安徽涡阳县育萃中学2020-2021学年高二第一学期第二次月考数学试卷 Word版含答案

1 高二年级月考数学试卷 1 命题“ ∃x ， x 2 − x ≤ ”的否定是 (    )A. ∃x ， x 2 − x B. ∃x ≤ ， x 2 − x C. ∀x ， x 2 − x D. ∀x ≤ ， x 2 − x 2.一个水平放置的三角形的直观图是一个边长为 1 的正三角形，则原三角形的面积为： A. 6 4 B. 3 4 C. 3 2 D. 6 2 3. 方程 ＝10 化简结果是（ ） A． B． C． D． 4.已知两条平行线 l1 ： 3x + 4y − 4 = 与 l2 ： ax + 8y + 2 = 之间的距离是 (    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.设直线 l1 ， l2 的斜率和倾斜角分别为 k1 ， k2 和 θ1 ， θ2 ，则“ k1 k2 ”是“ θ1 θ2 ”的 (    )A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．已知直线 l 过点 P（1，0）且与线段 y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，设直线 l 的斜率为 k，则 k 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣ ）∪（2，+∞） B．[﹣ ，2] C．（﹣∞，﹣ ]∪[2，+∞） D．（﹣ ，2） 7．设 m，n 是空间两条不同的直线， α ， β 是空间两个不同的平面．给出下列四个命题： ① 若 m∥ α ，n∥ β ， α ∥ β ，则 m∥n； ② 若 α ⊥ β ，m⊥ β ，m ⊄α ，则 m∥ α ； ③ 若 m⊥n，m⊥ α ， α ∥ β ，则 n∥ β ； ④ 若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝l，m∥ α ，m⊥l，则 m⊥ β ． 其中正确的是（ ） 8.下列命题中正确的个数是 (    ) ① 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 ② 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 2 ③ 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ④ 圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9．如果对于任意实数  ,x x 表示不超过 x 的最大整数，那么“   =x y ”是“ 1x y  成立”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．椭圆 x 2 25 + y 2 16 = 1 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，弦 AB 过 F1 ，若 △ ABF2 的内切圆周长为 π ，A，B 两点的坐标分别 为 (x1,y1) ， (x2,y2) ，则 |y1 − y2| 的值为 ( )A. 5 3 B. 1 3 C. 2 3 D. 5 3 11．已知椭圆 2 2 125 16 x y  ，  3,0A ，  2,1B  ，点 M 是椭圆上的一动点，则 MA MB 的最小值为（ ） A． 6 2 B．10 2 C．11 2 D．12 2 12．已知椭圆 + ＝1，若此椭圆上存在不同的两点 A，B 关于直线 y＝4x+m 对称，则实数 m 的取值范围是 （ ） A．（﹣ ， ） B．（﹣ ， ） C．（﹣ ， ） D．（﹣ ， ） 13.已知两条直线 l1:ax + y + 1 = 与 l2:x + ay + 1 = 互相平行，则 a= _________. a =− 1 14．椭圆 2 2 112 9 x y  ，点 10, 2A     ，点 P 为椭圆上一动点，则 PA 的最大值为__________. 15．某几何体的三视图如图所示，体积为 __________． 3 16．已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1(a ܾ ) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，过点 F1 的直线与椭圆交于 P，Q 两点 . 若 △ PF2Q 的内 切圆与线段 PF2 在其中点处相切，与 PQ 相切于点 F1 ，则椭圆的离心率为___________． 17.已知命题：“  1 1x x x     ，都有不等式 2x x m    成立”是真命题. （1）求实数 m 的取值集合 B ； （2）设不等式 ( 3 )( 2) 0x a x a    的解集为 A ，若 x A 是 x B 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 18.