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数学文科试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设 i 为虚数单位，复数 z 满足 (1 ) 2z i i ，则| | (z )
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
2． 已知 : 2 8 0, : 3 4 0xp q x x ，则（ ）
A． p 是 q的充分不必要条件 B． p 是 q 的充分不必要条件
C． p 是 q的必要不充分条件 D． p 是 q 的必要不充分条件
3．下列关于统计学的说法中，错误的是( )
A．回归直线一定过样本中心点 ,x y
B．残差带越窄，说明选用的模型拟合效果越好
C．在线性回归模型中，相关指数 2R 的值趋近于 1，表明模型拟合效果越好
D．从独立性检验：有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，可解释为 100 人吸烟，其中
就有 99 人可能患有肺病
4．命题 :p “ 0x R ，使得 2
0 02 2 0x ax a ”，若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围
是( )
A． 1,2 B． 2,1 C． 1,2 D． 0,2
5．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若 2 1x ，则 1x ”的否命题为：“若 2 1x 则 1x ”
B．若 p 为真命题， q为假命题，则 ,p q p q 均为假命题
C．命题“若 , ,a b c 成等比数列，则 2b ac ”的逆命题为真命题
D．命题“若 x y ，则sin sinx y ”的逆否命题为真命题
6．若方程
2 2
14
x y
m m
表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 2m B． 0 2m C． 2 4m D． 2m
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7．若函数 3 2 1f x x x mx 在 , 上的非单调函数，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A． 1, 3
B． 1 ,3
C． 1 ,3
D． 1, 3
8．函数 2( )f x x ， ( ) 2lng x x a 有公共点，则 a（ ）
A． ,e B． 1, C． 1, D． ,1
9．已知函数 2 2cosf x x x ，若 f x 是 f x 的导函数，则函数 f x 的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
10． P 是双曲线
2
2: 12
xC y 右支上一点, 直线 l 是双曲线C 的一条渐近线. P 在l 上的射影
为Q , 1F 是双曲线C 的左焦点, 则 1| | | |PF PQ 的最小值为( )
A． 2 2 1 B． 152 5
C． 154 5
D． 1
11．已知 1F ， 2F 是椭圆
2 2
2: 1( 0)x yC a ba b
的左、右焦点， A 是椭圆C 的右顶点，离
心率 e 为 1
2
．过 1F 的直线 l 上存在点 P ，使得 PA x 轴，且 1 2ΔF F P 是等腰三角形，则直线l
的斜率 ( 0)k k 为（ ）．
A． 3
2
B． 1
2 C． 3
3
D． 3
12．已知定义在 0, 上的函数 f x 满足 0xf x f x ，其中 f x 是函数 f x 的
导函数，
若 2019 2019 1f m m f ，则实数 m 的取值范围为 ( )
A． 0,2020 B． 2019, C． 2020, D． 2019,2020
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二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请在答题卡上做答.
13．在复平面内，复数 16
1
iz ii
对应的点所在第________象限.
14．已知函数 ( ) cos sin3f x f x x
，则
3f ______．
15．2020 年 2 月 9 日，中国诗词大会第五季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、
乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中
的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：
冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是
对的，那么冠军是______．
16．已知点 P 为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
右支上一点， 1 2,F F 分别为双曲线的左、右焦点，
且
2
1 2 ,bF F Ia
为 1 2PF F 的内心，若
1 2 1 2IPF IPF IF FS S S 成立，则 的值为
___________．
三、解答题:本题共 6 小题，共 70 分.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （满分 10 分）
已知 mR ,命题 p :对 0,1x ,不等式 22 2 3x m m 恒成立；命题 : 1,1q x ，
使得 m ax 成立.
（1）若 p 为真命题，求 m 的取值范围；
（2）当 1a 时，若 p q 假， p q 为真，求 m 的取值范围.
18. （满分 12 分）
“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速
发展.下表是 2019 年我国某地区新能源乘用车的前 5 个月销售量与月份的统计表：
月份代码 x 1 2 3 4 5
销售量 y （万辆） 0.5 0.6 1 1.4 1.5
（1）利用线性相关系数 r 判断 y 与 x 的线性相关性，并求出线性回归方程
（2）根据线性回归方程预报 2019 年 6 月份的销售量约为多少万辆？
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参考公式： 1
2
1
( )( )
ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， ˆˆa y bx ；回归直线： ˆˆ ˆy bx a ．
1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
， 8.2 2.86
19. （满分 12 分）生物疫苗研究所加紧对病毒疫苗进行研究，并将某一型号疫苗用在动物小
白鼠身上进行临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 20 x A
注射疫苗 30 y B
总计 50 50 100
现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为 2
5 .
（1）求 2 2 列联表中的数据 x ， y ， A ， B 的值；
（2）能否有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防该病毒有效？
附：
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b a c c d b d
.
