2021年浙江省湖州市中考数学试卷

2021年浙江省湖州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选，多选、借选均不给分。1．实数﹣2的绝对值是（　　）A．﹣2B．2C．D．﹣2．化简的正确结果是（　　）A．4B．±4C．2D．±23．不等式3x﹣1＞5的解集是（　　）A．x＞2B．x＜2C．x＞D．x＜4．下列事件中，属于不可能事件的是（　　）A．经过红绿灯路口，遇到绿灯B．射击运动员射击一次，命中靶心C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（　　）A．B．C．D．6．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（　　）A．60°B．70°C．80°D．90°7．已知a，b是两个连续整数，a＜﹣1＜b，则a，b分别是（　　）A．﹣2，﹣1B．﹣1，0C．0，1D．1，28．如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（　　）第14页（共14页） A．OB＝OCB．∠BOD＝∠CODC．DE∥ABD．DB＝DE9．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（　　）A．πB．π+C．D．2π10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）计算：2×2﹣1＝　　．12．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是　　．13．（4分）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是　　．14．（4分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是　　度．15．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx第14页（共14页） +2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是　　．16．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是　　．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．18．（6分）解分式方程：＝1．19．（6分）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．20．（8分）为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）．各组参加人数情况统计表小组类别ABCD人数（人）10a155根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求a和m的值；（2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：小组类别ABCD平均用时（小时）2.5323求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．第14页（共14页） 21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度数；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．22．（10分）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点ABA和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？23．（10分）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长．（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP．（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．第14页（共14页） （1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．第14页（共14页） 2021年浙江省湖州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选，多选、借选均不给分。1．【解答】解：实数﹣2的绝对值是：2．故选：B．2．【解答】解：＝＝×＝2，故选：C．3．【解答】解：不等式3x﹣1＞5，移项合并得：3x＞6，解得：x＞2．故选：A．4．【解答】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意；故选：D．5．【解答】解：该长方体表面展开图可能是选项A．故选：A．6．【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，∴∠A＝∠BOC，∴∠BOC＝2∠A＝80°，故选：C．7．【解答】解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴0＜﹣1＜1，故选：C．8．【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，∴OB＝OC，BD＝CD，OD⊥BC，所以A选项正确；∴OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD，所以B选项正确；∵AE＝CE，DB＝DC，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，所以C选项正确；DE＝AB，而BD＝BC，∵AB≠BC，∴BD≠DE，所以D选项错误．故选：D．9．【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C'，当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C''，∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，第14页（共14页） ∴∠CBC''＝60°，∵BC＝BC''∴△BCC''为等边三角形，∴S扇形BCC''＝＝π，作C''F⊥BC于F，∵△BCC''为等边三角形，∴BF＝，∴C''F＝tan60°×＝，∴S△BCC''＝，∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．故选：B．10．【解答】解：不妨假设a＞0．①如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误．②如图2中，第14页（共14页） ∵x1＜2﹣x2，∴＝1，∴p1，p2关于点A对称，∴S1＝S2，故②错误，③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1＞S2，故③正确，④如图1中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．故选：A．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：2×2﹣1＝2×＝1．故答案为：1．12．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，∴sinB＝＝．故答案为：．13．【解答】解：只抽1张奖券恰好中奖的概率是＝．故答案为：．14．【解答】解：如图，∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，∴∠GFN＝∠FNM＝＝108°，∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案是：36．15．【解答】解：∵△AOM是直角三角形，∴一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M在对称轴上的直角三角形，第14页（共14页） ∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）．观察图象可知，﹣＝﹣1或4，∴＝2或﹣8，故答案为：2或﹣8．16．【解答】解：如图，设DE＝x．由题意3DE2＝1，∴DE＝，在Rt△CDE中，∠CED＝90°，CD＝1，∴EC＝＝＝，∴tan∠ECD＝＝，∴DT＝，∴AT＝1﹣，∵∠ABT＝∠TCD，∴tan∠ABT＝tan∠TCD，∴＝，第14页（共14页） ∴＝，∴AB＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1．18．【解答】解：去分母得：2x﹣1＝x+3，解得：x＝4，当x＝4时，x+3≠0，∴分式方程的解为x＝4．19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0），∴2×22+2m＝0，∴m＝﹣4，∴y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∴顶点M的坐标为（1，﹣2），（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵图象过A（2，0），M（1，﹣2），∴，解得，∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4．20．【解答】解：（1）由题意可知：四个小组所有成员总人数是15÷30%＝50（人），∴a＝50﹣10﹣15﹣5＝20，∵m%＝10÷50×100%＝20%，∴m＝20；（2）∵5÷50×360°＝36°，∴扇形统计图中D所对应的圆心角度数为36°；（3）∵＝×（10×2.5+20×3+15×2+5×3）＝2.6（小时），∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时．21．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠ACD＝30°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，第14页（共14页） ∴EF＝DE＝ADsin60°＝，∴DF＝2DE＝2．22．【解答】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，由题意，得4（1+x）2＝5.76，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；（2）①由题意，得100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意，得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，∵﹣0.1＜0，∴当m＝24时，W取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．23．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，∴AB＝，∵BD＝AC，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵P是CD的中点，∴AP⊥CD，在Rt△APC中，AP＝，∴，∴，（2）证明：连接BE，∵DE∥AC，∴∠CAP＝∠DEP，在△CPA和△DPE中，∴△CPA≌△DPE（AAS），∴AP＝EP＝，DE＝AC，∵BD＝AC，∴BD＝DE，又∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠CAD＝60°，第14页（共14页） ∴△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠EBD＝60°，∵BD＝AC，∴AC＝BE，在△CAB和△EBA中，∴△CAB≌△EBA（SAS），∴AE＝BC，∴BC＝2AP，（3）存在这样的m，m＝．理由如下：作DE∥AC交AP延长线于E，连接BE，由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°，AE＝2AP，当BD＝时，∴BD＝，∵∠EDB＝45°，作BF⊥DE于F，∴BD＝，∴DE＝DF，∴点E，F重合，∴∠BED＝90°，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝AC，同（2）可证：△CAB≌△EBA（SAS），∴BC＝AE＝2AP，∴存在m＝，使得BC＝2AP24．【解答】（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AEFO是平行四边形；②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，第14页（共14页） ∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，∴当k＝4时，，即，∴S△BOE＝2S△AOE＝1；（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，第14页（共14页） ∴，∴﹣k＝0，解得，∵a，b异号，k＞0，∴，∴S△POE＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/6/1810:23:10；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第14页（共14页）