如图，在直三棱柱 ABC − A1B1C1 中，D 为 AC 中点， AB = BC ， A1D ⊥ AC1. 求证： (1)B1C// 平面 A1BD ； (2) 平面 A1BD ⊥ 平面 AB1C1 ． 19.在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ∠ABC = 6 ∘ ， PA ⊥ 平面 ABCD， PA = 2 ， E 、 F 分别 为 CD 、 PB 的中点． (I) 求证： EF// 平面 PAD； (II) 求二面角 F − DC − A 的大小． 4 20.已知圆 M： (x − a) 2 + y 2 = 5 与两条坐标轴都相交，且与直线 x + 2y − 5 = 相切． (1) 求圆 M 的方程； (2) 若动点 A 在直线 x = 5 上，过 A 引圆 M 的两条切线 AB，AC，切点分别为 B，C，求证：直线 BC 恒过定点． 21.已知点 A( − 3,) ， B(3,) ，动点 P 满足 |PA| = 2|PB| ． (1) 若点 P 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； (2) 若点 Q 在直线 l1 ： x + y + 3 = 上，直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M，当 |QM| 取最小值时，求直 线 QM 的方程． 22．已知椭圆 C： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1(a ܾ ) 的两个焦点分别为 F1 ， F2 ，离心率为 1 2 ，过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 △ MNF2 的周长为 8． (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若一条直线与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，且 OA ⊥ OB ，试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，证明你的结 论． 5 1 命题“ ∃x ， x 2 − x ≤ ”的否定是 (    )A. ∃x ， x 2 − x B. ∃x ≤ ， x 2 − x C. ∀x ， x 2 − x D. ∀x ≤ ， x 2 − x 解： ∵ 命题“ ∃x ， x 2 − x ≤ ”是特称命题 ∴ 否定命题为： ∀x ， x 2 − x ． 故选 C． 2.一个水平放置的三角形的直观图是一个边长为 1 的正三角形，则原三角形的面积为： A. 6 4 B. 3 4 C. 3 2 D. 6 2 解：由已知可得 S 直观图 = 3 4 × 1 2 = 3 4 ， 所以由 S 直观图 S 原图 = 2 4 得 S 原图 = 3 4 × 4 2 = 6 2 ． 故选 D． 4. 方程 ＝10 化简结果是（ ） A． B． C． D． 解：方程 ＝10 表示动点 M（x，y）到两个定点（±2，0）的距离之和为定值 10 ＝2a，且 10＞2+2，由题意的定义可得：动点 M 的轨迹是椭圆，且 b2＝a2﹣c2＝52﹣22＝21． 可得椭圆的方程为： ． 故选：B． 4.已知两条平行线 l1 ： 3x + 4y − 4 = 与 l2 ： ax + 8y + 2 = 之间的距离是 (    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：由 4a − 3 × 8 = ，解得 a = 6 ． ∴ l2 的方程 6x + 8y + 2 = 化为： 3x + 4y + 1 = ． ∴ 两条平行线之间的距离 d = |−4−1| 32+42 = 1 ． 故选：A． 5.设直线 l1 ， l2 的斜率和倾斜角分别为 k1 ， k2 和 θ1 ， θ2 ，则“ k1 k2 ”是“ θ1 θ2 ”的 (    )A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解： ∵ 直线 l1 ， l2 的斜率和倾斜角分别为 k1 ， k2 和 θ1 ， θ2 ， 当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“ k1 k2 ”则“ θ1 θ2 ”，若“ θ1 θ2 ”则“ k1 k2 ”， 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“ k1 k2 ”则“ θ1 与 θ2 ”的大小不能确定，若“ θ1 θ2 ”则“ k1 与 k2 ” 6 的大小也不能确定， 故则“ k1 k2 ”是“ θ1 θ2 ”的既不充分也不必要条件， 故选：D 6．