安徽省2020-2021学年高二上学期第一次段考数学（理）试题 Word版含答案

2020~2021 学年第一学期高二年级第一次阶段性检测 数学试卷（理科） 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求 的. 1. 已知点 1, 1a a  在圆 2 2 2 4 0x y ay    的外部（不含边界），则实数 a 的取值范围为（ ） A. 1a  B. 1a  C. 0 1a  D. 1 5a  2. 若过两点  2 22, 3A m m  ，  2 3,2B m m m   的直线l 的倾斜角为 45，则 m  （ ） A. -2 或-1 B. 1 C. -1 D. -2 3. 已知两条直线 1l ： 1 2 1 0a x y    ， 2l ： 1 0x ay   平行，则 1l 与 2l 的距离为（ ） A. 3 2 B. 2 C. 3 2 4 D. 2 2 4. 若实数 x ， y 满足约束条件 0 1 1 x x y x y        ，则 2 y x  的最大值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 2 D. 1 2  5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 341，则判断框内填入的条件可能是（ ） A. 100?z  B. 300?z  C. 500?z  D. 700?z  6. 已知直线l ： 3 6y x   与圆C ： 2 2 2 3 0x y y    相交于 A ，B 两点，过点 A ，B 及 3,0 的圆的 方程为（ ） A. 2 2 6 4 9 0x y x y     B. 2 2 6 4 27 0x y x y     C. 2 2 6 9 0x y y    D. 2 2 3 4 0x y x y    7. 如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. 8 2 3 B. 4 4 3 C. 4 2 3 D. 8 4 3 8. 由曲线 2 2 2 2x y x y   围成的图形面积为（ ） A. 2 2  B. 2 4  C. 4 4  D. 4 8  9. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 ABCD 中， AB  平面 BCD，且 AB BC CD  ，则异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为（ ） A. 1 2 B. 1 4  C. 3 2 D. 3 3 10. 设 A ， B ，C ， D 是半径为 4 的球的球面上不同的四点， ABC△ 为等边三角形且其面积为9 3 ，则 三棱锥 D ABC 体积的最大值为（ ） A. 36 3 B. 24 3 C. 18 3 D. 9 3 11. 已知直线l ： 3 3 0mx y m    与圆 2 2 16x y  交于 A ，B 两点，过 A ，B 分别作l 的垂线与 x 轴 交于C ， D 两点，若 2 7AB  ，则 CD  （ ） A. 4 B. 4 21 3 C. 4 3 D. 4 7 12. 已知圆C ：   2 2 9x a y a    ，O 为坐标原点，点  3,0A ，若圆C 上存在点 M 使得 2MA MO ， 则 a 的取值范围为（ ） A.    4, 1 0,3   B.    5, 2 1,2   C.    3,0 1,4  D.  0,3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点 M 是 xOy 平面内的直线 2x y  上的一点，若点 M 到点  6,4,1N 的 距离最小，则点 M 的坐标为_______. 14. 若点 A 为圆C ： 2 21 1x y   上任意一点，  1,0B  ，则线段 AB 中点 M 的轨迹方程为_______. 15. 若直线l 过点  3,0A ，且被两直线 1l ： 2 2 0x y   ， 2l ： 3 0x y   截得的线段恰被点 A 平分， 则直线l 的方程为_______. 16. 若两圆 1C ， 2C 与两坐标轴均相切，且均过点 2,1 ，则圆 1C ， 2C 的公共弦所在的直线方程为_______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设直线l 的方程为   1 3 0a x y a a R      . （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求 a 的值； （2）若l 不经过第三象限，求 a 的取值范围. 18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， / /AD BC ， AD CD ，Q 是 AD 的中点， M 是棱 PC 的中点， 2PA PD  ， 1 12BC AD  ， 3CD  ， 6PB  . （1）求证：平面 PAD  平面 ABCD ； （2）求三棱锥 B PQM 的体积. 19. 已知圆 1C ： 2 2 1x y  和圆 2C ： 2 2 4x y  ，点 P 是圆 1C 外一点，过点 P 作圆 1C 的两条切线，切 点分别为 A ， B . （1）若点 P 在直线 2 5 0x y   上运动，求四边形 OAPB 面积的最小值； （2）若点 P 在圆 2C 上运动，是否存在定圆始终与直线 AB 相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在， 请说明理由. 20. 如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 BDEF 为矩形， 2AB BF ，DE  平面 ABCD ，点G 为 EF 中点. （1）求证： / /CF 平面 ADE ； （2）求二面角C FG B  的余弦值. 21. 已知圆C 过点  0, 1M  且与圆 1C ： 2 2 2 2 2 2 3 0x y x y     相切于点 2 2,2 2N       ，直线l ： 3 0kx y k    与圆C 交于不同的两点 A ， B . （1）求圆 C 的方程； （2）若圆 C 与 x 轴的正半轴交于点 P ，直线 PA ， PB 的斜率分别为 1k ， 2k ，求 1 2k k 的值. 