安徽省亳州市第三十二中学2020-2021学年高二上学期第十周周测数学试题 Word版含答案

数学第十次周测试卷 内容：必修五 一、单选题（50 分） 1．若 1 a ＜ 1 b ＜0，给出下列不等式：① 1 a b ＜ 1 ab ；②|a|＋b＞0；③a－ 1 a ＞b－ 1 b ；④lna2 ＞lnb2.其中正确的不等式是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 2.设 x,y 满足约束条件 1 1 y x x y y        ，则 2z x y  的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.已知集合 }032|{}, 12 1|{ 2    xxxN x yxM ，则 NM  （ ） A. 1 ,2     B.  3, C. 1 ,32      D.  1, 4.在△ABC 中， 60A  ， 4AC  ， 2 3BC  ，则△ABC 的面积为（） A. 4 3 B. 4 C. 2 3 D. 2 2 5.己知数列{an}满足  1 22 0n n na a a n N       ，且前 n 项和为 Sn，若 11 92 7a a  ，则 25S  （ ） A. 145 2 B. 145 C. 175 2 D. 175 二、填空题（30 分） 6．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=___________ . 7.数列{an}中， 1 3a  ， 1 2n na a  ， *n N . 若其前 k 项和为 93，则 k =________. 8.已知变量 ,x y 满足 3 4 0 3 4 0 0 x y x y x          ，则 1 y x  的最小值为_______． 三、解答题（40 分） 9.已知 0x  ， 0y  ，且 2 4x y  . （1）求 xy 的最大值及相应的 x，y 的值； （2）求9 3x y 的最小值及相应的 x，y 的值. 10.在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， sin sintan cos cos B CA B C   . （1）求角 A 的大小； （2）若 3a  ，求 2 2b c 的取值范围. （选做题）11. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 2 2n nS a  . （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 2 1logn n nb a a   ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 试卷答案 1.C 【分析】 根据不等式的基本性质，结合对数函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选 择. 【详解】由 1 a ＜ 1 b ＜0，可知 b＜a＜0. ①中，因为 a＋b＜0，ab＞0，所以 1 a b ＜0， 1 ab ＞0.故有 1 a b ＜ 1 ab ，即①正确； ②中，因为 b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误； ③中，因为 b＜a＜0，又 1 a ＜ 1 b ＜0，则－ 1 a ＞－ 1 b ＞0，所以 a－ 1 a ＞b－ 1 b ，故③正确； ④中，因为 b＜a＜0，根据 y＝x2 在(－∞，0)上为减函数，可得 b2＞a2＞0， 而 y＝lnx 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以 lnb2＞lna2，故④错误. 由以上分析，知①③正确. 故选：C . 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质比较代数式的大小，涉及对数函数的单调性，属综 合基础题. 2.B 【分析】 由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示， 目标函数 2z x y  可化为 2y x z   ，当直线 2y x z   过点 A 时，此时在 y 轴上的 截距最大，目标函数取得最大值， 又由 1 1 x y y      ，解得  2, 1A  ， 所以目标函数的最大值为 max 2 2 1 3z     ，故选 B. 【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式 组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 3.B 【分析】 求定义域得集合 M ，解一元二次不等式得集合 N ，再由交集定义求解． 【详解】由 2 1 0x - > ，得 1 2x  ，所以 1 ,2M      ；由  2 2 3 0N x x x    ，即   1 3 0x x   ，得 3x  或 1x   ，所以    , 1 3,N      .故  3,M N   . 故选：B． 【点睛】本题考查集合的交集运算，解一元二次不等式，函数的定义域，属于基础题． 4.C 【分析】 首先利用余弦定理求出 2AB  ，利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】由余弦定理可得： 2 2 24( 22 3) 4 cos60AB AB      ， 化为： 2 4 4 0AB AB   ，解得 2AB  ， ∴△ABC 的面积 1 3sin 4 2 2 32 2 1 2S AC AB A        ， 故选 C． 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题． 5.D 【分析】 利用等差中项法可判断出数列 na 是等差数列，由已知条件计算得出 13a 的值，再利用等差 数列求和公式以及等差中项的性质可求得 25S 的值. 