已知直线 l 过点 P（1，0）且与线段 y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，设直线 l 的斜率为 k，则 k 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣ ）∪（2，+∞） B．[﹣ ，2] C．（﹣∞，﹣ ]∪[2，+∞） D．（﹣ ，2） 解：如图， ， ，由于直线 l 与线段 y＝2（﹣2≤x≤2）有交点， 故 k≥2，或 k≤﹣ ， 故选：C． 7．设 m，n 是空间两条不同的直线， α ， β 是空间两个不同的平面．给出下列四个命题： ① 若 m∥ α ，n∥ β ， α ∥ β ，则 m∥n； ② 若 α ⊥ β ，m⊥ β ，m ⊄α ，则 m∥ α ； ③ 若 m⊥n，m⊥ α ， α ∥ β ，则 n∥ β ； ④ 若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝l，m∥ α ，m⊥l，则 m⊥ β ． 其中正确的是（ ） A． ①② B． ②③ C． ②④ D． ③④解：由 m，n 是空间两条不同的直线， α ， β 是空间两个不同的平面．知： 在 ① 中，若 m∥ α ，n∥ β ， α ∥ β ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 ① 错误； 在 ② 中，若 α ⊥ β ，m⊥ β ，m ⊄α ，则由线面垂直的性质定理得 m∥ α ，故 ② 正确； 在 ③ 中，若 m⊥n，m⊥ α ， α ∥ β ，则 n 与 β 平行或 n ⊂β ，故 ③ 错误； 在 ④ 中，若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝l，m∥ α ，m⊥l，则由线面垂直的判定定理得 m⊥ β ，故 ④ 正确． 故选：C． 8.下列命题中正确的个数是 (    ) ① 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 7 ② 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 ③ 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ④ 圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解：如图，面 ABC// 面 A1B1C1 ，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱 .① 不正 确； 棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形即必须有一个公共顶点的几何体 . 如图，每个面都 是三角形但形成的几何体不是棱锥 .② 不正确； 若有两个侧面垂直于底面，这两个侧面可鞥是平行的侧面， 则该四棱柱不一定为直四棱柱，故 ③ 错误； ④ 是正确的． 故选 A． 9．如果对于任意实数  ,x x 表示不超过 x 的最大整数，那么“   =x y ”是“ 1x y  成立”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：若“   x y ”，设   x a y a x a b y a c     ， ， ， 其中 [01b c， ，） 1x y b c x y      ＜ 即“   x y ”成立能推出“  1x y  ”成立 反之，例如 1.2 2.1x y ， 满足  1x y  但   1 2x y ， ，即  1x y  成立，推不出        x y 故“   x y ”是“|x-y|＜1”成立的充分不必要条件 故选 A 10．椭圆 x 2 25 + y 2 16 = 1 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，弦 AB 过 F1 ，若 △ ABF2 的内切圆周长为 π ，A，B 两点的坐标分别 为 (x1,y1) ， (x2,y2) ，则 |y1 − y2| 的值为 ( ) A. 5 3 B. 1 3 C. 2 3 D. 5 3【解析】解：椭圆： x 2 25 + y 2 16 = 1 ， a = 5 ， b = 4 ， ∴ c = 3 ， 左、右焦点 F1( − 3,) 、 F2( 3,) ， △ ABF2 的内切圆周长为 π ，则内切圆的半径为 r = 1 2 ， 8 而 △ ABF2 的面积 =△ AF1F2 的面积 +△ BF1F2 的面积 = 1 2 × |y1| × |F1F2| + 1 2 × |y2| × |F1F2| = 1 2 × (|y1| + |y2|) × |F1F2| = 3|y2 − y1|(A 、B 在 x 轴的上下两侧 )又 △ ABF2 的面积 = 1 2 × r(|AB| + |BF2| + |F2A|) = 1 2 × 1 2 (2a + 2a) = a = 5 ． 