新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：9.7 抛物线

第七节　抛物线 课前·基础巩固课堂·题型讲解高考·命题预测 课前·基础巩固 【教材回扣】1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的____________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______．距离相等焦点准线 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py，(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴____________焦点________________________x轴y轴F(，0)F(－，0)F(0，)F(0，－) 离心率e＝1准线方程x＝－____________y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝______|PF|＝－x0＋|PF|＝______|PF|＝－y0＋x＝y＝－x0＋y0＋ 【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()2．方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.()3．抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()4．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.()×××√ 题组二教材改编1．设抛物线x2＝2py(p＞0)上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，则抛物线方程是()A.x2＝5yB．x2＝10yC．x2＝15yD．x2＝20y解析：抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F(0，)，准线为y＝－.由题意可得点M的坐标为(，4－)，代入x2＝2py，得p＝5.∴抛物线的方程为：x2＝10y.故选B.答案：B 2．(一题两空)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M与焦点间的距离是a(a＞)，则点M到准线的距离是________，点M的横坐标是________．解析：由抛物线的定义知点M到准线的距离也是a，点M的横坐标为a－.答案：aa－ 3．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则这个等边三角形的边长为________．解析：由题意可设△ABC的三个顶点坐标为A(0，0)，B(，y)，C(，－y)，BC＝2y，设BC的中点为D，则AD＝，通过图象可知＝.即＝.∴y＝2p，∴2y＝4p.答案：4p 题组三易错自纠1．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±2xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4x解析：由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x，故选D.答案：D 2．(多选题)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A(1，)，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是()A．B．C．D．解析：若抛物线焦点在x轴上，设y2＝2px.则＝2p，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝x，∴点A到此抛物线的焦点的距离为1＋＝1＋＝.若抛物线焦点在y轴上，设x2＝2py，则1＝2p×，∴p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，∴点A到此抛物线的焦点的距离为：＝＋1＝.故选AB.答案：AB 3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.答案：[－1，1] 课堂·题型讲解 题型一　抛物线定义的应用[例1](1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于动圆的半径r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D.答案：D (2)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为()A．2B．3C．4D．5解析：如图．设抛物线x＝4y的准线方程为l：y＝－1，圆心C的坐标为(－1，2)．过M作l的垂线，垂足为E，由抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，∴当C、M、E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3.故选B.答案：B (3)抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．解析：抛物线的方程y＝4x2化为标准形式为x2＝y，则p＝.因为抛物线上的点M到焦点的距离为1，所以yM＋＝yM＋＝1.所以yM＝.答案： 类题通法利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径． 巩固训练1：(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A．B．1C．D．2解析：设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.答案：B (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.答案：4 题型二　抛物线的标准方程[例2](1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.故选D.答案：D (2)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：依题意，得－(－3)＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为y2＝－8x.故选B.答案：B (3)[2021·山东模拟]点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2解析：抛物线标准方程为x2＝y(a≠0)，当a＞0时，开口向上，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为3＋＝6，解得a＝，则抛物线方程为y＝x2；当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为－－3＝6，解得a＝－，则抛物线方程为y＝－x2.故选D.答案：D 类题通法抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法：对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)． 巩固训练2：(1)已知P是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点．若|PF|＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为()A．y2＝6xB．y2＝2xC．y2＝xD．y2＝4x解析：过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q.∵∠PFO＝，|PF|＝2，∴|PQ|＝，|QF|＝1，不妨令点P坐标为(－1，)．将点P的坐标代入y2＝2px，得3＝2p(－1)，解得p＝3(负值舍去)，故抛物线C的方程为y2＝6x.故选A.答案：A (2)已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F，且与l相切，则抛物线的方程为________．解析：∵圆过点O和F(，0)，∴圆心中横坐标为.∵圆与准线x＝－相切，故圆的半径r＝＝3，∴p＝4.即抛物线的方程为y2＝8x.答案：y2＝8x 题型三　抛物线的几何性质高频考点[例3](1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A．4B．9C．10D．18解析：抛物线y2＝2px的焦点为(，0)，准线方程为x＝－.由题意可得4＋＝9，解得p＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.故选C.答案：C (2)[2021·山东烟台一中模拟]从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()A．B．C．D．解析：设P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1，0)，故|PM|＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为(8，4)，所以kPF＝＝.故选C.答案：C 类题通法涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想． 