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 1C ： 2 2( 4) ( 2) 20x y    与 y 抽交于O ， P 两点，圆 2C 过O ， P 两点且与直线 1l ： 2 0x y  相切. （1）求圆 2C 的方程； （2）若直线 2l ： y kx 与圆 1C 、圆 2C 的交点分别为点 A ，B ，则以线段 AB 为直径的圆是否过点 P ？请 说明理由. 2020~2021 年度高二年级第一学期第一次阶段考试 数学试卷（理科） 一、选择题： 1-5：BDCCB 6-10：ADDAC 11-12：BA 二、填空题： 13.  2,0,0 14. 2 2 1 4x y  15. 8 24 0x y   16. 3 0x y   三、解答题： 17. 解：（1）由题意知，当 1a   时不符合题意； 当 1a   时，令 0x  得 3y a  ， 令 0y  得 3 1 ax a   ， 若l 在两坐标轴上的截距相等，则 33 1 aa a    ， 解得 3a  或 0a  . （2）直线l 的方程可化为  1 3 0a x x y     ，易知直线l 过定点 1, 4 ， 若l 不经过第三象限，则  1 0 3 0 a a      ，解得 3a  ， 故实数 a 的取值范围为 3a  . 18.（1）证明：∵ / /AD BC ， 1 12BC AD  ，Q 是 AD 的中点， ∴四边形 BCDQ 是平行四边形， ∴ / /CD BQ ， ∵ AC CD ， ∴QB AD ， 又 2PA PD  ， 2AD  ，Q 是 AD 的中点， 故 3PQ  ， 又 3QB CD  ， 6PB  ， ∴ 2 2 2PB PQ QB  ，由勾股定理知 PQ QB ， 又 PQ AD Q ， 故 BQ  平面 PAD ， ∴平面 PAD  平面 ABCD . （2）∵Q 是 AD 的中点， 2PA PD  ， ∴ PQ AD ， ∵平面 PAD  平面 ABCD ，且平面 PAD  平面 ABCD AD ， ∴ PQ  平面 ABCD . 又 M 是棱 PC 的中点， 故 1 1 2 2B PQM P BQC M BQC P BQC P BQC P BQCV V V V V V          1 1 1 11 3 32 3 2 4        . 19. 解：（1）连接OA， OB ，OP ，结合图形知OA AP ，OB BP ， 得 22 1OAPOAPBS S OA AP AP OP     △四边形 ， 若四边形OAPB 的面积最小，则只要 OP 最短即可， 而  min 22 5 5 1 2 OP     ， 此时解得四边形OAPB 的面积最小值为 2. （2）设  0 0,P x y ，则 2 2 0 0 4x y  ， 当点 P 在圆 2C 上运动时，恒有 3PA PB  ， 故 A ， B 在以 P 为圆心， 3 为半径的圆上， 该圆的方程为   2 2 0 0 3x x y y    ，与 1C ： 2 2 1x y  相减得， 直线 AB 的方程为 0 0 1x x y y  ， 而原点O 到直线 AB 的距离为 2 2 0 0 1 1 2d x y    （定值）， 故存在定圆 2 2 1 4x y  与直线 AB 始终相切. 20.（1）证明：∵ / /BF DE ， / /BC AD ， BF BC B ， DE AD D ， ∴平面 / /CBF 平面 ADE ， 又CF  平面 CBF ， ∴ / /CF 平面 ADE . （2）连接 AC 交 BD 于点O ，连接GO ，由四边形 ABCD 为正方形知O 为 AC 和 BD 的中点， ∵点G 为 EF 中点， ∴ / /GO DE ， ∵ DE  平面 ABCD ， ∴GO  平面 ABCD ， ∴GO BD ， 又四边形 BDEF 为矩形，故 / /EF BD ， ∴GO EF ， ∵ BD AC ， BD GO O ， ∴ BD  平面GAC ， 又GC  面GAC ， ∴GC BD ， ∴GC EF , 故 CGO 即为二面角C FG B  的平面角， 又 2AB BF ， ∴ 3cos 3 GO EFCGO GC GC     . 21. 解：（1）设圆C 的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ， 由圆C 过点  0, 1M  得 2 2 2(1 )a b r   ， ① 由圆C 过点 2 2,2 2N       得 2 2 22 2 2 2a b r                 ， ② 结合图形易知圆C 和圆 1C 只能外切，故C 在直线 1NC 上， 则 a b ， ③ 由①②③式解得 0a b  ， 2 1r  ， 故圆C 的方程为 2 2 1x y  . （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，由题意知  1,0P ， 联立 3 0kx y k    和 2 2 1x y  得   2 2 2 21 2 6 6 8 0k x k k x k k       ， 则 0  ， 2 1 2 2 2 6 1 k kx x k    ， 2 1 2 2 6 8 1 k kx x k    ， ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 3 321 1 1 1 y yk k kx x x x          18 6 22 9 3 kk      ， 故 1 2k k 的值为 2 3  . 22. 解：（1）由题意令 0x  ，代入圆 1C 中得 1 0y  ， 2 4y  ，则  0,0O ，  0,4P ， 设圆 2C 的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 将O ， P 坐标代入得 0F  ， 4E   ， 又 2 1OC l ，则 2 2 2 E D    ，得 2D   ， 故圆 2C 的方程为 2 2 2 4 0x y x y    . （2）因为 y kx 与两圆都有两个交点，易知 2k  ， 1 2k   ， 将 y kx 与 2 2 8 4 0x y x y    联立得， 2 21 (8 4 ) 0k x k x    ， 得 2 2 2 4 8 4 8,1 1 k k kA k k        ， 将 y kx 与 2 2 2 4 0x y x y    联立得， 2 21 (2 4 ) 0k x k x    ， 得 2 2 2 2 4 4 2,1 1 k k kB k k        ， 则 1 2 2PA kk k   ， 2 1 2PB kk k   ， 得 1PA PBk k   ，即 PA PB ， 所以以线段 AB 为直径的圆过点 P .