所以 3|y2 − y1| = 5 ， |y2 − y1| = 5 3 ． 故选 A 11．已知椭圆 2 2 125 16 x y  ，  3,0A ，  2,1B  ，点 M 是椭圆上的一动点，则 MA MB 的最小值为（ ） A． 6 2 B．10 2 C．11 2 D．12 2 解：由题意知 A 为椭圆的右焦点，设左焦点为 1F ，由椭圆的定义知 1 10MF MA  ， 所以 110MA MB MB MF    . 又 1 1MB MF BF  ， 如图，设直线 1BF 交椭圆于 1M ， 2M 两点.当 M 为点 1M 时， 1MB MF 最小，最小值为10 2 . 故选：B 12．已知椭圆 + ＝1，若此椭圆上存在不同的两点 A，B 关于直线 y＝4x+m 对称，则实数 m 的取值范围是 （ ） A．（﹣ ， ） B．（﹣ ， ） C．（﹣ ， ） D．（﹣ ， ） 解：椭圆 + ＝1，即：3x2+4y2﹣12＝0， 设椭圆上两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线 y＝4x+m 对称，AB 中点为 M（x0，y0）， 则 3x12+4y12﹣12＝0， ① 3x22+4y22﹣12＝0 ② ① ﹣ ② 得：3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即 3•2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）＝0， ∴ ＝﹣ • ＝﹣ ． ∴y0＝3x0，代入直线方程 y＝4x+m 得 x0＝﹣m，y0＝﹣3m； 因为（x0，y0）在椭圆内部， ∴3m2+4•（﹣3m）2＜12，即 3m2+36m2＜12，解得﹣ ＜m＜ ． 故选：B． 9 13.已知两条直线 l1:ax + y + 1 = 与 l2:x + ay + 1 = 互相平行，则 a= _________. a =− 1 解：因为直线 l1:ax + y + 1 = 与 l2:x + ay + 1 = 的斜率存在， 又 ∵ l1//l2 ， ∴ a 1 = 1 a ， ∴ a =− 1 或 a = 1 ，两条 直线在 y 轴是的截距不相等， a = 1 舍去，所以 a =− 1 满足两条直线平行． 故答案为： a =− 1 14．椭圆 2 2 112 9 x y  ，点 10, 2A     ，点 P 为椭圆上一动点，则 PA 的最大值为__________. 解： 由椭圆 2 2 112 9 x y  ，设点 P（ 2 3 cos ,3sin  ），所以 2 2 2 21 49 1| | 12cos (3sin ) 3sin 3sin 13 3(sin ) 132 4 2PA                当且仅当： 1sin 2    时，取等号，因此最大值 13 故答案为： 13 15．某几何体的三视图如图所示，体积为 __________． 解：几何体是组合体，上部是 个半径为 1 的球，下部是正方体的一半的三棱柱，正方体的棱长为 1，如图： 几何体的体积为： ＝ ； 故答案为： ． 16．已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1(a ܾ ) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，过点 F1 的直线与椭圆交于 P，Q 两点 . 若 △ PF2Q 的内 切圆与线段 PF2 在其中点处相切，与 PQ 相切于点 F1 ，则椭圆的离心率为___________． 解：可设 △ PF2Q 的内切圆的圆心为 I，M 为切点，且为中点． 可得三角形 △ PF2Q 为等腰三角形， |QP| = |QF2| ，如图所示： 设 |PF1| = m ，则根据圆的切线性质可知 |PM| = m ， 10 ∵ M 为 PF2 中点，则 |MF2| = m ， 根据椭圆定义有 m + 2m = 2a ，则 m = 2a 3 ， 根据椭圆定义有 |PQ| + |QF2| + |PF2| = 4a ， 又 |PQ| = |QF2| ， |PF2| = 4a 3 ， ∴ |PQ| = |QF2| = 4a 3 ， |QF1| = 2a 3 ， ∴△ PQF2 为边长为 4a 3 的等边三角形， F1F2 = 2c 为该等边三角形的一条中线， ∴ 2c = 3 2 · 4a 3 ，即 e = c a = 3 3 ， 故答案为： 3 3 ． 17.已知命题：“  1 1x x x     ，都有不等式 2x x m    成立”是真命题. （1）求实数 m 的取值集合 B ； （2）设不等式 ( 3 )( 2) 0x a x a    的解集为 A ，若 x A 是 x B 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） (2, ) ；（2） 2[ , )3  . 