一、复习
导数的几何意义
导数的物理物理意义
2.
求函数的导数的方法是
:
说明
:
上面的方法中把
x
换
x
0
即为求函数在点
x
0
处的 导数
.
几种常见函数的导数
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式
.
1.
函数
y=f(x
)=c (c
为常数
)
1.
函数
y
=
f
(
x
) =
c
的导数
y=c
y
x
O
y
=0
表示函数
y
=
x
图象上每一点处的切线的斜率都为
0.
若
y=c
表示路程关于时间的函数
,
则
y
=0
则为某物体的瞬时速度始终为
0,
即一直处于静止状态
.
从几何的角度理解：
从物理的角度理解：
2.
函数
y
=
f
(
x
)=
x
的导数
y=x
y
x
O
y
=1
表示函数
y
=
x
图象上每一点处的切线斜率都为
1.
若
y
=
x
表示路程关于时间的函数
,
则
y
=1
可以解释为某物体做瞬时速度为
1
的匀速运动
.
从几何的角度理解：
从物理的角度理解：
探究
在同一平面直角坐标系中
,
画出函数
y
=2
x
,
y
=3
x
,
y
=4
x
的图象
,
并根据导数定义
,
求它们的导数
.
(1)
从图象上看
,
它们的导数分别表示什么
?
(2)
这三个函数中
,
哪一个增加得最快
?
哪一个增加得最慢
?
(3)
函数
y
=
kx
(
k
≠0)
增
(
减
)
的快慢与什么有关
?
2
1
-1
-2
-2
-1
1
2
x
y
y=x
y=2x
y=3x
y=4x
函数
y
=
f
(
x
)=
kx
的导数
3.
函数
y
=
f
(
x
) =
x
2
的导数
y
=
x
2
y
x
O
y
=2
x
表示函数
y
=
x
2
图象上点
(
x
,
y
)
处切线的斜率为
2
x
,
说明随着
x
的变化
,
切线的斜率也在变化
.
从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看
,
y
=2
x
表明
:
当
x
0
时
,
随着
x
的增加
,
y
=
x
2
增加得越来越快
.
若
y
=
x
2
表示路程关于时间的函数
,
则
y
=2
x
可以解释为某物体作变速运动
,
它在时刻
x
的瞬时速度为
2
x
.
从几何的角度理解：
从物理的角度理解：
4.
函数
y
=
f
(
x
) =
的导数
探究
画出函数 的图象
.
根据图象
,
描述它的变化情况
,
并求出曲线在点
(1,1)
处的切线方程
.
2
1
-1
-2
-2
-1
1
2
x
y
5.
函数
y
=
f
(
x
) =
的导数
小结
1.
若
f
(
x
)=
c
（
c
为常数）
,
则
f
(
x
)=0
；
2.
若
f
(
x
)=
x
,
则
f
(
x
)=1
；
3.
若
f
(
x
)=
x
2
,
则
f
(
x
)=2
x
；
这个公式称为幂函数的导数公式
.
事实上 可以是任意实数
.
推广
:
练习：
1
求下列幂函数的导数
2:
导数的运算法则
:
法则
1:
两个函数的和
(
差
)
的导数
,
等于这两个函数的导数的
和
(
差
),
即
:
法则
2:
两个函数的积的导数
,
等于第一个函数的导数乘第二个函数
,
加上第一个函数乘第二个函数的导数
,
即
:
法则
3:
两个函数的积的导数
,
等于第一个函数的导数乘第二个函数
,
减去第一个函数乘第二个函数的导数
,
再除以第二个函数的平方
.
即
:
例
.
求函数
y=x
3
-2x
2
+3
的导数
.
推论
:
例
6
.
日常生活中的饮用水通常是经过净化的
,
随着水纯净度的提高
,
所需净化费用不断增加
.
已知将
1
吨水净化到纯净度为
x%
时所需费用
(
元
):
求净化到下列纯净度时所需净化费用的瞬时变化率
:(1)90%,(2)98%.
1.
已知曲线
C
：
f(x
)=x
3
求曲线
C
上横坐标为
1
的点处的切线方程
2.
求过点（
2,0
）与曲线 相切的切线方程
3.
已知
P
（
-1
，
1
），
Q
（
2
，
4
）是曲线
y=x
2
上的两点，求与直线
PQ
平行的曲线
y=x
2
的切线方程。
看几个例子
:
练习
:
求下列函数的导数
:
答案
:
四、小结
:
知识点
:
基本初等函数的导数公式、导数的运算法则
能力要求：
（
1
）熟记这些公式、法则；
（
2
）会求简单函数的导数；
（
3
）会求曲线在某点处的切线方程。
课后思考
:
如何求函数 的导数
?
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