人教A版高中数学选修2-1《3.1.5空间向量运算的坐标表示》课件.pptx

第三章　 §3.1　 空间向量及其运算 3.1.5 　空间向量运算的坐标表示 学习目标 1. 理解空间向量坐标的概念 ， 会确定一些简单几何体的顶点坐标 . 2 . 掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直 . 3 . 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题 . 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　空间向量的坐标运算 思考 　 设 m ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， n ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，那么 m ＋ n ， m － n ， λ m ， m · n 如何运算？ m ＋ n ＝ ( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 ) ， m － n ＝ ( x 1 － x 2 ， y 1 － y 2 ) ， λ m ＝ ( λx 1 ， λy 1 ) ， m · n ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 . 答案 梳理 空间向量 a ， b ，其坐标形式为 a ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a ＋ b ______________________ 减法 a － b ______________________ 数乘 λ a _______________ 数量积 a · b ________________ ( a 1 ＋ b 1 ， a 2 ＋ b 2 ， a 3 ＋ b 3 ) ( a 1 － b 1 ， a 2 － b 2 ， a 3 － b 3 ) ( λa 1 ， λa 2 ， λa 3 ) a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ) ，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a ∥ b a ＝ λ b ( λ ∈ R ) a 1 ＝ λb 1 ， a 2 ＝ λb 2 ， a 3 ＝ λb 3 ( λ ∈ R ) a ⊥ b a · b ＝ 0 __________________ 模 | a | ＝ _____ ________________ 夹角 a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ a 3 b 3 ＝ 0 题型探究 类型一　空间向量的坐标运算 例 1 　已知 a ＝ (1 ， － 2 ， 1) ， a － b ＝ ( － 1 ， 2 ， － 1) ， 则 b 等于 A.(2 ，－ 4 ， 2) B.( － 2 ， 4 ，－ 2) C.( － 2 ， 0 ，－ 2) D.(2 ， 1 ，－ 3) 依题意，得 b ＝ a － ( － 1 ， 2 ，－ 1) ＝ a ＋ (1 ，－ 2 ， 1 ) ＝ 2(1 ，－ 2 ， 1) ＝ (2 ，－ 4 ， 2). 答案 解析 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1) 直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算 . (2) 由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标 . 反思与感悟 跟踪训练 1 　若向量 a ＝ (1 ， 1 ， x ) ， b ＝ (1 ， 2 ， 1) ， c ＝ (1 ， 1 ， 1) ，且满足条件 ( c － a )·(2 b ) ＝－ 2 ，则 x ＝ ___. 2 答案 解析 据题意，有 c － a ＝ (0 ， 0 ， 1 － x ) ， 2 b ＝ (2 ， 4 ， 2) ， 故 ( c － a )·2 b ＝ 2(1 － x ) ＝－ 2 ，解得 x ＝ 2. 类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示 解 得 λ ＝ ±1. 即 c ＝ ( － 2 ，－ 1 ， 2) 或 c ＝ (2 ， 1 ，－ 2). 解答 所以 k a ＋ b ＝ ( k － 1 ， k ， 2) ， k a － 2 b ＝ ( k ＋ 2 ， k ，－ 4). 又因为 ( k a ＋ b ) ⊥ ( k a － 2 b ) ，所以 ( k a ＋ b )·( k a － 2 b ) ＝ 0. 即 ( k － 1 ， k ， 2)·( k ＋ 2 ， k ，－ 4) ＝ 2 k 2 ＋ k － 10 ＝ 0 . (2) 若 k a ＋ b 与 k a － 2 b 互相垂直，求 k . 解答 由题意知 k a － b ＝ ( k ＋ 1 ， k ，－ 2) ， k a ＋ 2 b ＝ ( k － 2 ， k ， 4) ， ∵ ( k a － b ) ⊥ ( k a ＋ 2 b ) ， ∴ ( k a － b )·( k a ＋ 2 b ) ＝ 0 ， 引申探究 若将本例 (2) 中改为 “ 若 k a － b 与 k a ＋ 2 b 互相垂直 ” ，求 k 的值 . 