2022年高考数学一轮复习讲练测4.7 解三角形及其应用举例（新高考）（练）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第四章三角函数与解三角形专题4.7解三角形及其应用举例（练）【夯实基础】1．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（）A．15米/秒B．15米/秒C．20米/秒D．20米/秒【答案】A【解析】根据题意可得，再除以时间即可得解.【详解】根据题意，由B处在山顶俯角为，所以，由A东偏南，B东偏南，所以，所以为等腰三角形，所以， 由，所以速度为米/秒，故选：A2．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在中，已知，则的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.【详解】解：由正弦定理得，整理得：即，又因为,所以,所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.故选：B3．（2021·辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（） A．B．C．D．【答案】C【解析】由“康威圆定理”可知的康威圆圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，据此可得圆的半径，进一步可求其面积.【详解】康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，所以其康威圆半径为，故面积为．故选:C.4．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（）A．210米B．米C．米D．420米【答案】C【解析】在中利用余弦定理求出，进而在中可求出，再在中求出，即可得解．【详解】设，所以，在中，，，所以， ，即，．在中，，所以，又在中，，所以，因此．故答案为：C．5．（2021·高一期中）如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（）A．米B．米C．米D．米【答案】A【解析】在中，可求得AC，根据正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【详解】因为在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，， 所以（米）故选：A6．（2021·浙江高二期末）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其三边与三角满足关系式，则的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】利用余弦定理将化边代入，结合求解即可．【详解】由题当，三角形为直角三角形当，则，又，则三角形为等腰三角形故选：D7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得，在中利用正弦定理可求得. 【详解】由题可知，，则，，设坡角为，则由题可得，则可求得，在中，，由正弦定理可得，即，解得，故宝塔的高为44m.故选：A.8.（浙江高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．【答案】9．（湖北高考真题））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD=________m.【答案】1006 【解析】由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填1006.10．（宁夏高考真题）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.【答案】见解析【解析】要求长度，需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1,β1，最后通过正弦定理得到最终结果.①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1,β1；B点到M，N的俯角α2,β2；A，B的距离d……….3分②第一步：计算AM.由正弦定理AM=dsinα2sin(α1+α2)　；第二步：计算AN.由正弦定理AN=dsinβ2sin(β2−β1)　；第三步：计算MN.由余弦定理MN=AM2+AN2−2AM×ANcos(α1−β1)【提升能力】1．（2021·四川自贡市·高三三模（文））如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走b米到B处，在B处测得山顶P的仰角为γ（A、B、P、Q共面）则山高P等于（）米． A．B．C．D．【答案】A【解析】已知仰角为，的倾斜角，在处测得山顶的仰角为，用正弦定理可计算出高度.【详解】由题意可知，，，分别在，中，，，所以，又，在中，由正弦定理可得， 即，，在中，.故选：A.2.（2021·黑龙江校高三月考（理））在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.【答案】【解析】由已知条件可得，，，应用三角形面积公式求，，即可求四边形的面积.【详解】由题意，知：，且，， ∴，，∴四边形的面积.故答案为：3．（2021·高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示．在中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，若，且则面积的最大值为______．【答案】【解析】利用余弦定理化简已知条件得到的关系式，将的关系式代入所给的面积公式中，将面积转化为关于的函数形式，根据二次函数的对称轴求解出面积的最大值即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以当时，有最大值为， 故答案为：.4．（2021·河南高二月考（文））为测量山高.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得.已知山高米.则所求山高为___________米.