2022年高考数学一轮复习讲练测3.5导数单元测试卷 新高考浙江卷解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）专题3.5《导数》单元测试卷时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·全国高三其他模拟（理））函数在处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对函数进行求导，求出和的值，即可得出结果.【详解】∵，∴，，所以切线方程为，故选：C.2．（2020·全国高二课时练习）设，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】B23/23 【解析】先求解出，然后根据求解出的值.【详解】解析：∵，∴，∴，∴，故选：B.3．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））函数的定义域为，部分对应值如下表，其导函数的图像如下图，023423030当时，函数的零点个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用，函数，令，得，或，得到函数的零点的个数．【详解】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：23/23 ，，（2），（3），（4），函数，令，得，或，当时，与有三个交点，当时，即，与有四个交点，所以函数的零点有7个．故选：．4．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））函数的图象大致为（）A．B．23/23 C．D．【答案】B【解析】利用奇偶性可排除C；令，利用导数可求得在上恒成立，由此可得在上恒成立，可排除A；利用洛必达法则知，可排除D，由此得到选项.【详解】由题意知：定义域为，，为奇函数，图象关于原点对称，可排除C；令，则，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，，当时，，可排除A；，，由洛必达法则可知：，可排除D.故选：B.23/23 5．（2021·重庆高三其他模拟）若函数的导函数为，对任意恒成立，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据已知条件，构造函数，求出导函数判断单调性，利用单调性比较函数值的大小即可求解.【详解】解：因为任意恒成立，即任意恒成立，又时，，所以，所以在上单调递减，因为，所以，即，所以，故选：C.23/23 6．（2021·高三其他模拟（文））已知实数，，满足，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】构造函数，利用导数可证，据此可比较大小.【详解】令，则当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即.所以，，故选：D7．（2021·吉林松原市·高三月考）已知实数，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】构造函数，通过导数判断函数的单调性，从而可得当时，，得到，再通过举反例可知当，时，，而，然后结合充条件和必要条件的定义判断即可【详解】令，，23/23 可得当时，；当时，，所以在上单调递增，在单调递减，因为，所以，所以，即，所以；可得当，时，可得，可得，而，综上可得当实数，时，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．8．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数，若存在实数，使得对任意的且，都有，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可将不等式化为，令，由导数可得在是减函数，则可得需满足，由可判断.【详解】当且时，，可化为，即，令，则，在是减函数，，则要使对任意的，值恒存在，只需，，所以满足条件得最大整数的值为3.故选：A.9．（2021·安徽高三其他模拟（理））关于x的不等式在恒成立，则实数a的最小值为（）23/23 A．B．0C．1D．【答案】D【解析】令，结合导数求出函数的最大值，从而可选出正确答案.【详解】依题意，令，所以，又，令，可得，所以或，当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增；所以当时，函数取最大值为，所以实数a的最小值为．故选:D.10．（2021·全国高三其他模拟（理））某市在精准扶贫专项工作中，通过实施农村农田水利项目，以夯实农村农业的发展基础，助力脱贫攻坚.现计划对该村旧的灌溉水渠进行加固改造，已知旧水渠的横截面是一段抛物线弧（如图所示），顶点在水渠的最底端，渠宽为，渠深为，欲在旧水渠内填充混凝土加固，改造成横截面为等腰梯形的新水渠，且新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），若要使所填充的混凝土量最小，则新水渠的底宽为（）A．B．C．D．【答案】B23/23 【解析】设抛物线的方程为，由点得出抛物线的方程，要使所填充的混凝土量最小，则如图内接等腰梯形的面积要最大，设点，得出此时梯形的面积，利用导数研究最大值即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设抛物线的方程为，因为点在抛物线上，可得，所以抛物线的方程为.要使所填充的混凝土量最小，则如图内接等腰梯形的面积要最大，设点，则此时梯形的面积，所以，又由，令，解得.当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时新水渠的底宽为.故选B.23/23 第II卷非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·浙江高三专题练习）设函数．若，则a=_________．【答案】1【解析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.12．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知函数，则__________；的最小值是__________.【答案】4【解析】求出导函数，可计算；利用可得最小值.【详解】23/23 因为，所以，，所以；，当时，，故.故答案为：①4；②.13．（2021·广东高三月考）函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是_____.【答案】【解析】利用导数的几何意义求得切线斜率，得到切线方程，求得横截距和纵截距，进而计算面积.【详解】,切线方程为：,即,横截距为,纵截距为,∴切线与两坐标轴围成的三角形面积是，故答案为：.14．（2020·全国高三专题练习）已知函数则的最小值为________，最大值为_______.23/23 【答案】【解析】由函数，求导，先求导函数的极大值和极小值，再与比较即可.【详解】则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则当时，又，所以故答案为：；.15．（2021·全国高三月考）若函数在处取极值，则______，的极大值为______.