第
37
节 选择题
专练二
(空间与图形)
第十章 填空题
1.
如图,已知∠
1=∠2
,则图中互相平行的线段是
.
【
分析
】
直接根据平行线的判定定理进行解答即可.
【
解答
】
解:∵∠
1=∠2
(已知),∴
AB∥CD
(内错角相等,两直线平行).故答案为:
AB∥CD
.
AB∥CD
2
.如图,已知
a∥b
,小亮把三角板的直角顶点放在直线
b
上.若∠
1=40°
,则∠
2
的度数为
.
【
分析
】
由直角三角板的性质可知∠
3=180°-∠1-90°
,
再根据平行线的性质即可得出结论.
【
解答
】
解:∵∠
1=40°
,∴∠
3=180°-∠1-90°=180°-40°-90°=50°
,∵
a∥b
,∴∠
2=∠3=50°
.故答案为:
50°
.
50°
3.
如果三角形的两条边长分别为
23cm
和
10cm
,第三边与其中一边的长相等,那么第三边的长为
cm
.
【
分析
】
根据在三角形中任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边.即可求解.
【
解答
】
解:设第三边的长为
x
,满足:
23cm-10cm
<
x
<
23cm+10cm
.即
13cm
<
x
<
33cm
.因而第三边一定是
23cm
.
23
4.
如图,在△
ABC
中,∠
A=60°
,∠
B=40°
,点
D
、
E
分别在
BC
、
AC
的延长线上,则∠
1=
°
.
【
分析
】
先根据三角形内角和定理求出∠
ACB
的度数,再根据对顶角相等求出∠
1
的度数即可.
【
解答
】
解:∵△
ABC
中,∠
A=60°
,∠
B=40°
,∴∠
ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°
,∴∠
1=∠ACB=80°
.故答案为:
80
.
80
5.
如图,在
Rt△ABC
中,∠
ACB=90°
,
D
、
E
、
F
分别是
AB
、
BC
、
CA
的中点,
若
CD=5cm
,则
EF=
cm
.
【
分析
】
已知
CD
是
Rt△ABC
斜边
AB
的中线,那么
AB=2CD
;
EF
是△
ABC
的中位线,则
EF
应等于
AB
的一半.
【
解答
】
解:∵△
ABC
是直角三角形,
CD
是斜边的中线,∴
CD= AB
,又∵
EF
是△
ABC
的中位线,∴
AB=2CD=2×5=10cm
,∴
EF= ×10=5cm
.故答案为:
5
5
6.
如图,已知
AC=BD
,要使△
ABC≌△DCB
,则只需添加一个适当的条件是
.(填一个即可)
【
分析
】
由
AC=BD
,
BC
是公共边,即可得要证△
ABC≌△DCB
,可利用
SSS
或
SAS
证得.
【
解答
】
解:∵
AC=BD
,
BC
是公共边,∴要使△
ABC≌△DCB
,需添加:①
AB=DC
(
SSS
),②∠
ACB=∠DBC
(
SAS
).故答案为:此题答案不唯一:如
AB=DC
或∠
ACB=∠DBC
.
∠
ACB=∠DBC
7.
在
Rt△ABC
中,∠
ACB=90°
,
BC=2cm
,
CD⊥AB
,在
AC
上取一点
E
,使
EC=BC
,过点
E
作
EF⊥AC
交
CD
的延长线于点
F
,若
EF=5cm
,
则
AE=
cm
.
【
分析
】
根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠
ECF=∠B
,然后利用“角边角”证明△
ABC
和△
FCE
全等,根据全等三角形对应边相等可得
AC=EF
,再根据
AE=AC-CE
,代入数据计算即可得解.
3
【
解答
】
解:∵∠
ACB=90°
,∴∠
ECF+∠BCD=90°
,∵
CD⊥AB
,∴∠
BCD+∠B=90°
,∴∠
ECF=∠B
(等角的余角相等),在△
FCE
和△
ABC
中,
∴△
ABC≌△FEC
(
ASA
),∴
AC=EF
,∵
AE=AC-CE
,
BC=2cm
,
EF=5cm
,∴
AE=5-2=3cm
.故答案为:
3
.
8.
