算 (-8) 2016 ×(0.125) 2015 . 【 解析 】 此题可先用同底数幂的乘法的逆运算，将 （ -8 ） 2016 化为 （ -8 ） × （ -8 ） 2015 ，再用积的乘方的性质的逆运算进行计算 . 【 答案 】 原式 = （ -8 ） × （ -8 ） 2015 × （ 0.125 ） 2015 = （ -8 ） [ （ -8 ） ×0.125] 2015 = （ -8 ） × （ -1 ） 2015 =8. 【 点拨 】 运用幂的运算公式，可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正 . 【 归纳拓展 】 幂的运算性质包括同底数幂的乘方、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法 . 这四种运算性质贯穿全章，是整式乘除及因式分解的基础 . 其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的 . 【 配套训练 】 1. 下列计算不正确的是（ ） A.2 a 3 ÷ a =2 a 2 B. (- a 3 ) 2 = a 6 C. a 4 · a 3 = a 7 D. a 2 · a 4 = a 8 2. (1) 计算： 0.25 2015 × （ -4 ） 2015 -8 100 ×0.5 301 ； （ 2 ） 比较大小： 4 20 与 15 10 . D 【 答案 】 （ 1 ） 原式 =[0.25 × （ -4 ） ] 2015 - （ 2 3 ） 100 ×0.5 300 ×0.5 =-1- （ 2 ×0.5 ） 300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5 ； （ 2 ） ∵ 4 20 = （ 4 2 ） 10 =16 10 ， 16 10 >15 10 , ∴4 20 >15 10 . 专题二 整式的运算 【 例 3 】 计算： [ x ( x 2 y 2 - xy )- y ( x 2 - x 3 y )] ÷3 x 2 y , 其中 x =1, y =3 . 【 解析 】 在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则 . 【 答案 】 原式 = ( x 3 y 2 - x 2 y - x 2 y + x 3 y 2 ) ÷3 x 2 y =(2 x 3 y 2 -2 x 2 y ) ÷3 x 2 y = . 当 x =1, y =3 时， 原式 = . 【 归纳拓展 】 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的 . 【 配套训练 】 (1) 一个长方形的面积是 a 2 -2 ab + a , 宽为 a , 则长方形的长为 ； （ 2 ）已知多项式 2 x 3- 4 x 2 -1 除以一个多项式 A , 得商为 2 x ，余式为 x -1 , 则这个多项式是 . a 2 -2 b +1 专题三 整式的乘法公式的运用 【 例 4 】 先化简再求值： [( x - y ) 2 +( x + y )( x - y )] ÷2 x , 其中 x =3, y =1.5 . 【 解析 】 运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算 . 【 答案 】 原式 = ( x 2 -2 xy + y 2 + x 2 - y 2 ) ÷2 x =(2 x 2 -2 xy ) ÷2 x = x-y . 当 x =3, y =1.5 时 ， 原式 =3-1.5=1.5. 【 归纳拓展 】 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度 . 【 配套训练 】 (1) 求方程 ( x -1) 2 -( x -1)( x +1)+3(1- x )=0 的解； （ 2 ）已知 x 2 +9 y 2 +4 x -6 y +5=0 , 求 xy 的值 . 【 答案 】 (1) 原方程可化为 -5 x +5=0 , 解得 x =1. (2) ∵ x 2 +9 y 2 +4 x -6 y +5=0, ∴( x 2 +4 x +4)+(9 y 2 -6 y +1)=0 ， ∴ ( x +2) 2 +(3 y -1) 2 =0 . ∴ x +2=0,3 y -1=0 , 解得 x =-2, y = , 专题四 分解因式 【 例 5 】 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1) a 2 -4+3 a =( a +2)( a -2)+3 a ; (2)( a +2)( a -5)= a 2 -3 a -10; (3) x 2 -6 x +9=( x -3) 2 (4)3 x 2 -2 xy + x = x (3 x -2 y ) 2 . 【 答案 】 (1) 不是，因为最后不是做乘法运算，不是积的形式； （ 2 ） 不是，因为从左边到右边是做乘法运算； （ 3 ） 是； （ 4 ） 不是，因为令 x =2, y =1, 左边 = 10 ， 右边 =32 ，不是恒等变形 . 