解答 反思与感悟 (1) 平行与垂直的判断 ① 应用 向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线 . ② 判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为 0. (2) 平行与垂直的应用 ① 适当引入参数 ( 比如向量 a ， b 平行，可设 a ＝ λ b ) ，建立关于参数的方程 . ② 选择坐标形式，以达到简化运算的目的 . 跟踪训练 2 　在正方体 AC 1 中，已知 E 、 F 、 G 、 H 分别是 CC 1 、 BC 、 CD 和 A 1 C 1 的中点 . 证明： (1) AB 1 ∥ GE ， AB 1 ⊥ EH ； 证明 ∴ A 1 G ⊥ DF ， A 1 G ⊥ DE . 又 DF ∩ DE ＝ D ， ∴ A 1 G ⊥ 平面 EFD . 证明 (2) A 1 G ⊥ 平面 EFD . 类型三　空间向量的夹角与长度的计算 例 3 　棱长为 1 的正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， G 分别是 DD 1 ， BD ， BB 1 的中点 . (1) 求证： EF ⊥ CF ； 证明 解答 (3) 求 CE 的长 . 解答 反思与感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷 . 建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题 . ∵ 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，且 ∠ DAB ＝ 60° ， 跟踪训练 3 　如图，在四棱锥 P － ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形， ∠ DAB ＝ 60° ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， PO ⊥ 平面 ABCD ， PB 与平面 ABCD 所成角为 60 ° . (1) 求四棱锥 P － ABCD 的体积； 解答 (2) 若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值 . 解答 如 图 ， 以 O 为原点 ， OB 、 OC 、 OP 分别为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴建立空间直角坐标系 ， ∵ 异面直线所成的角为锐角或直角， 当堂训练 1. 已知向量 a ＝ (3 ， － 2 ， 1) ， b ＝ ( － 2 ， 4 ， 0) ，则 4 a ＋ 2 b 等于 A.(16 ， 0 ， 4) B.(8 ，－ 16 ， 4) C.(8 ， 16 ， 4) D.(8 ， 0 ， 4) 4 a ＋ 2 b ＝ 4(3 ，－ 2 ， 1) ＋ 2( － 2 ， 4 ， 0) ＝ (12 ，－ 8 ， 4) ＋ ( － 4 ， 8 ， 0) ＝ (8 ， 0 ， 4). 答案 解析 √ 2 3 4 5 1 2. 若 a ＝ (2 ，－ 3 ， 1) ， b ＝ (2 ， 0 ， 3) ， c ＝ (0 ， 2 ， 2) ，则 a ·( b ＋ c ) 的值为 A.4 B.15 C.3 D.7 ∵ b ＋ c ＝ (2 ， 2 ， 5) ， ∴ a ·( b ＋ c ) ＝ 4 － 6 ＋ 5 ＝ 3. √ 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 3. 已知 a ＝ (2 ，－ 3 ， 1) ，则下列向量中与 a 平行的是 A.(1 ， 1 ， 1) B .( － 4 ， 6 ，－ 2) C.(2 ，－ 3 ， 5) D.( － 2 ，－ 3 ， 5) 若 b ＝ ( － 4 ， 6 ，－ 2) ，则 b ＝－ 2(2 ，－ 3 ， 1) ＝－ 2 a ，所以 a ∥ b . √ 答案 解析 2 3 4 5 1 4. 已知向量 a ＝ (1 ， 1 ， 0) ， b ＝ ( － 1 ， 0 ， 2) ，且 k a ＋ b 与 2 a － b 互相垂直，则 k 的值是 依题意得 ( k a ＋ b )·(2 a － b ) ＝ 0 ， 所以 2 k | a | 2 － k a · b ＋ 2 a · b － | b | 2 ＝ 0 ， 而 | a | 2 ＝ 2 ， | b | 2 ＝ 5 ， a · b ＝－ 1 ， 所以 4 k ＋ k － 2 － 5 ＝ 0 ，解得 k ＝ . √ 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 规律与方法 1. 在空间直角坐标系中，已知点 A ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， 则 ＝ ( x 2 － x 1 ， y 2 － y 1 ， z 2 － z 1 ). 一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标 . 2. 两点间的距离公式：若 A ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， 3. 空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围 .