如图,
D
、
E
分别是△
ABC
的边
AB
、
AC
上的点,连接
DE
,要使△
ADE∽△ACB
,还需添加一个条件
(只需写一个).
【
分析
】
由∠
A
是公共角,利用有两角对应相等的三角形相似,即可得可以添加∠
ADE=∠C
或∠
AED=∠B
;又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,即可得
D
可以添加
AD
:
AC=AE
:
AB
或
AD•AB=AE•AC
,继而求得答案.
∠ADE=∠C
【
解答
】
解:∵∠
A
是公共角,∴当∠
ADE=∠C
或∠
AED=∠B
时,△
ADE∽△ACB
(有两角对应相等的三角形相似),当
AD
:
AC=AE
:
AB
或
AD•AB=AE•AC
时,△
ADE∽△ACB
(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似),∴要使△
ADE∽△ACB
,还需添加一个条件:答案不唯一,如∠
ADE=∠C
或∠
AED=∠B
或
AD
:
AC=AE
:
AB
或
AD•AB=AE•AC
等.故答案为:此题答案不唯一,如∠
ADE=∠C
或∠
AED=∠B
或
AD
:
AC=AE
:
AB
或
AD•AB=AE•AC
等.
9.
如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内
M
处的运动员林丹把球从
N
点击到了对方内的
B
点,已知网高
OA=1.52
米,
OB=4
米,
OM=5
米,则林丹起跳后击球点
N
离地面的距离
NM=
米.
【
分析
】
首先根据题意易得△
ABO∽△NAM
,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得答案.
3.42
【
解答
】
解:根据题意得:
AO⊥BM
,
NM⊥BM
,∴
AO∥NM
,∴△
ABO∽△NBM
,
∵
OA=1.52
米,
OB=4
米,
OM=5
米,∴
BM=OB+OM=4+5=9
(米),
解得:
NM=3.42
(米),∴林丹起跳后击球点
N
离地面的距离
NM
为
3.42
米.故答案为:
3.42
.
10.
如图,以点
O
为位似中心,将五边形
ABCDE
放大后得到五边形
A′B′C′D′E′
,已知
OA=10cm
,
OA′=20cm
,则五边形
ABCDE
的周长与五边形
A′B′C′D′E′
的周长的比值是
.
【
分析
】
由五边形
ABCDE
与五边形
A′B′C′D′E′
位似,可得五边形
ABCDE
∽
五边形
A′B′C′D′E′
,又由
OA=10cm
,
OA′=20cm
,即可求得其相似比,根据
相似多边形的周长的比等于其相似比,即可求得答案.
【
解答
】
解:∵五边形
ABCDE
与五边形
A′B′C′D′E′
位似,
OA=10cm
,
OA′=20cm
,∴五边形
ABCDE∽
五边形
A′B′C′D′E′
,且相似比为:
OA
:
OA′=10
:
20=1
:
2
,∴五边形
ABCDE
的周长与五边形
A′B′C′D′E′
的周长的比为:
OA
:
OA′=1
:
2
.故答案为:
1
:
2
.
1
:
2
11
.(
2016
淮安)已知一个等腰三角形的两边长分别为
2
和
4
,则该等腰三角形的周长是
.
【分析】
根据任意两边之和大于第三边,知道等腰三角形的腰的长度是
4
,底边长
2
,把三条边的长度加起来就是它的周长.
【解答】
解:因为
2
+
2
<
4
,
所以等腰三角形的腰的长度是
4
,底边长
2
,
周长:
4
+
4
+
2=10
,答:它的周长是
10
,故答案为:
10
10
12.
边长为
6cm
的等边三角形中,其一边上高的长度为
cm
.
【
分析
】
根据等边三角形三角都是
60°
利用三角函数可求得其高.
【
解答
】
解:∵△
ABC
是等边三角形,∴∠
B=60°
,∵
AB=6cm
,∴
AD= cm
.
故答案为:
cm
.
13.
如图所示,在
Rt△ABC
中,
CD
是斜边
AB
上的高,∠
ACD=40°
,则∠
EBC=
度.
【
分析
】
首先根据余角的性质求出∠
ABC
的
度数,再根据邻补角定义求出∠
EBC
.
【
解答
】
解:∵在
Rt△ABC
中,
CD
是斜边
AB
上的高,∴∠
ABC=∠ACD=90°-∠BCD=40°
,∴∠
EBC=180°-∠ABC=140°
.故答案为:
140
.