【答案】【解析】在中可求得，再在利用正弦定理可求出，即可求得山高.【详解】由题，在中，，，在中，，，则，由正弦定理可得，即，解得，又在中，，，所以所求山高为米.故答案为：.5．（2021·高三三模（理））如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且， ．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．【答案】【解析】由题意，根据余弦定理得的值，则四边形的面积表示为，再代入面积公式化简为三角函数，根据三角函数的性质求解最大值即可.【详解】在中，，，，，，则（其中），当时，取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值.故答案为：.6．（2021·江苏高一月考）已知锐角三角形内接于单位圆，且，则面积的最大值是___________.【答案】【解析】由题意可知，由圆的性质可知，在 中，使用余弦定理和基本不等式，可得，再根据三角形面积公式，即可求出结果.【详解】如图，设圆的半径为1，因为，所以是直角三角形，即，所以角，由余弦定理可知由基本不等式可知，当且仅当时，取等号；所以，又.所以的面积的最大值为.7.（2021·浙江高三其他模拟）已知，，是中点，，则___________，___________.【答案】【解析】在中，利用正弦定理和二倍角公式，可以推出，从而得到的值；过点作 于，设，可求得AB和BC的长，在中，用正弦定理，即可求解.【详解】∵，∴，，且为锐角，∵，∴，在中，由正弦定理知，，∴.过点作于，设，则，，，∴，，，∴，在中，由正弦定理知，，∴，∴.故答案为：，.8．（2021·北京高三其他模拟）魏晋南北朝(公元 )时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离(图1)，故题为《海岛算经》受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的高度和距离(示意图如图2所示)，录得以下是数据(单位：米)：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高__________米，前表去塔远近__________米.【答案】246122【解析】根据相似三角形的性质计算可得；【详解】解：依题意可得，，所以，又，，所以，解得，所以故答案为：；；9．（2021·山西高三三模（理））如图，平面四边形内接于一个圆，且，， 为钝角，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，根据题中数据，由正弦定理求出，进而可到余弦值；（2）先根据四边形有外接圆，得到，求出，在中，由余弦定理求出，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）在中，，，，由正弦定理可得，即，解得；又为钝角，所以为锐角，则；（2）由平面四边形内接于一个圆可得，所以，又为钝角，所以为锐角，则，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得， 则的面积为.10．（2021·山西太原市·高三二模（文））如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.（1）求线段的长度；（2）若，求两条观光线路与之和的最大值.【答案】（1）3千米；（2）最大值为6千米．【解析】（1），．用余弦定理，即可求出；（2）设，，用正弦定理求出，，展开，结合辅助角公式可化为，由的取值范围，即可求解．【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，，，所以线段的长度为3千米；（2）设，因为，所以，在中，由正弦定理得，.所以，， 因此，因为，所以.所以当，即时，取到最大值6.所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．【拓展思维】1．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）在一个三角形中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在外作等边，再作的外接圆，则外接圆与线段的交点即为费马点.若，则___________.【答案】【解析】由费马点的性质及的边角关系，证得，从而有，然后在中，由余弦定理求得的长，从而求得结果.【详解】根据费马点的性质有，则，又，故，，即所以，从而有 则，则，在中，由余弦定理知，，解得，则，故答案为：2．（2021·四川高三月考（文））在中，，平分交于，且，则的面积的最小值为___________.【答案】【解析】由于的面积等于与的面积之和，所以可得，再结合已知条件和基本不等式可得，从而可求出的面积的最小值【详解】设的内角，，的对边分别为，，，因为的面积等于与的面积之和，所以，又因为，，代入得，又因为，所以，得，当等号成立所以的面积.故答案为： 3．（2021·福建厦门市·高三二模）在中，角所对的边分别为，.（1）求；（2）点在外，，，若四边形的面积为，证明：四边形为梯形.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简已知等式求得，由此得到；（2）设，，利用面积桥可得到；在和中，利用余弦定理可构造方程得到，由此求得，可得，证得，结合可得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，，，，，，，，，.（2）设，，，，，，， 四边形的面积为，，即…①，在,中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，化简得：…②，由①②得：，，，，，，与互补，，又，四边形是梯形.4．（2021·浙江高一期末）如图，游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘景区观光车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘观光车到B，在B处停留20分钟后，再从B匀速步行到C．假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路AC长为1170米，经测量，.