【答案】【解析】因为为极值点，故即可求解值；根据导数分析单调性判断极值即可求解．【详解】，由题可知，解得，所以，当时，得；当时，得或；所以在，上单调递减，在上单调递增，故的极大值为．23/23 故答案为：，．16.（2020·江西吉安市·高三其他模拟（理））定义：若数列满足，则称该数列为函数的“切线零点数列”.已知函数有两个零点、，数列为函数的“切线零点数列”，设数列满足，，数列的前项和为，则___________.【答案】【解析】根据二次函数的零点可求得、的值，求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得.【详解】有两个零点、，由韦达定理可得，解得，，.由题意得，，，.又，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，.故答案为：.23/23 17．（2020·浙江高三其他模拟）已知函数，若，则实数a的值是_________：若的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在直线上，则实数k的取值范围是_________.【答案】或0或【解析】（1）分段讨论代入即可求解；（2）求出直线关于直线对称的直线的方程，然后将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，解得，当时，，解得0或，综上，或0或；（2）直线关于直线对称的直线的方程为，即，对应的函数为.所以，直线与函数的图象有两个交点.对于一次函数，当时，，且.则直线与函数的图象交点的横坐标不可能为.当时，令，可得，23/23 此时，令.当时，，当时，；当时，.此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的极小值为；当时，，当时，；当时，.此时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数的极大值为.作出函数和函数的图象如下图所示：由图象可知，当或时，即当或时，直线与函数的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.23/23 故答案为：或0或；.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数（1）求函数在上的值域；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出导数，判断出单调性，即可求出最值；（2）设切点为，表示出切线方程，可得出，构造函数，利用导数求出其变化情况，根据与有三个交点可列出不等式求解.【详解】（1），当时，，单调递减；当时，，单调递增，在处取得极小值为，又，在上的值域为；（2）设切点为，则切线斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得，则曲线有三条切线方程等价于与有三个交点，，令解得或，令解得，在单调递增，在单调递减，23/23 在处取得极大值，在处取得极小值，要使与有三个交点，则需满足，解得.19．（2021·高三其他模拟（理））已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析，（2）【解析】（1）要证，只要证，所以利用导数求出的最小值即可；（2）（），转化为，而时此式恒成立，所以只考虑的情况，所以转化为，构造函数，然后利用导数求出其最小值即可【详解】（1）证明：当时，，定义域为，则，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是的最小值点，且，所以，（2）解：由（），得（），当时，上述不等式恒成立，当时，，令（），则，23/23 由（1）可知，当时，，所以由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是的最小值点，且，所以，所以实数的取值范围为20．（2021·全国高考真题（文））已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2)和.【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.【详解】(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；23/23 综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)由题意可得：，，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，切线方程为：,与联立得，化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为解得,，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.21．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数（1）讨论的零点个数；（2）若函数，当且时，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】23/23 （1）由得，令，求导利用单调性，可得的图象，结合图象可得答案；（2）不等式即为，在时易得成立，在时，由的范围得，这样只要证明即可，为此构造函数，得，再引入函数令，由导数确定的单调性，函数值的正负，得的单调性、极值，证得结论．【详解】（1）由得，因为，所以，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，，所以，当时，，所以的图象如下所示，所以当时，无零点；当或时，只有一个零点；23/23 当时，有两个零点.（2）证明：将代入函数解析式可得，，定义域为，要证，即证，①当时，，，不等式显然成立，②当时，，结合已知可得，，于是转化为，即证，令，则，令，则，且在上单调递增，∵，，存在使得，即，∴在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，故，得证.22．（2021·四川成都市·高三三模（理））设函数（1）若，求的单调区间；（2）若，对任意的，不等式恒成立.求的值；（3）记为的导函数，若不等式在上有实数解，求实数的取值范围.23/23 【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）；（3）.【解析】（1）求出，令，解出不等式可得答案.（2）设.由题意知，可得时函数单调递增，所以在上恒成立，分离参数即可求解.（3）由题意即，在上有解.即在上有解，设，故，由导数得出其单调性，从而得出最值即可得到答案.【详解】（1），所以，因为，所以时，，时，，所以的增区间为，减区间为.（2）当，.由恒成立，即恒成立，设.由题意知，故当时函数单调递增，所以恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在时取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值.由此可得，故，结合已知条件，，可得.（3）不等式在上有解.23/23 即为，化简得：，在上有解.由知，因而，设，由，∵当时，，∴在时成立.由不等式有解，可得知，即实数的取值范围是.23/23