140
14.
在△
ABC
中,∠
C=90°
,
sinA=
,则
cosB=
.
【
分析
】
解答此题要利用互余角的三角函数间的关系:
sin
(
90°-α
)
=cosα
,
cos
(
90°-α
)
=sinα
.
【
解答
】
解:∵在△
ABC
中,∠
C=90°
,∴∠
A+∠B=90°
,∴
cosB=sinA=
.
15
.计算:
cos
2
45°+tan30°•sin60°=
.
【
分析
】
将
cos45°=
,
tan30°=
,
sin60°=
代入即可得出答案.
【
解答
】
解:
cos245°+tan30°•sin60
.故答案为:
1
.
1
16.
如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为
18cm
,深为
30cm
,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为
A
,斜坡的起始点为
C
,现设计斜坡
BC
的坡度
i=1
:
5
,则
AC
的长度
是
cm
.
【
分析
】
首先过点
B
作
BD⊥AC
于
D
,根据题意即可求得
AD
与
BD
的长,然后由斜坡
BC
的坡度
i=1
:
5
,求得
CD
的长,继而求得答案.
210
【
解答
】
解:过点
B
作
BD⊥AC
于
D
,根据题意得:
AD=2×30=60
(
cm
),
BD=18×3=54
(
cm
),∵斜坡
BC
的坡度
i=1
:
5
,∴
BD
:
CD=1
:
5
,∴
CD=5BD=5×54=270
(
cm
),∴
AC=CD-AD=270-60=210
(
cm
).∴
AC
的长度是
210cm
.故答案为:
210
.
∵平行四边形的两条对角线互相平分,
∴
AO=1/2AC=1/2×6=3.
故答案为:
3
【分析】
根据多边形的内角和是(
n
﹣
2
)
•
180
°
,代入计算即可.
【解答】
解:(
5
﹣
2
)
•
180
°
=540
°
,
故答案为:
540
17.
(
2016
泰州)五边形的内角和是
°
.
540
18.
如图,在四边形
ABCD
中,
ABCD
,
ADBC
,
AC
、
BD
相交于点
O.
若
AC=6
,则线段
AO
的长度等于
.
3
19.
如图,将矩形
ABCD
沿
CE
折叠,点
B
恰好落在边
AD
的
F
处,如果 ,那么
tan∠DCF
的值是
.
【
分析
】
由矩形
ABCD
沿
CE
折叠,点
B
恰好落在边
AD
的
F
处,即可得
BC=CF
,
CD=AB
,由 ,可得 ,然后设
CD=2x
,
CF=3x
,利用勾股定理即可求得
DF
的值,继而求得
tan∠DCF
的值.
【
解答
】
解:∵四边形
ABCD
是矩形,∴
AB=CD
,∠
D=90°
,∵将矩形
ABCD
沿
CE
折叠,点
B
恰好落在边
AD
的
F
处,∴
CF=BC
,
设
CD=2x
,
CF=3x
,
故答案为: .
20.
如图,在菱形
ABCD
中,对角线
AC=6
,
BD=8
,则这个菱形的边长为
.
【
分析
】
由在菱形
ABCD
中,对角线
AC=6
,
BD=8
,根据菱形的对角线互相平分且互相垂直,即可得
AC⊥BD
,
OA= AC=3
,
OB= BD=4
,然后在
Rt△AOB
中,利用勾股定理即可求得这个菱形的边长.
【
解答
】
解:∵四边形
ABCD
是菱形,
AC=6
,
BD=8
,∴
AC⊥BD
,
OA= AC=3
,
OB= BD=4
,在
Rt△AOB
中,
AB= =5
.即这个菱形的边长为
5
.故答案为:
5
.
5
21.
如图,在平面直角坐标系中有一边长为
1
的正方形
OABC
,边
OA
、
OC
分别在
x
轴、
y
轴上,如果以对角线
OB
为边作第二个正方形
OBB
1
C
1
,再以对角线
OB
1
为边作第三个正方形
OB
1
B
2
C
2
,照此规律作下去,
则点
B
2012
的坐标为
.