【详解】对任意的 n N ， 1 22 0n n na a a    ，即 1 22 n n na a a   ，所以数列 na 为 等差数列， 9 11 9 137 2a a a a    ， 13 7a  ， 由等差数列的求和公式可得  1 25 25 13 25 25 25 7 1752 a aS a      . 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列的判断以及等差数列性质的应用， 考查计算能力，属于中等题. 6. 3 4  . 【分析】 先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B  ． (0, ), (0, )A B    ， sin 0,A  得sin cos 0B B  ，即 tan 1B   ， 3 .4B   故选 D． 【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定 理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在 (0, ) 范围 内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角． 7.5 【分析】 根据等比数列定义确定数列 na 为等比数列，再根据等比数列求和公式列式求结果. 【详解】因为 1 3a  ， 1 2n na a  ， *n N ，所以 10 2n n n aa a    数列 na 为首项为 3， 公比为 2 的等比数列，因此其前 k 项和为 3(1 2 ) 93 2 32, 51 2 k k k     故答案为：5 【点睛】本题考查等比数列定义、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8. 1 2 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，由 1 y x  表示点 ,x y 与定点  1,0D  连线的斜率，结合图 象可得最优解,利用斜率公式,即可求解. 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中    40, , 1,1 , 0,43A B C     ， 又由 1 y x  表示点 ,x y 与定点  1,0D  连线的斜率， 当过点 B 时,此时直线斜率最小为   1 0 1 1 1 2    ． 【点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等 式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义,其中求目标函数的最值的一般步骤为：一画、 二找、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键． 9. 解：（1） 4 2 2 2 2x y xy xy     ，所以 xy 的最大值为 2，当且仅当 2 2x y  ， 即 1x  ， 2y  时取“=”； （2） 2 29 3 3 3 2 3 18x y x y x y     ，所以9 3x y 的最小值为 18，当且仅当9 3x y ， 即 2 2 1, 2x y x y     时取“=”. 10. (1) 3A  ； (2) (5,6]. 【分析】 （1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角 A 的大小； （2）先求得 B+C= 2 3  ，根据 B、C 都是锐角求出 B 的范围，由正弦定理得到 b=2sinB，c=2sinC， 根据 b2+c2=4+2sin（2B﹣ 6  ） 及 B 的范围，得 1 2 ＜sin（2B﹣ 6  ）≤1，从而得到 b2+c2 的 范围． 【详解】（1）由 sinA cosA = sinB sinC cosB cosC   得 sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC， 即 sin（A﹣B）=sin（C﹣A）， 则 A﹣B = C﹣A，即 2A=C+B， 即 A= 3  ．. （2）当 a= 3 时，∵B+C= 2 3  ，∴C= 2 3  ﹣B．由题意得 2 20 3 2 B B        ＜ ＜ ＜ ， ∴ 6  ＜B＜ 2  ．由 a b c sinA sinB sinC   =2，得 b=2sinB，c=2sinC， ∴b2+c2=4 （sin2B+sin2C）=4+2sin（2B﹣ 6  ）． ∵ 6  ＜B＜ 2  ，∴ 1 2 ＜sin（2B﹣ 6  ）≤1，∴1≤2sin（2B﹣ 6  ）≤2． ∴5＜b2+c2≤6． 故 2 2b c 的取值范围是 5,6 . 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断 sin（2B﹣ 6  ）的取值 范围是本题的难点． 11.（1） 2n na  ；（2） 12nn  . 【分析】 （1）由 1( 2)n n na S S n   得 1 2n n a a   ，可得 na 是等比数列； （2）由（1）可得  1 2n nb n  ，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列 nb 的前 n 项和 nT . 【详解】（1）当 1n  时， 1 2a  ， 当 2n  时，  1 12 2 2 2n n n n na S S a a       即： 1 2n n a a   ， 数列 na 为以 2 为公比的等比数列 2n na  . （2）  1 22 log 2 1 2n n n nb n     2 12 2 3 2 2 1 2n n nT n n         2 3 12 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n         两式相减，得  2 3 1 14 2 2 2 1 2 2n n n nT n n           12n nT n    . 【点睛】错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一 定不能忘记等式两边同时除以1 q .