【解析】（1）命题：“  1 1x x x     ，都有不等式 2x x m    成立”是真命题， 得 2x x m    在 1 1x   时恒成立， ∴ 2 max( )m x x  ，得 2m  ，即  2 (2, )B m m    . （2）不等式 ( 3 )( 2) 0x a x a    ， ①当3 2a a  ，即 1a  时，解集  2 3A x a x a    ， 若 x A 是 x B 的充分不必要条件，则 A 是 B 的真子集， ∴ 2 2a  ，此时 1a  ； ②当3 2a a  ，即 1a  时，解集 A  ，满足题设条件； ③当3 2a a  ，即 1a  时，解集  3 2A x a x a    ， 若 x A 是 x B 的充分不必要条件，则 A 是 B 的真子集， 3 2a  ，此时 2 13 a  . 综上①②③可得 2[ , )3a  11 18.如图，在直三棱柱 ABC − A1B1C1 中，D 为 AC 中点， AB = BC ， A1D ⊥ AC1. 求证： (1)B1C// 平面 A1BD ； (2) 平面 A1BD ⊥ 平面 AB1C1 ． 【答案】证明： (1) 设 A1B 与 AB1 交于点 O，连接 OD，如图所示； 在平行四边形 ABB1A1 中，O 为 AB1 中点，D 为 AC 中点， 所以 OD 为 △ AB1C 的中位线， 所以 OD//B1C ， 又 OD ⊂ 平面 A1BD ， B1C ⊄ 平面 A1BD ， 所以 B1C// 平面 A1BD ； (2) 因为 AB = BC ，D 为 AC 的中点，所以 BD 为 △ ABC 的底边上的中线， BD ⊥ AC ； 在直三棱柱 ABC − A1B1C1 中， C1C ⊥ 平面 ABC， BD ⊂ 平面 ABC，所以 BD ⊥ C1C ， 又 BD ⊥ AC ， AC ⊂ 平面 ACC1A1 ， C1C ⊂ 平面 ACC1A1 ， AC ∩ C1C = C ， 所以 BD ⊥ 平面 ACC1A1 ； 又 AC1 ⊂ 平面 ACC1A1 ，所以 BD ⊥ AC1 ； 又 A1D ⊥ AC1 ， BD ⊂ 平面 A1BD ， A1D ⊂ 平面 A1BD ， A1D ∩ BD = D ， 所以 AC1 ⊥ 面 A1BD ； 又 AC1 ⊂ 平面 AB1C1 ， 所以平面 A1BD ⊥ 平面 AB1C1 ． 19.在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ∠ABC = 6 ∘ ， PA ⊥ 平面 ABCD， PA = 2 ， E 、 F 分别 为 CD 、 PB 的中点． (I) 求证： EF// 平面 PAD； (II) 求二面角 F − DC − A 的大小． 【答案】 (1) 证明：取 PA 中点 M，连结 FM 、 DM ， 则 FM//AB ，且 FM = 1 2 AB ，由 DE = 1 2 DC ， 12 ∵ 底面 ABCD 是菱形， ∴ AB//DC ， AB = DC ， ∴ FM//AB ，且 FM = AB ， ∴ FEDM 是平行四边形， ∴ EF//DM ， DM ⊂ 平面 PAD， EF ⊄ 平面 PAD， ∴ EF// 平面 PAD． (2) 解：取 AB 中点 N，连结 FN 、 NC 、 FC ， 在▵ BNC 中， BN = 1 ， BC = 2 ， ∠ABC = 6 ∘ ， ∴ NC = 3 ， BN 2 + NC 2 = BC 2 ， ∴ ▵ BNC 是直角三角形， ∴ BN ⊥ NC ， DC ⊥ NC ， 又 F 、 N 分别为 PB 、 AB 的中点， ∴ FN//PA ， 又 PA ⊥ 平面 ABCD， ∴ FN ⊥ 平面 ABCD， ∴ FN ⊥ DC ， 平面 FNC ∴ FC ⊥ DC ， ∴ ∠FCN 是二面角 F − DC − A 的平面角， tan∠FCN = FN NC = 1 3 = 3 3 ， ∴ ∠FCN = 3 ∘ ， 即二面角 F − DC − A 的大小为 030 ． 20.已知圆 M： (x − a) 2 + y 2 = 5 与两条坐标轴都相交，且与直线 x + 2y − 5 = 相切． (1) 求圆 M 的方程； (2) 若动点 A 在直线 x = 5 上，过 A 引圆 M 的两条切线 AB，AC，切点分别为 B，C，求证：直线 BC 恒过定点． 【答案】解： (1) 圆 M： (x − a) 2 + y 2 = 5 的圆心坐标为 (a,) ，半径为 5 ， ∵ 圆 M 与直线 x + 2y − 5 = 相切， ∴ |a−5| 5 = 5 ，即 a = 或 a = 1 ． 又圆 M 与两条坐标轴都相交， ∴ a = ． 则圆 M 的方程为： x 2 + y 2 = 5 ； 证明： (2) 设 A(5,m) ，则 A，B，O，C 四点共圆， AO 的中点为 ( 5 2 , m 2 ) ， |AO| = 25 + m 2 ， 13 则以 AO 为直径的圆的方程为 (x − 5 2 ) 2 + (y − m 2 ) 2 = 1 4 (25 + m 2 ) ， 整理得： x 2 + y 2 − 5x − my = ． 