【
分析
】
首先求出
B
1
、
B
2
、
B
3
、
B
4
、
B
5
、
B
6
、
B
7
、
B
8
、
B
9
的坐标,找出这些坐标的之间的规律,然后根据规律计算出点
B
2012
的坐标.
(
-2
1006
,
-2
1006
)
【
解答
】
解:∵正方形
OABC
边长为
1
,∴
OB=
,∵正方形
OBB1C1
是正方形
OABC
的对角线
OB
为边,∴
OB
1
=2
,∴
B
1
点坐标为(
0
,
2
),同理可知
OB
2
=2
,
B
2
点坐标为(
-2
,
2
),同理可知
OB
3
=4
,
B
3
点坐标为(
-4
,
0
),
B
4
点坐标为(
-4
,
-4
),
B
5
点坐标为(
0
,
-8
),
B
6
(
8
,
-8
),
B
7
(
16
,
0
)
B
8
(
16
,
16
),
B
9
(
0
,
32
),由规律可以发现,每经过
8
次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边长变为原来的 倍,
∵
2012÷8=251…4
,∴
B
2012
的纵横坐标符号与点
B4
的相同,纵横坐标都是负值,∴
B
2012
的坐标为(
-2
1006
,
-2
1006
).故答案为:(
-2
1006
,
-2
1006
).
22.
如图,
AB
是⊙
O
的直径,弦
CD⊥AB
,
垂足为
E
,如果
AB=26
,
CD=24
,那么
sin∠OCE=
.
【
分析
】
根据果
AB=26
,判断出半径
OC=13
,再根据垂径定理求出
CE= CD=12
,在
Rt△OCE
中,利用勾股定理求出
OE
的长,再根据正弦函数的定义,求出
sin∠OCE
的度数.
【
解答
】
解:如图: ∵
AB
为⊙
0
直径,
AB=26
,∴
OC= ×26=13
,又∵
CD⊥AB
,∴
CE= CD=12
,在
Rt△OCE
中,
OE= =5
,∴
sin∠OCE=
.故答案为: .
23.
如图,点
A
、
B
、
C
在圆
O
上,∠
A=60°
,则∠
BOC=
度.
【
分析
】
欲求∠
BOC
,已知了同弧所对的圆周角∠
A
的度数,可根据圆周角定理求出∠
BOC
的度数.
【
解答
】
解:∵∠
BAC
和∠
BOC
是同弧所对的圆周角和圆心角,∴∠
BOC=2∠BAC=2×60°=120°
.故答案为
120
.
120
24.
如图,△
ABC
为⊙
O
的内接三角形,
AB
为⊙
O
的直径,点
D
在⊙
O
上,∠
ADC=68°
,则∠
BAC=
°
.
【
分析
】
由在同圆或等圆中,同弧或等弧
所对的圆周角相等,即可求得∠
B
的度数,
又由直径所对的圆周角是直角,即可求得
∠
ACB=90°
,继而求得答案.
【
解答
】
解:∵∠
ABC
与∠
ADC
是 对的圆周角,∴∠
ABC=∠ADC=68°
,∵
AB
为⊙
O
的直径,∴∠
ACB=90°
,∴∠
BAC=90°-∠ABC=90°- 68°=22°
.故答案为:
22
.
22
25.
如图,点
P
是⊙
O
外一点,
PA
是⊙
O
的切线,切点为
A
,⊙
O
的半径
OA=2cm
,∠
P=30°
,则
PO=
cm
.
【
分析
】
根据切线的性质判定△
APO
为直角三角形,然后在直角三角形中,利用
30
度角所对的直角边
OA
等于斜边
PO
的一半即可求得
PO
的值.
【
解答
】
解:∵如图,
PA
是⊙
O
的切线,∴
PA⊥OA
,∴∠
PAO=90°
;又∵∠
P=30°
(已知),∴
PO=2OA
(
30°
角所对的直角边是斜边的一半);∵
OA=2cm
(已知),∴
PO=4cm
;故答案是:
4
.
4
26.
如图,⊙
O
的半径为
6cm
,直线
AB
是
⊙
O
的切线,切点为点
B
,弦
BC∥AO
,
若∠
A=30°
,则劣弧 的长为
cm
.
【
分析
】
根据切线的性质可得出
OB⊥AB
,继而求出∠
BOA
的度数,利用弦
BC∥AO
,及
OB=OC
可得出∠
BOC
的度数,代入弧长公式即可得出答案.