巩固训练3：(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：因为|AF|＋|BF|＝xA＋＋xB＋＝3，所以xA＋xB＝3－p＝3－＝，所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.答案： (2)[2021·河北秦皇岛模拟]已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为1，则p的值为________．解析：双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x，抛物线的准线方程为x＝－，故A，B两点的坐标为(－，±p)，|AB|＝2p，所以S△OAB＝×2p×＝＝1，解得p＝.答案： 题型四　直线与抛物线的位置关系角度1|直线与抛物线相切问题[例4](1)设抛物线x2＝2py(p＞0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为xA，xB，xM，则()A．xA＋xB＝2xMB．xAxB＝C．＝D．以上都不对解析：由x2＝2py得y＝，所以y′＝，所以直线MA的方程为y＋2p＝(x－xM)，直线MB的方程为y＋2p＝(x－xM)，所以＋2p＝＋2p＝(xB－xM)②，由①②可得xA＋xB＝2xM，故选A.答案：A (2)过抛物线C：x2＝4y的焦点F的直线l交C于A，B两点，点A处的切线与x，y轴分别交于M，N两点．若△MON的面积为，则|AF|＝________．解析：由题可知，直线l的斜率存在，且过抛物线C：x2＝4y的焦点F，与其交于A，B两点，设A(a，a2)．又y＝，所以y′＝，所以点A处的切线方程为y－a2＝(x－a)．令x＝0，可得y＝－a2，即N(0，－a2)；令y＝0，可得x＝，即M(，0)．因为△MON面积为，所以×|－a2|×||＝，解得a2＝4，所以|AF|＝a2＋1＝2.答案：2 类题通法直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况． 巩固训练4：(1)过抛物线x2＝4y上一点(4，4)的抛物线的切线方程为________．解析：方法一　设切线方程为y－4＝k(x－4)．由⇒x2＝4(kx－4k＋4)⇒x2－4kx＋16(k－1)＝0，由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)＝0，得k2－4k＋4＝0.∴k＝2.故切线方程为y－4＝2(x－4)即y＝2x－4.方法二　由x2＝4y得y＝，∴y′＝.∴y′|x＝4＝＝2.∴切线方程为y－4＝2(x－4)．∴y＝2x－4.答案：y＝2x－4 (2)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．解析：∵A(－2，3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即得y2－8ky＋24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)，将k＝2代入①②解得即B(8，8)，又F(2，0)，∴kBF＝＝.答案： 角度2|直线与抛物线相交问题[例5](1)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且|ME|＝，则|AB|＝()A．6B．3C．8D．9解析：根据题意，知直线AB的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标是F(1，0)．设直线AB：y＝k(x－1)，将直线方程与抛物线方程联立得方程组消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝，从而M()．又E(－1，0)，根据|ME|＝，得(＋1)2＋＝11，解得k2＝2.所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋＋2＝6.故选A.答案：A (2)[2019·全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；②若＝3，求|AB|. 解析：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．①由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－. ②由＝3可得y1＝－3y2.由可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝. 类题通法解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法． 巩固训练5：设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，故直线AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝x.设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M(1，)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1，1＋m)，|MN|＝|m＋|.将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1，2＝1±.从而|AB|＝|x1－x2|＝2.由题设知|AB|＝2|MN|，即＝|m＋|，解得m＝.所以直线AB的方程为y＝x＋. 高考·命题预测 [预测1]核心素养——直观想象、逻辑推理已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|解析：∵2x2＝x1＋x3，∴2＝＋(x2＋)，由抛物线的定义可得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C.答案：C [预测2]新题型——多选题已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，则下列结论正确的是()A．点P到抛物线焦点的距离为B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点，则直线MN的斜率为定值答案：BCD 解析：因为抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，所以p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x，设焦点为F，坐标为(，0)．对于A，|PF|＝1＋＝，故A错误；对于B，kPF＝，所以lPF：y＝(x－)，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，所以1＋yQ＝，1·yQ＝－，即yQ＝－，所以S△OPQ＝|OF|·|1－yQ|＝×|1＋|＝，故B正确；对于C，依题意切线斜率存在，设直线方程为y－1＝m(x－1)，与y2＝x联立得my2－y＋1－m＝0，Δ＝1－4m(1－m)＝4m2－4m＋1＝0，解得m＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，故C正确；对于D，依题意两直线斜率都存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，所以yM＋1＝，即yM＝－1，则xM＝(－1)2，所以－1)，同理，N((－－1)2，－－1)，所以kMN＝＝－＝－，故D正确．故选BCD. 状元笔记活用抛物线焦点弦设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝.(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．(4)＝为定值(F是抛物线的焦点)． [典例1]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4B．C．5D．6【答案】B 【解析】[一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. [应用结论]法一　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝＝，所以tanθ＝2，则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝. 法二　因为|AF|＝2|BF|，＝＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. [典例2]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A．B．C．D．【答案】D 【解析】[一般解法]由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0，与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝×6＝.[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝. [典例3]如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5B．6C．D．【答案】C 【解析】[一般解法]如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C. [应用结论]法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.法二　因为＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.