（1）求观光车路线AB的长；（2）乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短．【答案】（1）1000m（2）【解析】（1）在中，根据，，由正弦定理，可得AB；（2）假设乙出发t分钟时，甲，乙两游客距离为d，此时，甲行走了，乙距离A处，由余弦定理得，再利用二次函数求解. 【详解】（1）在中，，，,由正弦定理得：，得()所以缆车线路AB的长为1000（2）假设乙出发t分钟时，甲，乙两游客距离为d，此时，甲行走了，乙距离A处，由余弦定理得，又在AB段的时间，即，故时，甲，乙两游客的距离最短.5．（上海高考真题）如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由. 【答案】（1），千米；（2）超过了3千米.【解析】（1），设此时甲运动到点，则千米，所以千米.（2）当时，乙在上的点，设甲在点，所以，，所以，当时，乙在点不动，设此时甲在点，所以.所以.所以当时,，故的最大值超过了3千米.6．（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形中，，，，、，. （1）求；（2）求面积的最大值.从①且为锐角；②；③这三个条件中任选一个补充在上面的问题中并作答【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.【解析】（1）选①：利用三角形的面积公式求出，结合为锐角求出的值，利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求得的长；选②：利用余弦定理计算得出的值，结合的取值范围可求得的值，利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求得的长；选③：求出，利用余弦定理计算得出的值，结合的取值范围可求得的值，再利用正弦定理可求得的长；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，利用三角形的面积公式可得结果.【详解】（1）选①，，是锐角，，由余弦定理可得，则，，则是四边形的外接圆直径，是的外接圆直径，； 选②：，，，由余弦定理可得，则，，则是四边形的外接圆直径，是的外接圆直径，；选③：，由余弦定理可得，，，，则是四边形的外接圆直径，是的外接圆直径，；（2）由（1），，在中，由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，.7．（2021·全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足，，设． （1）当，求四边形的面积；（2）当为何值时，线段最长．【答案】（1）；（2）时，最长为.【解析】（1）利用余弦定理求出，即得解；（2）先求出，设,，，利用余弦定理求出即得解.【详解】（1）在△中，由余弦定理得所以.所以四边形的面积.（2）由题得所以，设,，所以， 所以所以，因为，所以时，最长为.8．（2021·江苏高一月考）缉私船在A处测出某走私船在方位角为(航向)，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)（1）若，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间；（2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由.【答案】（1），；（2）能，．【解析】（1）在中，由正弦定理得缉私船航行的方位角正弦值；在中，由余弦定理建立方程，即可求出截获走私船所需的时间；（2）由（1）知，利用换元法得到关于的方程在必有两不同的实根，即可求解．【详解】 （1）设缉私船在B处截获走私船，所需的时间为，依题意，得，在中，由正弦定理得，，方位角为，，在中，由余弦定理得，，当时，，解得（负值已舍），即截获走私船所需时间为．（2）由（1）知，，即，因为走私船距离陆地27海里以9海里/时的速度航行，所以要能截获需在3小时之内，令，若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，则关于的方程在必有两不同的实根，则解得， 9．（2021·广东汕头市·高三二模）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到两份外卖单，他须分别到B地､D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A，B，C，D各地的示意图如图所示，，，，，，假设小李到达B､D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：，)【答案】答案见解析【解析】根据正弦定理先求解出的值，再根据余弦定理求解出的值，然后分析每条送餐路径的路程并确定出最短送餐路径对应的送餐时间.【详解】解：在中，由正弦定理可知：，即：，解得：， 由，即：，解得：，(由余弦定理可得，解得或者，)在中，由余弦定理可知：即，解得或(舍)；①若送餐路径为：，则总路程=②若送餐路径为：，则总路程=③若送餐路径为：，则总路程=④若送餐路径为：，则总路程=所以最短送餐路径为，此路径的送餐时间为：(分钟).10．（2021·江苏扬州市·高三其他模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），，．（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内种植观赏植物，在 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【答案】（1），；（2）万元．【解析】（1）根据解三角形和正弦定理可得，，（2）分别求出，，可得，设三项费用之和为，可得，，利用导数求出最值.【详解】解：（1）过点作，垂足为，在中，∵，，，∴，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴，在中，由正弦定理可得， ∴，，（2）在中，由正弦定理可得，∴，∴，又∴，设三项费用之和为，则，，∴，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴，即三项费用总和的最小值为万元．