【
解答
】
解:∵直线
AB
是⊙
O
的切线,∴
OB⊥AB
,又∵∠
A=30°
,∴∠
BOA=60°
,∵弦
BC∥AO
,
OB=OC
,∴△
OBC
是等边三角形,即可得∠
BOC=60°
,∴劣弧 的长
= =2πcm
.故答案为:
2π
.
2π
27.
如图,在
Rt△ABC
中,∠
C=90°
, ∠
BAC=30°
,
AB=2.
将
△ABC
绕顶点
A
顺时针方向旋转至
△A′B′C′
的位置,
B
、
A
、
C′
三点共线,则线段
BC
扫过的区域面积为
.
(结果保留
π
)
28.
(
2016
乐至一模)如图,有一圆心角为
120°
,半径长为
6cm
的扇形,若将
OA
、
OB
重合后围
成一圆锥侧面,那么圆锥的高是
cm
.
【分析】
本题已知扇形的圆心角及半径就是已知
圆锥的底面周长,能求出底面半径,而底面半径、
圆锥的高、母线长即扇形半径构成直角三角形,所以可利
用勾股定理解决.
【解答】
解:∵有一圆心角为
120
°
,半径长为
6cm
的扇形,若将
OA
、
OB
重合后围成一圆锥侧面,
∴扇形的弧长为
=4
π
,即圆锥的底面圆周长为
4
π
,
∴底面圆半径为
2
,∵
OA=6
,∴圆锥的高是:
故答案为
4
.
4
29.
如图,小明在
A
时测得某树的影长为
2m
,
B
时又测得该树的影长为
8m
,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为
m
.
【
分析
】
根据题意,画出示意图,易得:
Rt△EDC∽Rt△CDF
,进而可得 ;即
DC
2
=ED•FD
,代入数据可得答案.
【
解答
】
解:如图:过点
C
作
CD⊥EF
,由题意得:△
EFC
是直角三角形,∠
ECF=90°
,∴∠
EDC=∠CDF=90°
,∴∠
E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°
,∴∠
E=∠DCF
,∴
Rt△EDC∽Rt△CDF
,有 ;即
DC
2
=ED•FD
,代入数据可得
DC
2
=16
,
DC=4
;故答案为:
4
.
4
30.
如图,两块相同的三角板完全重合在一起,∠
A=30°
,
AC=10
,把上面一块绕直角顶点
B
逆时针旋转到△
A′BC′
的位置,点
C′
在
AC
上,
A′C′
与
AB
相交于点
D
,
则
C′D=
.
【
分析
】
根据等边三角形的判定得出△
BCC′
是
等边三角形,再利用已知得出
DC′
是△
ABC
的中位线,进而得出
DC′= BC=
.
【
解答
】
解:∵∠
A=30°
,
AC=10
,∠
ABC=90°
,∴∠
C=60°
,
BC=BC′= AC=5
,∴△
BCC′
是等边三角形,∴
CC′=5
,∵∠
A′C′B=∠C′BC=60°
, ∴
C′D∥BC
,∴
DC′
是△
ABC
的中位线,∴
DC′= BC=
,故答案为: .
31.
(
2016
临沂)如图,将一矩形纸片
ABCD
折叠,使两个顶点
A
,
C
重合,折痕为
FG
.若
AB=4
,
BC=8
,则△
ABF
的面积为
.
【分析】
根据折叠的性质求出
AF=CF
,
根据勾股定理得出关于
CF
的方程,求出
CF
,求出
BF
,根据面积公式求出即可.
【解答】
解:∵将一矩形纸片
ABCD
折叠,使两个顶点
A
,
C
重合,折痕为
FG
,
∴
FG
是
AC
的垂直平分线,∴
AF=CF
,
设
AF=FC=x
,
在
Rt
△
ABF
中,有勾股定理得:
AB
2
+
BF
2
=AF
2
,
4
2
+
(
8
﹣
x
)
2
=x
2
,
解得:
x=5
,
即
CF=5
,
BF=8
﹣
5=3
,
∴△
ABF
的面积为
×
3
×
4=6
,
故答案为:
6
.
6
谢
谢
观
看
!