又圆 M： x 2 + y 2 = 5 ， 两圆联立可得公共弦 BC 所在直线方程为 5x + my − 5 = ． ∴ 直线 BC 恒过定点 (1,) ． 21.已知点 A( − 3,) ， B(3,) ，动点 P 满足 |PA| = 2|PB| ． (1) 若点 P 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程； (2) 若点 Q 在直线 l1 ： x + y + 3 = 上，直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M，当 |QM| 取最小值时，求直 线 QM 的方程． 【答案】解： (1) 设 P 点的坐标为 (x,y) ， 因为两定点 A( − 3,) ， B(3,) ，动点 P 满足 |PA| = 2|PB| ， 所以 (x + 3) 2 + y 2 = 4[(x − 3) 2 + y 2 ] ， 即 (x − 5) 2 + y 2 = 16 ． 所以此曲线的方程为 (x − 5) 2 + y 2 = 16 ． (2) 因为 (x − 5) 2 + y 2 = 16 的圆心坐标为 C(5,) ，半径为 4， 则圆心 M 到直线 l1 的距离为 |5+3| 2 = 4 2 ， 因为点 Q 在直线 l1 ： x + y + 3 = 上，过点 Q 的直线 l2 与曲线 C： (x − 5) 2 + y 2 = 16 只有一个公共点 M， 所以 |QM| 的最小值为 (4 2) 2 − 4 2 = 4 ． 直线 CQ 的方程为 x − y − 5 = ， 联立直线 l1 ： x + y + 3 = ，可得 Q(1, − 4) ， 设切线方程为 y + 4 = k(x − 1) ，即 kx − y − k − 4 = ， 故圆心到切线的距离 d = |4k−4| k2+1 = 4 ，得 k = ，切线方程为 y =− 4 ； 当切线斜率不存在时，切线方程为 x = 1 ， 因此直线 QM 的方程 x = 1 或 y =− 4 ． 22．已知椭圆 C： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1(a ܾ ) 的两个焦点分别为 F1 ， F2 ，离心率为 1 2 ，过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 △ MNF2 的周长为 8． (1) 求椭圆 C 的方程； 14 (2) 若一条直线与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，且 OA ⊥ OB ，试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，证明你的结 论． 【答案】解： (1) 由题意知， 4a = 8 ，则 a = 2 ， 由椭圆离心率 e = c a = 1 − b2 a2 = 1 2 ，则 b 2 = 3 ． ∴ 椭圆 C 的方程 x 2 4 + y 2 3 = 1; (2) 由题意，当直线 AB 的斜率不存在时，此时不妨设 A(x,x) ， B(x, − x). 又 A，B 两点在椭圆 C 上， ∴ x 2 4 + x 2 3 = 1,x 2 = 12 7 ， ∴ 点 O 到直线 AB 的距离 d = 12 7 = 2 21 7 ． 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y = kx + m. 设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， 联立方程 y = kx + mx 2 4 + y 2 3 = 1 ，消去 y 得 (3 + 4k 2 )x 2 + 8kmx + 4m 2 − 12 = ． 由已知 △ ， x1 + x2 =− 8km 3+4k 2 ， x1x2 = 4m 2 −12 3+4k 2 ， 由 OA ⊥ OB ，则 OA ·OB = x1x2 + y1y2 = ，即 x1x2 + (kx1 + m)(kx2 + m) = ， 整理得： (k 2 + 1)x1x2 + km(x1 + x2) + m 2 = ， ∴ (k 2 + 1) 4m 2 −12 3+4k 2 − 8k 2 m 2 3+4k 2 + m 2 = ． ∴ 7m 2 = 12(k 2 + 1) ，满足 △ ． ∴ 点 O 到直线 AB 的距离 d = 丨 m 丨 1+k2 = 12 7 = 2 21 7 为定值． 综上可知：点 O 到直线 AB 的距离 d = 2 21 7 为定值． 1-5 CDBAD 6-10 CCAAA 11-12 BB 13. a =− 1 14 13 15. 16. 3 3