这种方法叫赋值法 . 是一种比较好的方法，希望掌握！ 【 点拨 】 （ 1 ） 多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式； （ 2 ） 判断过程要从左到右保持恒等变形 . 【 归纳拓展 】 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止 . 【 配套训练 】 (1) 下列变形，是因式分解的是（ ） A. a ( x + y )= ax + ay B. x 2 +4 xy + y 2 -1= x ( x +4 y )+( y +1)( y -1) C. am 2 - a = a ( m +1)( m -1) D. m 2 -9 n 2 +3=( m +3 n )( m -3 n )+3. （ 2 ）分解因式： （ x + y ) 2 -4( x + y -1). 解：原式 = （ x + y ) 2 -4( x + y )+4 =( x + y -2) 2 . C 专题五 实际问题转化为数学模型 【 例 6 】 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 . b a a a a b b b b b a - b 【 解析 】 通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影 部分可知其面积是两个正方形的面积差 （ a 2 - b 2 ), 又由于图的梯形的上底是是 2 b , 下底是 2 a , 高为 a-b , 所以梯形的面积是 （ 2 a +2 b )( a - b ) ÷2=( a + b )( a - b ), 根据面积相等，得乘法公式 a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ). 【 答案 】 a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ). 【 点拨 】 数形结合思想是一种重要的数学思想，它为验证某些公式提供了方便 . 【 归纳拓展 】 通过应用公式，我们可以把实际问题转化为数学问题，提高了数学的应用性 . 【 配套训练 】 我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如 （ 2 a + b )( a + b )=2 a 2 +3 ab + b 2 , 就可以用图①和图②等图形的面积表示 . a a a b b ab ab ab a 2 a 2 b 2 图① b 2 a 2 a 2 ab ab ab a a a b b 图② （ 2 ）请画一个几何图形，使它的面积能表示 （ a + b )( a +3 b )= a 2 +4 ab +3 b 2 . （ 1 ）请写出图③所表示的代数恒等式； b b a a b a ab ab ab ab ab a 2 a 2 b 2 b 2 图③ 【 答案 】(1) (2 a + b )( a +2 b )=2 a 2 +5 ab +2 b 2 ; (2) 如 图④ . 图④ a 2 b a ab ab ab ab b 2 b 2 b 2 整式乘除与因式分解 幂的运 算性质 ① a m ·a n = a m+n ② ( a m ) n = a mn ③ ( ab ) n = a n b n ④ a m ÷a n =a m-n ( m,n 都是正整数 ） 整式的乘除法 ① 单 × 单 ② 单 × 多 ③ 多 × 式 单 ÷ 单 ⑤ 多 ÷ 单 乘法公式 因式 分解 定义 搞清楚与整式乘法的区别与联系 步骤 一提二套三检查 ( a+b )( a-b )= a 2 - b 2 ( a ± b ) 2 = a 2 ±2 ab + b 2 课堂小结 课堂小结 1. 已知 （ a + b ) 2 =11, ( a - b ) 2 =7 , 则 ab 等于（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 1 或 -1 A 2. 如果 4 x 2 +12 xy + k 是一个关于 x 、 y 的完全平方式，则 k 等于（ ） A. 3 y 2 B. 9 y 2 C. y D. 36 y 2 B 3. 如果 a + =3, 那么 a 2 + = . 7 课堂训练 课后训练 4 . 已知 , , 求 （ a + b ） 2 -( a - b ) 2 的值 . 解 : ( a + b ) 2 -( a - b ) 2 =[( a + b )+( a - b )][( a + b )-( a - b )] =2 a ·2 b =4 ab. 当 ， 时， 原式 =4× × = 5. 若 2 ｍ =5 ， 2 ｎ =3 ， 求 2 3 ｍ +2 ｎ 的值． 解 ： 2 3 ｍ +2 ｎ =2 3 ｍ × 2 2 ｎ = （ 2 ｍ ） 3 × （ 2 ｎ ） 2 =5 3 × 3 2 =1125.