2
0P K k
0.05 0.01 0.005 0.001
0k 3.841 6.635 7.879 10.828
20. (满分 12 分)已知函数 ( ) 1 x
af x x e
（a
∈
R，e 为自然对数的底数）
（1）若曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于 x 轴，求 a 的值
（2）求函数 f（x）的极值．
21.（满分 12 分）已知抛物线 2: 2C y px （ 0p ）的焦点为 F ，点 0(4, )P y 在抛物线C 上，
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且| | 5PF ．
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）设抛物线C 的准线与 x 轴交于点 D ，过点 D 的直线 l 与抛物线C 交于 A ， B 两点，
若以线段 AB 为直径的圆过点 F ，求线段 AB 的长．
22.（满分 12 分）已知函数 2 lnf x x ax x ，其中 a R .[
（1）当 1a 时，判断函数 f x 的零点个数；
（2）若对任意 0,x ， 0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
数学文科答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D C D B A B A A C D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13. 一 14. 1 15. 丙 16. 2 1
三、解答题
17. （本小题满分 10 分）
（1）∵对任意 0,1x ，不等式 22 2 3x m m 恒成立，
2
min2 2 3x m m ，即 2 3 2m m ，即 2 3 2 0m m ，解得1 2m ，
因此，若 p 为真命题时，实数 m 的取值范围是 1,2 ；
（2） 1a ，且存在 1,1x ，使得 m ax 成立， m x ，命题 q为真时， 1m £ .
∵ p 且 q为假， p 或 q为真，
∴ p 、 q中一个是真命题，一个是假命题．
当 p 真 q假时，则 1 2
1
m
m
，解得1 2m ；
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当 p 假 q真时， 1 2
1
m m
m
或
，即 1m .
综上所述， m 的取值范围为 ,1 1,2 .
18. （本小题满分 12 分）
（1）依题意 1 2 3 4 5 35x ， 0.5 0.6 1 1.4 1.5 15y
5
1
( )( ) 2 ( 0.5) ( 1) ( 0.4) 0 1 0.4 2 0.5i i
i
x x y y
2.8
5
2 2 2 2 2 2
1
( ) 2 1 0 1 2 10i
i
x x
5
2 2 2 2 2 2
1
( ) 0.5 0.4 0 0.4 0.5 0.82i
i
y y
2.8 2.8 2.8 0.98 0.752.8610 0.82 8.2
r
y 与 x 的线性相关强.
2.8 0.2810
ˆb ， 1 0.28 3 1 0.84 0.16ˆˆa y bx
所以线性回归方程为 ˆ 0.28 0.16y x ；
（2）由（1）得线性回归方程为 ˆ 0.28 0.16y x
当 6x 时， ˆ 0.28 6 0.16 1.84y 万辆，
所以预报 2019 年 6 月份可销售量为1.84万辆.
19. （本小题满分 12 分）
（1）由已知条件可知： 0.4 100 40B ，
100 60A B ， 60 20 40x ， 40 30 10y .
（2）∵
2
2 100(20 10 30 40) 100 50 16.66750 50 60 40 6 3K
显然16.667 10.828
所以有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防该病毒有效.
20. （本小题满分 12 分）
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解：（1）由 f（x）＝ 1 x
ax e
，得 ( ) 1 x
af x e
，
又曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于 x 轴，
∴f′（1）＝0，即 1 a
e
0，解得 a＝e；
（2）f′（x）＝1 x
a
e
，
①
当 a≤0 时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以 f（x）无极值；
②当 a＞0 时，令 f′（x）＝0，得 ex＝a，x＝lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故 f（x）在 x＝lna 处取到极小值，且极小值为 f（lna）＝lna，无极大值．
综上，当 a≤0 时，f（x）无极值；
当 a＞0 时，f（x）在 x＝lna 处取极小值 lna，无极大值．
21. （本小题满分 12 分）
1 由抛物线的定义有 4 52
p ，解得 p 2 ，
所以抛物线 C 的方程为 2 4y x ．
2 设 1 1A x , y ， 2 2B x , y ，直线 l 的方程为 1x my ，
由 2
1
4
x my
y x
消去 x 并整理得： 2y 4my 4 0 ，
得 1 2
1 2
4
4
y y m
y y
，由题意， 0 ，所以 2m 1 ，
以线段 AB 为直径的圆过点 F，所以 FA FB ，所以 1 2 1 2x 1 x 1 y y 0 ，
又 1 1x my 1 ， 2 2x my 1 ，所以
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x 1 x 1 y y my 2 my 2 y y m 1 y y 2m y y 4 0
， 2 24 m 1 8m 4 0 ，解得 2m 2 满足题意．
由 2 2
1 2 1 2AB m 1 y y ) 4y y ，得 AB 4 3 ．
22. （本小题满分 12 分）
解：（1）当 1a 时 ， 2 lnf x x x x ，其定义域为 0, ，
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求导得 2 1 2 11 2 12 1 x xx xf x x x x x
，
于是当 0,1x 时， 0f x ，函数 f x 单调递减；当 1,x 时， 0f x ，函数
f x 单调递增，又 1 0f ，所以函数 f x 的零点个数为 1；
（2）因对任意 0,x ， 0f x 恒成立，即 2 ln 0x ax x 对任意 0,x 恒
成立，于是
2 lnx xa x
对任意 0,x 恒成立，
令
2 ln 0x xg x xx
，只需 mina g x .
对函数 g x 求导，得
2
2
1 lnx xg x x
，令 2 1 ln 0h x x x x ，
则 12 0h x x x
，所以函数 h x 在 0, 上单调递增.
又 1 0h ，所以当 0,1x 时， 0h x ， 0g x ，函数 g x 单调递减；当 1,x
时， 0h x ， 0g x ，函数 g x 单调递增，所以函数 min 1 1g x g ，于是 1a ，
即实数 a 的取值范围为 ,1
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